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7[2025安徽合肥期中,中]如图,将第1个图中的正方形剪开得到第2个图,第2个图中共有4个正方形;将第2个图中一个正方形剪开得到第3个图,第3个图中共有7个正方形;将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图,第4个图中共有10个正方形,…,如此下去,则第2024个图中正方形的个数为 (
A.2024
B.2022
C.6069
D.6070
D
)A.2024
B.2022
C.6069
D.6070
答案
【解析】第 1 个图中正方形的个数为 1,第 2 个图中正方形的个数为 $4=1+3$,第 3 个图中正方形的个数为 $7=1+2×3$,第 4 个图中正方形的个数为 $10=1+3×3$,所以第 $n$ 个图中正方形的个数为 $1+3(n-1)=3n-2$. 当 $n=2\ 024$ 时,$3n-2=3×2\ 024-2=6\ 070$. 故选 D.
8[2025安徽安庆期中,较难]如图(1),数轴上方有1个方块,记图(1)共有+1个方块;图(2)中数轴上方有1个方块,数轴下方有2个方块,记图(2)共有-1个方块,图(3)中数轴上方有4个方块,数轴下方有2个方块,记图(3)共有+2个方块;同理,记图(4)共有-2个方块.按照此规律,图(2 024)中共有方块 (
A.+1 012个
B.+2 024个
C.-1 012个
D.-1 013个
C
)A.+1 012个
B.+2 024个
C.-1 012个
D.-1 013个
答案
【解析】观察题图可知,题图(1)中共有+1个方块,题图(2)中共有 $1+(-2)=-1$(个)方块,题图(3)中共有 $1+(-2)+3=+2$(个)方块,题图(4)中共有 $1+(-2)+3+(-4)=-2$(个)方块,…,所以题图(2 024)中共有方块 $1+(-2)+3+(-4)+…+2\ 023+(-2\ 024)=-1×1\ 012=-1\ 012$(个),故选 C.
9[中]观察下列图形,第1个图形中有7个空心圆,第2个图形中有11个空心圆,第3个图形中有15个空心圆,…,按此规律排列下去,第n个图形中有
4n+3
个空心圆.答案
【解析】因为第 1 个图形中空心圆的个数为 $7=3+4=3+4×1$,第 2 个图形中空心圆的个数为 $11=3+4+4=3+4×2$,第 3 个图形中空心圆的个数为 $15=3+4+4+4=3+4×3$,…,所以第 $n$ 个图形中空心圆的个数为 $4n+3$. 故答案为 $(4n+3)$.
10[2025浙江宁波期中,较难]在长为a,宽为b的长方形窗户上安装装饰物,第1个装饰物是由两个半径相同的四分之一圆组成的(如图(1)所示),第2个装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和一个半圆组成的(如图(2)所示),第3个装饰物是由半径相同的两个四分之一圆和两个半圆组成的(如图(3)所示).请用代数式表示出第n(n为正整数)个装饰物的面积为
πb²/(8n)
.答案
【解析】依题意可得,第 $n$ 个装饰物由半径相同的 $(n-1)$ 个半圆和两个四分之一圆组成,即由 $n$ 个半圆组成. 因为窗户的宽为 $b$,所以半圆的半径为 $\frac{b}{2n}$,所以第 $n$ 个装饰物的面积为 $\frac{n}{2}×π(\frac{b}{2n})^2=\frac{πb^2}{8n}$,故答案为 $\frac{πb^2}{8n}$.
11[中]观察下列图形，发现图形中“•”的排列规律：
第1个图形：
；
第3个图形：
；第4个图形：
……
根据你所发现的规律，解答下列问题：
(1)在题中横线上补画出第1个图形。
(2)把第1个图形中“•”的个数记为$a_1$，第2个图形中“•”的个数记为$a_2$，第3个图形中“•”的个数记为$a_3$，…，第$n$个图形中“•”的个数记为$a_n$（其中$n$为正整数）。
①第5个图形中“•”的个数$a_5=$
②计算：$a_2 - a_1=$
③由②中的计算结果猜想：$a_{n+1} - a_n=$
④仿照②中的方法，猜想$a_{n+1} + a_n$的结果（用含有$n$的式子表示），并写出猜想过程。
第1个图形：
●●
；第2个图形：；第3个图形：
；第4个图形：……根据你所发现的规律，解答下列问题：
(1)在题中横线上补画出第1个图形。
(2)把第1个图形中“•”的个数记为$a_1$，第2个图形中“•”的个数记为$a_2$，第3个图形中“•”的个数记为$a_3$，…，第$n$个图形中“•”的个数记为$a_n$（其中$n$为正整数）。
①第5个图形中“•”的个数$a_5=$
21
。②计算：$a_2 - a_1=$
3
；$a_3 - a_2=$4
；$a_4 - a_3=$5
。③由②中的计算结果猜想：$a_{n+1} - a_n=$
n+2
。（用含有$n$的式子表示）④仿照②中的方法，猜想$a_{n+1} + a_n$的结果（用含有$n$的式子表示），并写出猜想过程。
答案
【解】(1)由题意得,第 1 个图形为●●. 故答案为●●.
(2)①由题意得 $a_5=1+2+3+4+5+6=21$. 故答案为 21.
②因为 $a_1=3,a_2=6,a_3=10,a_4=15$,所以 $a_2-a_1=6-3=3,a_3-a_2=10-6=4,a_4-a_3=15-10=5$. 故答案为 3,4,5.
③因为 $a_2-a_1=6-3=1+2,a_3-a_2=10-6=4=2+2,a_4-a_3=15-10=5=3+2,…$,所以 $a_{n+1}-a_n=n+2$. 故答案为 $n+2$.
④猜想:$a_{n+1}+a_n=(n+2)^2$. 因为 $a_1=3,a_2=6,a_3=10,a_4=15$,所以 $a_2+a_1=6+3=9=3^2=(1+2)^2,a_3+a_2=10+6=16=4^2=(2+2)^2,a_4+a_3=15+10=25=5^2=(3+2)^2,…$,所以 $a_{n+1}+a_n=(n+2)^2$.
(2)①由题意得 $a_5=1+2+3+4+5+6=21$. 故答案为 21.
②因为 $a_1=3,a_2=6,a_3=10,a_4=15$,所以 $a_2-a_1=6-3=3,a_3-a_2=10-6=4,a_4-a_3=15-10=5$. 故答案为 3,4,5.
③因为 $a_2-a_1=6-3=1+2,a_3-a_2=10-6=4=2+2,a_4-a_3=15-10=5=3+2,…$,所以 $a_{n+1}-a_n=n+2$. 故答案为 $n+2$.
④猜想:$a_{n+1}+a_n=(n+2)^2$. 因为 $a_1=3,a_2=6,a_3=10,a_4=15$,所以 $a_2+a_1=6+3=9=3^2=(1+2)^2,a_3+a_2=10+6=16=4^2=(2+2)^2,a_4+a_3=15+10=25=5^2=(3+2)^2,…$,所以 $a_{n+1}+a_n=(n+2)^2$.
