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8.已知关于$ x $的方程$ ax - 2 = 7 $的解与方程$ 2x - 1 = 5 $的解互为相反数，求$ a $的值。
答案
8. $-3$
解析
【分析】
解题思路分为三步：①先求解不含参数的方程$2x-1=5$，得到它的解；②根据两个方程的解互为相反数的条件，推出方程$ax-2=7$的解；③将得到的解代入含参数$a$的方程，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 解方程$2x - 1 = 5$：
移项得$2x = 5 + 1$，
合并同类项得$2x = 6$，
系数化为1得$x = 3$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$ax - 2 = 7$的解为$x = -3$。
3. 把$x = -3$代入$ax - 2 = 7$得：
$-3a - 2 = 7$，
移项得$-3a = 7 + 2$，
合并同类项得$-3a = 9$，
系数化为1得$a = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元一次方程的解，相反数的定义，等式的性质
【点评】
本题考察方程解的应用，解题关键是先求出已知方程的解，再通过相反数的性质建立两个方程解的关联，代入参数方程即可求出结果，解题逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：①先求解不含参数的方程$2x-1=5$，得到它的解；②根据两个方程的解互为相反数的条件，推出方程$ax-2=7$的解；③将得到的解代入含参数$a$的方程，得到关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
1. 解方程$2x - 1 = 5$：
移项得$2x = 5 + 1$，
合并同类项得$2x = 6$，
系数化为1得$x = 3$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$ax - 2 = 7$的解为$x = -3$。
3. 把$x = -3$代入$ax - 2 = 7$得：
$-3a - 2 = 7$，
移项得$-3a = 7 + 2$，
合并同类项得$-3a = 9$，
系数化为1得$a = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元一次方程的解，相反数的定义，等式的性质
【点评】
本题考察方程解的应用，解题关键是先求出已知方程的解，再通过相反数的性质建立两个方程解的关联，代入参数方程即可求出结果，解题逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
9. 如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体. 已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡. 如果在“?”处只放“■”，那么应放“■”（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
9. C
解析
【分析】
首先明确天平平衡代表左右两侧物体总质量相等，我们可以先给三种物体的质量设未知数，根据前两架天平的平衡关系列出对应的等式，再利用等式的性质逐步推导三种物体质量的换算关系，最后计算第三架天平左侧的总质量，将其换算为■的数量即可得到答案。
【解析】
设“●”的质量为$x$，“■”的质量为$y$，“▲”的质量为$z$。
根据第一架天平平衡，可得等式：$2x = y + z$ ①
根据第二架天平平衡，可得等式：$x + y = z$ ②
将②代入①中替换$z$，得：
$2x = y + x + y$
利用等式的性质，两边同时减去$x$，化简得：$x = 2y$ ③
将③代入②，得：$2y + y = z$，即$z = 3y$
第三架天平左侧总质量为$x + z$，代入$x=2y$、$z=3y$可得：
$x + z = 2y + 3y = 5y$，即总质量等于5个“■”的质量，因此“?”处应放5个“■”。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等式性质的实际应用，解题核心是通过已知的平衡关系推导不同物体的质量换算关系，能很好地锻炼逻辑推理能力和等量换算能力。
【难度系数】
0.7
首先明确天平平衡代表左右两侧物体总质量相等，我们可以先给三种物体的质量设未知数，根据前两架天平的平衡关系列出对应的等式，再利用等式的性质逐步推导三种物体质量的换算关系，最后计算第三架天平左侧的总质量，将其换算为■的数量即可得到答案。
【解析】
设“●”的质量为$x$，“■”的质量为$y$，“▲”的质量为$z$。
根据第一架天平平衡，可得等式：$2x = y + z$ ①
根据第二架天平平衡，可得等式：$x + y = z$ ②
将②代入①中替换$z$，得：
$2x = y + x + y$
利用等式的性质，两边同时减去$x$，化简得：$x = 2y$ ③
将③代入②，得：$2y + y = z$，即$z = 3y$
第三架天平左侧总质量为$x + z$，代入$x=2y$、$z=3y$可得：
$x + z = 2y + 3y = 5y$，即总质量等于5个“■”的质量，因此“?”处应放5个“■”。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等式性质的实际应用，解题核心是通过已知的平衡关系推导不同物体的质量换算关系，能很好地锻炼逻辑推理能力和等量换算能力。
【难度系数】
0.7
10. 认真思考，回答下列问题：
(1) 由 $2a + 3 = 2b - 3$ 能否得到 $a = b$，为什么？
(2) 由 $10a = 12$ 能否得到 $5a = 6$，为什么？
(3) 由 $5ab = 6b$ 能否得到 $5a = 6$，为什么？
(4) 由 $(a - 2)x = b + 2$ 能否得到 $x = \frac{b + 2}{a - 2}$，为什么？反之，能否由 $x = \frac{b + 2}{a - 2}$ 得到 $(a - 2)x = b + 2$，为什么？
