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1[中]观察下列一组数：$-\dfrac{1}{3},\dfrac{4}{5},-\dfrac{9}{7},\dfrac{16}{9},-\dfrac{25}{11},···,$ 它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第$n$个数是（
A.$\dfrac{n^2}{2n+1}$
B.$(-1)^n\dfrac{n^2}{2n+1}$
C.$(-1)^n\dfrac{n^2}{2n-1}$
D.$(-1)^{n-1}\dfrac{n^2}{2n+1}$
B
）A.$\dfrac{n^2}{2n+1}$
B.$(-1)^n\dfrac{n^2}{2n+1}$
C.$(-1)^n\dfrac{n^2}{2n-1}$
D.$(-1)^{n-1}\dfrac{n^2}{2n+1}$
答案
【解析】分别观察所给数列每个数的符号、分子和分母可得规律,第 $n$ 个数是 $(-1)^n · \frac{n^2}{2n+1}$. 故选 B.
2[中]按下列规律排列的一组数：$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1},\frac{1}{5},\dots$,则第几个数是$\frac{2}{101}$
（
A.5 051
B.5 052
C.5 152
D.5 153
（
D
）A.5 051
B.5 052
C.5 152
D.5 153
答案
【解析】对所给数列进行分组: $\frac{1}{1},(\frac{1}{2},\frac{2}{1}),(\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1}),(\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}),…$,所以 $\frac{2}{101}$ 是第 102 组中第 2 个数,前 101 组共有 $(1+2+3+…+99+100+101)=5\ 151$(个)数,所以 $\frac{2}{101}$ 是第 5 153 个数. 故选 D.
3 新考向 传统文化 [2026 安徽宣城期中,中]我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形,我们称之为“杨辉三角”,我们把第2行从左到右第1个数定为$a(2,1)$,我们把第4行从左到右第3个数定为$a(4,3)$,由图我们可以知道:$a(2,1)=1,a(4,3)=3$,按照图中数据规律,$a(8,7)+a(15,14)$的值为
...
A.21
B.22
C.84
D.98
...
A.21
B.22
C.84
D.98
答案
【解析】观察“杨辉三角”的规律,我们发现第 $n$ 行从左到右第 $(n-1)$ 个数等于 $n-1$,所以 $a(8,7)=7,a(15,14)=14$,所以 $a(8,7)+a(15,14)=7+14=21$. 故选 A.
4[2026安徽合肥调研,中]观察以下等式：
第1个等式：$\frac{1}{1}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，
第2个等式：$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$，
第3个等式：$\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{15}=\frac{16}{15}$，
第4个等式：$\frac{1}{4}+\frac{5}{6}-\frac{1}{24}=\frac{25}{24}$，
第5个等式：$\frac{1}{5}+\frac{6}{7}-\frac{1}{35}=\frac{36}{35}$，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式。
第1个等式：$\frac{1}{1}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，
第2个等式：$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$，
第3个等式：$\frac{1}{3}+\frac{4}{5}-\frac{1}{15}=\frac{16}{15}$，
第4个等式：$\frac{1}{4}+\frac{5}{6}-\frac{1}{24}=\frac{25}{24}$，
第5个等式：$\frac{1}{5}+\frac{6}{7}-\frac{1}{35}=\frac{36}{35}$，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式。
答案
【解】(1)第 6 个等式为 $\frac{1}{6}+\frac{7}{8}-\frac{1}{48}=\frac{49}{48}$. 故答案为 $\frac{1}{6}+\frac{7}{8}-\frac{1}{48}=\frac{49}{48}$.
(2)由题中规律可知,第 $n$ 个等式为 $\frac{1}{n}+\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$.
(2)由题中规律可知,第 $n$ 个等式为 $\frac{1}{n}+\frac{n+1}{n+2}-\frac{1}{n(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$.
5[中]观察下列各式：
$1^3+2^3=1+8=9$, 而$(1+2)^2=9$, 所以$1^3+2^3=(1+2)^2$;
$1^3+2^3+3^3=36$, 而$(1+2+3)^2=36$, 所以$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2$;
$1^3+2^3+3^3+4^3=100$, 而$(1+2+3+4)^2=100$, 所以$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2$.
猜想并填空：
(1)$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\_\_\_\_\_\_^2=\_\_\_\_\_\_^2$.
根据以上规律填空：
(2)$1^3+2^3+3^3+···+n^3=\_\_\_\_\_\_^2=\_\_\_\_\_\_^2$.
(3)计算:$16^3+17^3+18^3+19^3+20^3$.
$1^3+2^3=1+8=9$, 而$(1+2)^2=9$, 所以$1^3+2^3=(1+2)^2$;
$1^3+2^3+3^3=36$, 而$(1+2+3)^2=36$, 所以$1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2$;
$1^3+2^3+3^3+4^3=100$, 而$(1+2+3+4)^2=100$, 所以$1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4)^2$.
猜想并填空：
(1)$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\_\_\_\_\_\_^2=\_\_\_\_\_\_^2$.
根据以上规律填空：
(2)$1^3+2^3+3^3+···+n^3=\_\_\_\_\_\_^2=\_\_\_\_\_\_^2$.
(3)计算:$16^3+17^3+18^3+19^3+20^3$.
答案
【解】(1)由题意可得 $1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2$. 故答案为 $(1+2+3+4+5),15$.
(2)$1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2=[\frac{n(n+1)}{2}]^2$. 故答案为 $(1+2+3+…+n),[\frac{n(n+1)}{2}]$.
(3)原式 $=(1^3+2^3+3^3+…+16^3+17^3+18^3+19^3+20^3)-(1^3+2^3+3^3+…+15^3)=(1+2+3+…+20)^2-(1+2+3+…+15)^2=[\frac{20×(1+20)}{2}]^2-[\frac{15×(1+15)}{2}]^2=210^2-120^2=44\ 100-14\ 400=29\ 700$.
(2)$1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2=[\frac{n(n+1)}{2}]^2$. 故答案为 $(1+2+3+…+n),[\frac{n(n+1)}{2}]$.
(3)原式 $=(1^3+2^3+3^3+…+16^3+17^3+18^3+19^3+20^3)-(1^3+2^3+3^3+…+15^3)=(1+2+3+…+20)^2-(1+2+3+…+15)^2=[\frac{20×(1+20)}{2}]^2-[\frac{15×(1+15)}{2}]^2=210^2-120^2=44\ 100-14\ 400=29\ 700$.
6[中]仔细观察下列等式:
第1个:$5^2 -1^2=8×3$;
第2个:$9^2 -5^2=8×7$;
第3个:$13^2 -9^2=8×11$;
第4个:$17^2 -13^2=8×15$;
……
(1)请你写出第6个等式:
(2)请写出第n个等式:
初中必刷题 数学七年级上册
(3)运用上述规律,计算:$8×7 +8×11 +… +8×399 +8×403$.
第1个:$5^2 -1^2=8×3$;
第2个:$9^2 -5^2=8×7$;
第3个:$13^2 -9^2=8×11$;
第4个:$17^2 -13^2=8×15$;
……
(1)请你写出第6个等式:
25²−21²=8×23
.(2)请写出第n个等式:
(4n+1)²−(4n−3)²=8(4n−1)
.初中必刷题 数学七年级上册
(3)运用上述规律,计算:$8×7 +8×11 +… +8×399 +8×403$.
答案
【解】(1)由题意可得,第 6 个等式为 $25^2-21^2=8×23$. 故答案为 $25^2-21^2=8×23$.
(2)由题意可得,第 $n$ 个等式为 $(4n+1)^2-(4n-3)^2=8(4n-1)$. 故答案为 $(4n+1)^2-(4n-3)^2=8(4n-1)$.
(3)$8×7+8×11+…+8×399+8×403=(9^2-5^2)+(13^2-9^2)+…+(401^2-397^2)+(405^2-401^2)=9^2-5^2+13^2-9^2+…+401^2-397^2+405^2-401^2=405^2-5^2=164\ 025-25=164\ 000$.
(2)由题意可得,第 $n$ 个等式为 $(4n+1)^2-(4n-3)^2=8(4n-1)$. 故答案为 $(4n+1)^2-(4n-3)^2=8(4n-1)$.
(3)$8×7+8×11+…+8×399+8×403=(9^2-5^2)+(13^2-9^2)+…+(401^2-397^2)+(405^2-401^2)=9^2-5^2+13^2-9^2+…+401^2-397^2+405^2-401^2=405^2-5^2=164\ 025-25=164\ 000$.
