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例3 下列计算正确的是（）.
A.$(3x)^2=3x^2$
B.$3x+3y=6xy$
C.$(x+y)^2=x^2+y^2$
D.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
A.$(3x)^2=3x^2$
B.$3x+3y=6xy$
C.$(x+y)^2=x^2+y^2$
D.$(x+2)(x-2)=x^2-4$
答案
D
解析
【分析】
本题考查整式运算的正误判断，解题时需逐一对每个选项对应涉及的运算法则进行回忆验证：首先明确每个选项考查的知识点（积的乘方、同类项合并、完全平方公式、平方差公式），再对照法则判断运算是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得$(3x)^2=3^2 · x^2=9x^2$，与选项中的$3x^2$不符，故A错误；
B选项：$3x$和$3y$所含字母不相同，不属于同类项，只有同类项才能合并，因此二者不能合并为$6xy$，故B错误；
C选项：根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，选项漏了交叉项$2xy$，故C错误；
D选项：根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将$a=x$、$b=2$代入，可得$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$，运算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；整式乘法公式；同类项合并
【点评】
本题是整式运算的基础题型，主要考查对整式相关运算法则、公式的掌握程度，学习中要注意区分易混淆的运算规则和公式，避免出现漏项、错用公式的问题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式运算的正误判断，解题时需逐一对每个选项对应涉及的运算法则进行回忆验证：首先明确每个选项考查的知识点（积的乘方、同类项合并、完全平方公式、平方差公式），再对照法则判断运算是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得$(3x)^2=3^2 · x^2=9x^2$，与选项中的$3x^2$不符，故A错误；
B选项：$3x$和$3y$所含字母不相同，不属于同类项，只有同类项才能合并，因此二者不能合并为$6xy$，故B错误；
C选项：根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，选项漏了交叉项$2xy$，故C错误；
D选项：根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将$a=x$、$b=2$代入，可得$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$，运算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；整式乘法公式；同类项合并
【点评】
本题是整式运算的基础题型，主要考查对整式相关运算法则、公式的掌握程度，学习中要注意区分易混淆的运算规则和公式，避免出现漏项、错用公式的问题。
【难度系数】
0.8
例4 先化简，再求值：$x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)$，其中 $x=\frac{1}{2}$，$y=2$。
解析 原式$=xy-4x^2+4x^2-y^2$
$=xy-y^2$，
当 $x=\frac{1}{2}$，$y=2$ 时，
原式$=\frac{1}{2}×2 - 2^2$
$=1-4$
$=-3$。
解析 原式$=xy-4x^2+4x^2-y^2$
$=xy-y^2$，
当 $x=\frac{1}{2}$，$y=2$ 时，
原式$=\frac{1}{2}×2 - 2^2$
$=1-4$
$=-3$。
答案
解：
原式$=xy - 4x^2 + (2x)^2 - y^2$
$=xy - 4x^2 + 4x^2 - y^2$
$=xy - y^2$
当$x=\frac{1}{2}$，$y=2$时，
原式$=\frac{1}{2} × 2 - 2^2$
$=1 - 4$
$=-3$
原式$=xy - 4x^2 + (2x)^2 - y^2$
$=xy - 4x^2 + 4x^2 - y^2$
$=xy - y^2$
当$x=\frac{1}{2}$，$y=2$时，
原式$=\frac{1}{2} × 2 - 2^2$
$=1 - 4$
$=-3$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步：第一步先化简整式，观察原式结构，第一部分是单项式乘多项式，按照乘法分配律展开即可；第二部分是两个二项式相乘，符合“两项和乘两项差”的结构，可直接用平方差公式展开，之后合并同类项得到最简整式。第二步代入给定的x、y的值计算最终结果，先化简再代入能减少计算量，降低出错率。
【解析】
原式$=xy - 4x^2 + (2x)^2 - y^2$
$=xy - 4x^2 + 4x^2 - y^2$
$=xy - y^2$
当$x=\frac{1}{2}$，$y=2$时，
原式$=\frac{1}{2} × 2 - 2^2$
$=1 - 4$
$=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
单项式乘多项式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法法则和乘法公式的应用，养成先化简再求值的习惯能大幅提升计算的准确率和效率，相关运算规则需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步：第一步先化简整式，观察原式结构，第一部分是单项式乘多项式，按照乘法分配律展开即可；第二部分是两个二项式相乘，符合“两项和乘两项差”的结构，可直接用平方差公式展开，之后合并同类项得到最简整式。第二步代入给定的x、y的值计算最终结果，先化简再代入能减少计算量，降低出错率。
【解析】
原式$=xy - 4x^2 + (2x)^2 - y^2$
$=xy - 4x^2 + 4x^2 - y^2$
$=xy - y^2$
当$x=\frac{1}{2}$，$y=2$时，
原式$=\frac{1}{2} × 2 - 2^2$
$=1 - 4$
$=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
单项式乘多项式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法法则和乘法公式的应用，养成先化简再求值的习惯能大幅提升计算的准确率和效率，相关运算规则需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
下列计算正确的是（
A.$x^2 · x^4 = x^8$
B.$(x - y)^2 = x^2 - y^2$
C.$x + 2x^2 = 3x^2$
D.$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$
D