(5) 由 $(a^2 + 1)y = -3$，能否得到 $y = \frac{-3}{a^2 + 1}$，为什么？
(1) 由 $2a + 3 = 2b - 3$ 能否得到 $a = b$，为什么？
(2) 由 $10a = 12$ 能否得到 $5a = 6$，为什么？
(3) 由 $5ab = 6b$ 能否得到 $5a = 6$，为什么？
(4) 由 $(a - 2)x = b + 2$ 能否得到 $x = \frac{b + 2}{a - 2}$，为什么？反之，能否由 $x = \frac{b + 2}{a - 2}$ 得到 $(a - 2)x = b + 2$，为什么？
(5) 由 $(a^2 + 1)y = -3$，能否得到 $y = \frac{-3}{a^2 + 1}$，为什么？
答案
10. (1)不能得到 (2)能得到 (3)不一定能得到 (4)不能由$(a-2)x=b+2$得到$x=\frac{b+2}{a-2}$,能由$x=\frac{b+2}{a-2}$得到$(a-2)x=b+2$. (5)可以得到
解析
【分析】
本题围绕等式的变形展开，核心考查等式基本性质的正确应用。解题思路为：先明确等式的两条基本性质：①等式两边加/减同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。每一问判断变形是否成立时，重点确认变形中如果有除以某个数的操作，这个数是否一定不为0，若可能为0则变形不成立，若恒不为0则变形成立。
【解析】
(1) 对等式$2a + 3 = 2b - 3$变形：
第一步，两边同时减3，得$2a = 2b - 6$；
第二步，两边同时除以2，得$a = b - 3$，显然$a≠ b$，因此不能得到$a=b$。
(2) 等式$10a = 12$两边同时除以2（2是不为0的常数，符合等式性质2的要求），可得$5a = 6$，因此能得到。
(3) 若要从$5ab = 6b$得到$5a = 6$，需要两边同时除以$b$，但$b$的取值不确定，可能为0，而0不能作除数，当$b=0$时该变形不成立，只有$b≠0$时才能得到$5a=6$，因此不一定能得到。
(4) ① 若要从$(a - 2)x = b + 2$得到$x = \frac{b + 2}{a - 2}$，需要两边同时除以$a-2$，但$a-2$可能为0，0不能作除数，因此不能直接得到该结果；
② 反过来，已知$x = \frac{b + 2}{a - 2}$，说明$a-2$是不为0的数，此时两边同时乘$a-2$，根据等式性质2，可得$(a - 2)x = b + 2$，因此反过来可以得到。
(5) 由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2 + 1≥1$，恒不为0，等式$(a^2 + 1)y = -3$两边同时除以$a^2 + 1$，符合等式性质2的要求，可得$y = \frac{-3}{a^2 + 1}$，因此可以得到。
【答案】
(1)不能得到 (2)能得到 (3)不一定能得到 (4)不能由$(a-2)x=b+2$得到$x=\frac{b+2}{a-2}$,能由$x=\frac{b+2}{a-2}$得到$(a-2)x=b+2$. (5)可以得到
【知识点】
1. 等式的基本性质 2. 0不能作除数 3. 平方的非负性
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，核心易错点是忽略等式两边同时除以一个数时，必须保证该数不为0。解题时要注意判断含字母的除数是否存在为0的可能，避免直接默认除数不为0导致判断错误。
【难度系数】
0.6
本题围绕等式的变形展开，核心考查等式基本性质的正确应用。解题思路为：先明确等式的两条基本性质：①等式两边加/减同一个数（或式子），结果仍相等；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。每一问判断变形是否成立时，重点确认变形中如果有除以某个数的操作，这个数是否一定不为0，若可能为0则变形不成立，若恒不为0则变形成立。
【解析】
(1) 对等式$2a + 3 = 2b - 3$变形：
第一步，两边同时减3，得$2a = 2b - 6$；
第二步，两边同时除以2，得$a = b - 3$，显然$a≠ b$，因此不能得到$a=b$。
(2) 等式$10a = 12$两边同时除以2（2是不为0的常数，符合等式性质2的要求），可得$5a = 6$，因此能得到。
(3) 若要从$5ab = 6b$得到$5a = 6$，需要两边同时除以$b$，但$b$的取值不确定，可能为0，而0不能作除数，当$b=0$时该变形不成立，只有$b≠0$时才能得到$5a=6$，因此不一定能得到。
(4) ① 若要从$(a - 2)x = b + 2$得到$x = \frac{b + 2}{a - 2}$，需要两边同时除以$a-2$，但$a-2$可能为0，0不能作除数，因此不能直接得到该结果；
② 反过来，已知$x = \frac{b + 2}{a - 2}$，说明$a-2$是不为0的数，此时两边同时乘$a-2$，根据等式性质2，可得$(a - 2)x = b + 2$，因此反过来可以得到。
(5) 由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2 + 1≥1$，恒不为0，等式$(a^2 + 1)y = -3$两边同时除以$a^2 + 1$，符合等式性质2的要求，可得$y = \frac{-3}{a^2 + 1}$，因此可以得到。
【答案】
(1)不能得到 (2)能得到 (3)不一定能得到 (4)不能由$(a-2)x=b+2$得到$x=\frac{b+2}{a-2}$,能由$x=\frac{b+2}{a-2}$得到$(a-2)x=b+2$. (5)可以得到
【知识点】
1. 等式的基本性质 2. 0不能作除数 3. 平方的非负性
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，核心易错点是忽略等式两边同时除以一个数时，必须保证该数不为0。解题时要注意判断含字母的除数是否存在为0的可能，避免直接默认除数不为0导致判断错误。
【难度系数】
0.6
