1 新考法[2025浙江宁波期中,中]如图,$△ABC$中,$AB=AC=2$,D为线段CB延长线上一点,$AD=3$,E为CD中点,F为BC中点,记EF的长为x,CF的长为y,当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是 ()

A.$xy$
B.$x^2 - xy$
C.$x^2 + xy$
D.$x^2 - y^2$

(第1题图)
(第2题图)

1.C 【解析】如图,连结 AF. 因为 AB = AC,F 为 BC 中点,所以 AF⊥CD,所以 AF² = AC²-CF² = AD²-DF². 因为记 EF 的长为 x,CF 的长为 y,E 为 CD 中点,所以 CE = DE = x+y,所以 DF = x+y+y+x = 2x+y,所以 3²-(2x+y)² = 2²-y²,整理得 4x²+4xy = 5,所以 x²+xy = 5/4,所以 x²+xy 的值不变. 故选 C.

2[中]，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连结AC，分别交EF，GH于点M，N。已知AH=3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（）

A.4
B.4.5
C.4.8
D.5

2.C 【解析】因为 S正方形ABCD = 24,所以 AB² = 24. 设 DH = x,则 AH = 3DH = 3x,所以 x²+9x² = 24,所以 x² = 24/10 = 12/5. 根据题意可知,AE = CG = DH = x,CF = AH = 3x,所以 FE = FG = CF-CG = 3x-x = 2x,所以 S△FGN = 2S△CGN. 由题意易得 S△AEM = S△CGN,所以 S△FGN = S△AEM+S△CGN,所以阴影部分的面积之和为 S梯形NGFM = 1/2 ( NG + FM ) · FG = 1/2 ( EM + MF ) · FG = 1/2 FE · FG = 1/2 · (2x)² = 2x² = 24/5 = 4.8. 故选 C.
思路分析
根据正方形的面积可得正方形边长的平方,设 DH = x,则 AH = 3DH = 3x,根据勾股定理可得 x² 的值,再根据题意可得 S△FGN = S△AEM + S△CGN,然后可得阴影部分的面积之和为梯形 NGFM 的面积,进而根据梯形面积公式求解.

3[中]如图所示是长方体透明玻璃鱼缸,假设其长$AD = 80\ \mathrm{cm}$,高$AB = 60\ \mathrm{cm}$,水深$AE = 40\ \mathrm{cm}$.在水面上紧贴内壁$G$处有一块面包屑,$G$在水面线$EF$上,且$EG = 60\ \mathrm{cm}$,一只小虫想从鱼缸外的$A$点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的$G$处吃面包屑,则小虫爬行的最短路线长为$\mathrm{cm}$.

(第3题图)
(第4题图)

3.100 【解析】如图,作点 A 关于 BC 的对称点 A',连结 A'G 交 BC 于点 Q,小虫沿着 A→Q→G 的路线爬行时路程最短,AQ+QG = A'Q+QG = A'G,即最短路线长为 A'G 的长. 在 Rt△A'EG 中,A'E = 80 cm,EG = 60 cm,所以 A'G² = A'E² + EG² = 10 000,所以 A'G = 100 cm,所以最短路线长为 100 cm. 故答案为 100.

4[2026浙江温州期中,中]如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,分别以四边形ABCD的四条边为直径,向外作四个半圆,记四个半圆的面积分别为$S_1,S_2,S_3$和$S_4$,若$S_1=5π,S_2=9π$,$S_4=\frac{3}{4}S_3$,则$S_4$的值是.(结果保留π)

4.6π 【解析】连结 AC. 设 AD = d₁,CD = d₂,BC = d₃,AB = d₄,则 S₁ = πd₁²/8 = 5π,解得 d₁² = 40; S₂ = πd₂²/8 = 9π,解得 d₂² = 72; S₃ = πd₃²/8; S₄ = πd₄²/8. 因为∠ABC = ∠ADC = 90°,所以 AC² = AD²+CD² = AB²+BC²,即 d₁²+d₂² = d₃²+d₄². 由 S₄ = 3/4 S₃,得 πd₄²/8 = 3/4 · πd₃²/8,化简得 d₄² = 3/4 d₃². 将 d₁² = 40,d₂² = 72,d₄² = 3/4 d₃² 代入 d₁²+d₂² = d₃²+d₃²,得 40+72 = 3/4 d₃²+d₃²,解得 d₃² = 64,则 S₃ = π×64/8 = 8π,所以 S₄ = 3/4 S₃ = 3/4 ×8π = 6π. 故答案为 6π.

5 三角形折叠 [2025 浙江嘉兴期末,中]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6$,$BC=8$,将$△ ABC$折叠,使点$B$恰好落在边$AC$上,与点$B'$重合,$AE$为折痕,则$EB'=$.

(第5题图)
(第6题图)

5.3 【解析】因为∠B = 90°,且 AB = 6,BC = 8,所以 AC = √(AB²+BC²) = 10. 由折叠的性质得 AB = AB' = 6,BE = B'E,∠B = ∠EB'A = 90°,所以 B'C = 10-6 = 4. 设 BE = B'E = x,则 EC = 8-x. 因为∠EB'A = ∠EB'C = 90°,所以 x²+4² = (8-x)²,解得 x = 3,所以 EB' = 3. 故答案为 3.

6 长方形折叠 [2025 河北廊坊调研,较难]如图,在长方形$ABCD$中,$AB=\dfrac{13}{2}$,$BC=12$,$AG=13$,$E$为$BC$上一点,沿$AE$所在直线翻折$△ ABE$,使$AB$与$AF$重合,点$F$在$AG$上,则$CE$的长是.
刷素养 .................. 走向重高

6.23/3 【解析】如图,连结 EG. 因为四边形 ABCD 是长方形,所以∠B = ∠C = ∠D = 90°,AB = CD = 13/2,AD = BC = 12. 由折叠的性质得∠AFE = ∠B = 90°,AF = AB = 13/2. 因为 AG = 13,所以 FG = AG-AF = 13/2,所以 AF = FG,所以 EF 垂直平分 AG,所以 AE = GE. 因为 AD = 12,AG = 13,∠D = 90°,所以 DG = √(13²-12²) = 5,所以 CG = CD-DG = 3/2. 在 Rt△ABE 中,AE² = AB²+BE²,在 Rt△CEG 中,GE² = CE²+CG². 因为 AE = GE,所以 AB²+BE² = CE²+CG²,所以 (13/2)² + (12-CE)² = CE² + (3/2)²,解得 CE = 23/3. 故答案为 23/3.
刷有所得
解决折叠的相关问题时,我们常常设要求的线段长为 x,然后根据折叠的性质用含 x 的代数式表示其他所需线段的长度,再选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.

7 核心素养 模型观念 [较难]如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,点P从点A开始沿A→C方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点C开始沿C→B→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)当t=2时,求PQ的长.
(2)求运动几秒时,△APB是等腰三角形.
(3)当点Q在边BA上运动时,求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间.

7.【解】(1)当 t = 2 时,AP = 2,CQ = 2t = 4,则 CP = AC-AP = 8-2 = 6. 在 Rt△CPQ 中,PQ = √(CP²+CQ²) = √(6²+4²) = √52,即 PQ 的长为 √52 cm.
(2)当 PB = PA 时,△APB 是等腰三角形,此时 PA = t = PB,则 PC = 8-t. 在 Rt△CBP 中,由 BC²+PC² = PB²,得 6²+(8-t)² = t²,解得 t = 25/4. 故运动 25/4 s 时,△APB 是等腰三角形.
(3)分情况讨论:①当 QC = QB 时,∠B = ∠BCQ. 因为∠B+∠A = ∠BCQ+∠ACQ = 90°,所以∠A = ∠ACQ,所以 AQ = CQ = BQ. 在 Rt△BCA 中,BA = √(BC²+CA²) = √(6²+8²) = 10,所以 AQ = CQ = BQ = 5. 因为 BQ = 2t-6,所以 2t-6 = 5,解得 t = 5.5.
②当 BQ = BC 时,2t-6 = 6,解得 t = 6.
③当 CQ = CB 时,过点 C 作 CN ⊥ AB,垂足为 N,如图, 则 BQ = 2BN,S△ABC = 1/2 AC · BC = 1/2 AB · CN,即 1/2 ×8×6 = 1/2 ×10×CN,解得 CN = 24/5,所以 BN = √(BC²-CN²) = √(6²-(24/5)²) = 18/5,所以 BQ = 2BN = 36/5,所以 2t-6 = 36/5,解得 t = 33/5.
综上所述,当运动时间为 5.5 s 或 6 s 或 33/5 s 时,△BCQ 为等腰三角形.