）.A.$x^2 · x^4 = x^8$
B.$(x - y)^2 = x^2 - y^2$
C.$x + 2x^2 = 3x^2$
D.$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$
答案
D
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一分析每个选项对应的运算法则，通过验证每个选项的计算是否符合公式或规则，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆同底数幂乘法、完全平方公式、合并同类项、平方差公式的相关规则，再逐个核对四个选项。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$x^2 · x^4 = x^{2+4}=x^6$，故A选项计算错误；
B选项：根据完全平方公式，$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，不等于$x^2-y^2$，故B选项计算错误；
C选项：$x$和$2x^2$所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C选项计算错误；
D选项：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=2$，可得$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$，故D选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；乘法公式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对整式运算法则的掌握程度，解题的关键是准确区分不同运算的规则，避免混淆完全平方公式与平方差公式、同底数幂乘法与幂的乘方的指数运算规则，以及同类项的合并条件，是整式运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一分析每个选项对应的运算法则，通过验证每个选项的计算是否符合公式或规则，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆同底数幂乘法、完全平方公式、合并同类项、平方差公式的相关规则，再逐个核对四个选项。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$x^2 · x^4 = x^{2+4}=x^6$，故A选项计算错误；
B选项：根据完全平方公式，$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，不等于$x^2-y^2$，故B选项计算错误；
C选项：$x$和$2x^2$所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C选项计算错误；
D选项：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=2$，可得$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$，故D选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；乘法公式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对整式运算法则的掌握程度，解题的关键是准确区分不同运算的规则，避免混淆完全平方公式与平方差公式、同底数幂乘法与幂的乘方的指数运算规则，以及同类项的合并条件，是整式运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
先化简，再求值：$(x+3)^2 + 3x(x-2)$，其中$x=\frac{1}{2}$。
答案
化简得$4x^2+9$，当$x=\frac{1}{2}$时，原式=10
解析
【分析】
遇到整式化简求值类题目，优先先化简整式再代入数值计算，能大幅降低运算难度。解题时可分两步思考：第一步化简整式，先分别展开两个整式项：$(x+3)^2$符合完全平方和公式，按照$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开即可；$3x(x-2)$是单项式乘多项式，按照“单项式乘多项式的每一项，再把所得积相加”的法则展开。再将两个展开后的式子合并同类项，得到最简整式。第二步代入求值，把$x=\frac{1}{2}$代入最简式，遵循有理数运算顺序计算出最终结果即可。
【解析】
解：先对原式展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x+3)^2 + 3x(x-2)&=x^2+6x+9 + 3x^2-6x\\&=(x^2+3x^2)+(6x-6x)+9\\&=4x^2+9\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=4×(\frac{1}{2})^2 +9\\&=4×\frac{1}{4}+9\\&=1+9\\&=10\end{aligned}$
【答案】
化简得$4x^2+9$，当$x=\frac{1}{2}$时，原式=10
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，主要考查整式运算法则的掌握程度，解题时注意完全平方公式展开不要漏项，合并同类项时准确判断同类项，代入求值时遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
遇到整式化简求值类题目，优先先化简整式再代入数值计算，能大幅降低运算难度。解题时可分两步思考：第一步化简整式，先分别展开两个整式项：$(x+3)^2$符合完全平方和公式，按照$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开即可；$3x(x-2)$是单项式乘多项式，按照“单项式乘多项式的每一项，再把所得积相加”的法则展开。再将两个展开后的式子合并同类项，得到最简整式。第二步代入求值，把$x=\frac{1}{2}$代入最简式，遵循有理数运算顺序计算出最终结果即可。
【解析】
解：先对原式展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x+3)^2 + 3x(x-2)&=x^2+6x+9 + 3x^2-6x\\&=(x^2+3x^2)+(6x-6x)+9\\&=4x^2+9\end{aligned}$
将$x=\frac{1}{2}$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=4×(\frac{1}{2})^2 +9\\&=4×\frac{1}{4}+9\\&=1+9\\&=10\end{aligned}$
【答案】
化简得$4x^2+9$，当$x=\frac{1}{2}$时，原式=10
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，主要考查整式运算法则的掌握程度，解题时注意完全平方公式展开不要漏项，合并同类项时准确判断同类项，代入求值时遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
