1[2025浙江衢州期中]$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,下列条件不能使$△ ABC$为直角三角形的是（）

A.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{3},c=\sqrt{5}$
B.$a:b:c=3:4:5$
C.$a=5,b=12,c=13$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$

因为 $a=\sqrt{2},b=\sqrt{3},c=\sqrt{5}$,所以 $a^2+b^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=(\sqrt{5})^2=c^2$,所以△ABC为直角三角形,故 A 选项不符合题意;因为 $a: b: c=3: 4: 5$,所以设 $a=3x$,则 $b=4x,c=5x$,所以 $a^2+b^2=25x^2=c^2$,所以△ABC 为直角三角形,故 B 选项不符合题意;因为 $a=5,b=12,c=13$,所以 $a^2+b^2=5^2+12^2=169=c^2$,所以△ABC 为直角三角形,故 C 选项不符合题意;因为 $∠A: ∠B: ∠C=3: 4: 5$,所以 $∠A=180°×\frac{3}{12}=45°$, $∠B=180°×\frac{4}{12}=60°$, $∠C=180°×\frac{5}{12}=75°$,所以△ABC 不是直角三角形,故 D 选项符合题意. 故选 D.

2 在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,下面的三角形是直角三角形的是 ()

A 选项,三角形的三边长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{8}$,$3$,$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{8})^2≠3^2$,则这个三角形不是直角三角形,故 A 选项不符合题意;B 选项,三角形的三边长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{17}$,$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{10})^2≠(\sqrt{17})^2$,则这个三角形不是直角三角形,故 B 选项不符合题意;C 选项,三角形的三边长分别为$\sqrt{10}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{20}$,$(\sqrt{10})^2+(\sqrt{10})^2=(\sqrt{20})^2$,则这个三角形是直角三角形,故 C 选项符合题意; D 选项,三角形的三边长分别为$\sqrt{10}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{8}$,这个三角形不是直角三角形,故 D 选项不符合题意. 故选 C.

3[2025浙江湖州期中]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是三角形。

因为 $AD ⊥ BC$, 所以 $∠ADB = ∠ADC= 90°$. 在 $Rt △ABD$ 中, $AB^2 = BD^2 + AD^2 =9^2 + 12^2 = 225$, 所以 $AB = 15$. 在 $Rt △ADC$ 中, $CD^2 = AC^2 - AD^2 = 20^2 - 12^2 = 256$, 所以 $CD = 16$, 所以 $BC = BD+CD=9+16=25$, 所以 $AB^2+AC^2=15^2+20^2=625$, $BC^2=25^2=625$, 所以 $AB^2+AC^2=BC^2$, 所以△ABC 为直角三角形. 故答案为直角.

4[2026浙江台州期末]第十四届国际数学教育大会(ICME-14)于2021年在上海举办，其大会标识(如图(1))的中心图案是赵爽弦图(如图(2))，该图由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成.
(1)连结AG，BG，若AE=4，BE=3，求线段BG的长度；
(2)在(1)的条件下，判断△AGB是否为直角三角形，并说明理由.

(1)如图,因为四个直角三角形全等,所以 $CG = BF = AE = 4$, $CF = BE = 3$, 所以 $FG = CG-CF=4-3=1$. 在 $Rt △BFG$ 中, $BG = \sqrt{BF^2+GF^2} = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$.
(2) $△AGB$ 不是直角三角形. 理由如下:
如图, 在 $Rt △AHG$ 中, $AH = BE = 3$, $GH = 1$, 所以 $AG^2 = 3^2 + 1^2 = 10$. 在 $Rt △ABE$ 中, $AE = 4$, $BE = 3$, 所以 $AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25$.
由(1) 可知 $BG^2 = 17$. 因为 $AG^2 + BG^2 = 10 + 17 = 27$, 所以 $AG^2 + BG^2 ≠ AB^2$, 所以 $△AGB$ 不是直角三角形.

5[2025宁夏中卫期末]一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角.工人师傅测得这个零件各边尺寸(单位:cm)如图所示,这个零件符合要求吗？请说明理由.

这个零件不符合要求. 理由如下:由题图可知, $AD = 8$ cm, $AB = 23$ cm, $DC = 20$ cm, $BC = 15$ cm, $BD = 25$ cm, 所以 $AB^2 + AD^2 = 529 + 64 = 593 ≠ 625 = 25^2 = BD^2$, $BC^2 + DC^2 = 15^2 + 20^2 = 625 = 25^2 = BD^2$, 所以 $△ABD$ 不是直角三角形, $△BDC$ 是直角三角形, 所以 $∠A ≠ 90°$, $∠C = 90°$, 故这个零件不符合要求.

6 新素材[2026湖北武汉调研]2026年是中国共产党成立105周年，也是“十五五”开局之年.如图，为迎接这一重要时刻，某校拟对学校中的一块空地进行美化施工，其中AB=3米，BC=4米，AD=13米，CD=12米，∠ABC=90°，欲在此空地上种植盆景造型，已知盆景每平方米500元，用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？

如图,连结 $AC$.
在 $Rt △ABC$ 中, $AB = 3$ 米, $BC = 4$ 米, $∠ABC = 90°$, 由勾股定理得 $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$(米). 在 $△ADC$ 中, $AD^2 = 13^2 = 5^2 + 12^2 = AC^2 + CD^2$, 由勾股定理的逆定理得 $△ADC$ 是直角三角形, 且 $∠ACD = 90°$. 所以空地面积 $= S_{△ADC} + S_{△ABC} = \frac{1}{2}CD·AC + \frac{1}{2}AB·BC = \frac{1}{2}×12×5 + \frac{1}{2}×3×4 = 36$(平方米), 所以用该盆景铺满这块空地需要 $36×500 = 18000$(元).
答: 用该盆景铺满这块空地共需花费 18000 元.