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例1 下列计算正确的是（）.
A.$a+2a=3a^2$
B.$a^5 ÷ a^2 = a^3$
C.$(-a)^2 · a^3 = -a^5$
D.$(2a^3)^2 = 2a^6$
A.$a+2a=3a^2$
B.$a^5 ÷ a^2 = a^3$
C.$(-a)^2 · a^3 = -a^5$
D.$(2a^3)^2 = 2a^6$
答案
B
解析
【分析】
本题考查整式的基本运算，解题时需逐一核对每个选项对应的运算法则，依次判断运算是否正确，最终筛选出正确选项。首先回忆合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方的运算法则，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：合并同类项时，只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$a+2a=(1+2)a=3a$，而非$3a^2$，该选项计算错误。
选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^5 ÷ a^2 = a^{5-2}=a^3$，该选项计算正确。
选项C：先计算乘方，$(-a)^2=a^2$，再计算同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5$，而非$-a^5$，该选项计算错误。
选项D：积的乘方需要将积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，因此$(2a^3)^2=2^2·(a^3)^2=4a^{3×2}=4a^6$，而非$2a^6$，该选项计算错误。
综上，计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘除；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握整式运算的各类法则，注意区分不同运算中指数的变化规律，避免混淆积的乘方中系数的运算、负数偶次幂的符号等易错点。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的基本运算，解题时需逐一核对每个选项对应的运算法则，依次判断运算是否正确，最终筛选出正确选项。首先回忆合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方的运算法则，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：合并同类项时，只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$a+2a=(1+2)a=3a$，而非$3a^2$，该选项计算错误。
选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^5 ÷ a^2 = a^{5-2}=a^3$，该选项计算正确。
选项C：先计算乘方，$(-a)^2=a^2$，再计算同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5$，而非$-a^5$，该选项计算错误。
选项D：积的乘方需要将积中的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，因此$(2a^3)^2=2^2·(a^3)^2=4a^{3×2}=4a^6$，而非$2a^6$，该选项计算错误。
综上，计算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘除；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握整式运算的各类法则，注意区分不同运算中指数的变化规律，避免混淆积的乘方中系数的运算、负数偶次幂的符号等易错点。
【难度系数】
0.8
例2 计算：$a(3-a)+(a-1)(a+2)$.
解析 $a(3-a)+(a-1)(a+2)$
$=3a - a^2 + a^2 + 2a - a -2$
$=4a -2$.
先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减.
解析 $a(3-a)+(a-1)(a+2)$
$=3a - a^2 + a^2 + 2a - a -2$
$=4a -2$.
先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减.
答案
解：
$a(3-a)+(a-1)(a+2)$
$=3a - a^2 + a^2 + 2a - a - 2$
$=4a - 2$
$a(3-a)+(a-1)(a+2)$
$=3a - a^2 + a^2 + 2a - a - 2$
$=4a - 2$
解析
【分析】
本题为整式的混合运算计算题，解题思路按照整式运算优先级展开：
1. 先算乘法运算：分别计算式子中的单项式乘多项式$a(3-a)$和多项式乘多项式$(a-1)(a+2)$。前者根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项即可展开；后者遵循“逐项相乘、积相加”的规则，用第一个多项式的$a$和$-1$分别乘第二个多项式的$a$和$2$，再把所有乘积相加。
2. 再算加减运算：将两个乘法的展开结果合并，找到其中的同类项，将同类项的系数相加，最终得到化简结果。
【解析】
解：
$a(3-a)+(a-1)(a+2)$
$=3a - a^2 + a^2 + 2a - a - 2$
$=4a - 2$
【答案】
$4a-2$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查整式乘法的运算法则和合并同类项的方法，解题时需注意展开多项式时不要漏乘项，同时留意各项的符号，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.85
本题为整式的混合运算计算题，解题思路按照整式运算优先级展开：
1. 先算乘法运算：分别计算式子中的单项式乘多项式$a(3-a)$和多项式乘多项式$(a-1)(a+2)$。前者根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项即可展开；后者遵循“逐项相乘、积相加”的规则，用第一个多项式的$a$和$-1$分别乘第二个多项式的$a$和$2$，再把所有乘积相加。
2. 再算加减运算：将两个乘法的展开结果合并，找到其中的同类项，将同类项的系数相加，最终得到化简结果。
【解析】
解：
$a(3-a)+(a-1)(a+2)$
$=3a - a^2 + a^2 + 2a - a - 2$
$=4a - 2$
【答案】
$4a-2$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查整式乘法的运算法则和合并同类项的方法，解题时需注意展开多项式时不要漏乘项，同时留意各项的符号，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.85
下列运算正确的是（
A.$a · a^3 = a^3$
B.$a^6 ÷ a^2 = a^3$
C.$(ab)^2 = a^2b^2$
D.$(a^3)^2 = a^5$
C
）.A.$a · a^3 = a^3$
B.$a^6 ÷ a^2 = a^3$
C.$(ab)^2 = a^2b^2$
D.$(a^3)^2 = a^5$
答案
C
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时只需逐一回忆各运算对应的法则，对每个选项分别计算验证，判断运算是否正确即可。
【解析】
我们根据幂的运算性质逐个分析选项：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。$a· a^3 = a^{1+3}=a^4≠ a^3$，故A错误；
B选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减。$a^6÷ a^2 = a^{6-2}=a^4≠ a^3$，故B错误；
C选项：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。$(ab)^2 = a^2b^2$，运算正确，故C符合题意；
D选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘。$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6≠ a^5$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题属于基础题，重点考查幂的运算性质的应用，解题的关键是准确区分不同运算中指数的运算规则，避免混淆指数的加减、乘法运算。
【难度系数】
0.9
本题考查幂的相关运算，解题时只需逐一回忆各运算对应的法则，对每个选项分别计算验证，判断运算是否正确即可。
【解析】
我们根据幂的运算性质逐个分析选项：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。$a· a^3 = a^{1+3}=a^4≠ a^3$，故A错误；
B选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减。$a^6÷ a^2 = a^{6-2}=a^4≠ a^3$，故B错误；
C选项：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。$(ab)^2 = a^2b^2$，运算正确，故C符合题意；
D选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘。$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6≠ a^5$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方
【点评】
本题属于基础题，重点考查幂的运算性质的应用，解题的关键是准确区分不同运算中指数的运算规则，避免混淆指数的加减、乘法运算。
【难度系数】
0.9
计算：$(x-1)(x+2)-3(x-1).$
答案
$x^2-2x+1$
解析
【分析】
这是一道整式混合运算题，有两种解题思路：①常规思路：按照运算顺序，先算乘法部分，分别根据多项式乘多项式法则计算$(x-1)(x+2)$、根据单项式乘多项式法则计算$3(x-1)$，再去括号，最后合并同类项得到结果；②简便思路：观察发现两个乘积项都含有公因式$(x-1)$，可先提取公因式，再对剩余部分化简计算，最后展开得到结果。计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【解析】
方法一：按常规运算顺序计算
第一步：计算多项式乘法
$(x-1)(x+2) = x· x + x·2 -1· x -1×2 = x^2 + 2x -x -2 = x^2 +x -2$
第二步：计算单项式乘多项式
$3(x-1) = 3x -3$
第三步：代入原式去括号、合并同类项
$\begin{aligned}原式&= (x^2 +x -2) - (3x -3)\\&= x^2 +x -2 -3x +3\\&= x^2 + (x-3x) + (-2+3)\\&= x^2 -2x +1\end{aligned}$
方法二：提取公因式简便计算
观察到两项均含有公因式$(x-1)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}原式&= (x-1)(x+2 -3)\\&= (x-1)(x-1)\\&= (x-1)^2\\&= x^2 -2x +1\end{aligned}$
【答案】
$x^2-2x+1$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，整式混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题，既可以按照常规运算顺序求解，也可以通过观察公因式简化计算，解题的易错点是去括号时容易出现符号错误，计算时需格外注意。
【难度系数】
0.85
这是一道整式混合运算题，有两种解题思路：①常规思路：按照运算顺序，先算乘法部分，分别根据多项式乘多项式法则计算$(x-1)(x+2)$、根据单项式乘多项式法则计算$3(x-1)$，再去括号，最后合并同类项得到结果；②简便思路：观察发现两个乘积项都含有公因式$(x-1)$，可先提取公因式，再对剩余部分化简计算，最后展开得到结果。计算时要注意去括号时的符号变化，避免出错。
【解析】
方法一：按常规运算顺序计算
第一步：计算多项式乘法
$(x-1)(x+2) = x· x + x·2 -1· x -1×2 = x^2 + 2x -x -2 = x^2 +x -2$
第二步：计算单项式乘多项式
$3(x-1) = 3x -3$
第三步：代入原式去括号、合并同类项
$\begin{aligned}原式&= (x^2 +x -2) - (3x -3)\\&= x^2 +x -2 -3x +3\\&= x^2 + (x-3x) + (-2+3)\\&= x^2 -2x +1\end{aligned}$
方法二：提取公因式简便计算
观察到两项均含有公因式$(x-1)$，提取公因式得：
$\begin{aligned}原式&= (x-1)(x+2 -3)\\&= (x-1)(x-1)\\&= (x-1)^2\\&= x^2 -2x +1\end{aligned}$
【答案】
$x^2-2x+1$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，整式混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题，既可以按照常规运算顺序求解，也可以通过观察公因式简化计算，解题的易错点是去括号时容易出现符号错误，计算时需格外注意。
【难度系数】
0.85
