1.「2026安徽合肥期中」观察下列式子的规律：
第1个式子：$2x+1$；第2个式子：$-4x^2+3$；
第3个式子：$8x^3+5$；第4个式子：$-16x^4+7$；……
请根据上述规律回答下列问题：
(1)第6个式子为.
(2)试找出规律，用含$n$的代数式表示第$n$个式子.
(3)当$x=-1$时，求前6个式子的和.

(1) $-64x^6+11$.
(2)对于第n个式子,含x的项的系数为$(-1)^{n+1}2^n$,x的次数为n,常数项为$2n-1$,所以第n个式子可表示为$(-1)^{n+1}2^n x^n+2n-1$.
(3)当$x=-1$时,前6个式子的值分别为$2×(-1)+1=-1$,
$-4×(-1)^2+3=-1$,
$8×(-1)^3+5=-3$,
$-16×(-1)^4+7=-9$,
$32×(-1)^5+9=-23$,
$-64×(-1)^6+11=-53$,
所以前6个式子的和为$-1-1-3-9-23-53=-90$.

【分析】
解决这道题需要拆分每个式子的组成部分逐一找规律：1. 先观察式子结构，每个式子都由含x的项和常数项两部分组成；2. 分别分析含x项的符号、系数绝对值、x的次数的规律，再单独分析常数项的规律；3. 整合各部分规律得到第n个式子的通用表达式，再对应解决三个问题：(1)将n=6代入通用规律即可得到第6个式子；(2)用含n的代数式表示各部分规律后整合即可；(3)把x=-1代入前6个式子分别计算结果，再相加求和即可。
【解析】
先拆分各部分找规律：
①符号规律：第1个式子含x项为正，第2个为负，第3个为正，即奇数项符号为正、偶数项符号为负，对应符号为$(-1)^{n+1}$；
②含x项的系数绝对值：第1个是$2=2^1$，第2个是$4=2^2$，第3个是$8=2^3$，因此第n个的系数绝对值为$2^n$，结合符号可得含x项为$(-1)^{n+1}2^n x^n$；
③常数项规律：第1个是$1=2×1-1$，第2个是$3=2×2-1$，第3个是$5=2×3-1$，因此第n个的常数项为$2n-1$。
(1) 当$n=6$时，代入规律计算：
符号为$(-1)^{6+1}=-1$，系数绝对值为$2^6=64$，x的次数为6，常数项为$2×6-1=11$，因此第6个式子为$-64x^6+11$。
(2) 整合三部分规律，可得第n个式子为$(-1)^{n+1}2^n x^n + 2n - 1$。
(3) 把$x=-1$分别代入前6个式子计算：
第1个：$2×(-1)+1=-1$
第2个：$-4×(-1)^2+3=-1$
第3个：$8×(-1)^3+5=-3$
第4个：$-16×(-1)^4+7=-9$
第5个：$32×(-1)^5+9=-23$
第6个：$-64×(-1)^6+11=-53$
求和得：$-1-1-3-9-23-53=-90$
【答案】
(1) $-64x^6+11$
(2) $(-1)^{n+1}2^n x^n+2n-1$
(3) $-90$
【知识点】
整式规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是整式规律探究的典型题型，解题核心是将复杂的整式拆分为符号、系数、次数、常数项等多个独立部分分别找规律，再综合得到通用表达式，既考查观察归纳能力，也考查代数式计算能力，计算时需注意符号问题避免出错。
【难度系数】
0.7

2.「2026安徽合肥三十八中期中」观察下面的数阵，完成下列问题.
第1行:1
第2行:-2,3,-4
第3行:5,-6,7,-8,9
第4行:-10,11,-12,13,-14,15,-16
……
(1)第n行有个数,第n行最右边的数为(用含n的式子表示,n为正整数).
(2)计算第5行所有数的和.
(3)若某一行最右边的数为2025,求该行所有数的和.

(1)$(2n-1)$;$(-1)^{n+1}n^2$.
详解:第1行有1个数,最右边的数为1;
第2行有3个数,最右边的数为-4;
第3行有5个数,最右边的数为9;
第4行有7个数,最右边的数为-16;
……
所以第n行有$(2n-1)$个数,最右边的数为$(-1)^{n+1}n^2$.
(2)由题意得,第4行最右边的数为-16,
则第5行最左边的数为17,所以第5行所有数的和为$17-18+19-20+21-22+23-24+25=21$.
(3)因为当$n=45$时,$(-1)^{n+1}n^2=(-1)^{45+1}×45^2=2025$,
所以第45行最右边的数为2025,
当$n=44$时,$(-1)^{n+1}n^2=(-1)^{44+1}×44^2=-1936$,
则第45行最左边的数为1937,
所以第45行所有数的和为$1937-1938+1939-1940+…+2023-2024+2025=(-1)×44+2025=-44+2025=1981$,故该行所有数的和为1981.

【分析】
（1）先观察每行数字的个数：第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，均为连续奇数，可推出第n行的数字个数为$2n-1$；再观察每行最右边的数：绝对值依次为$1^2、2^2、3^2、4^2$，即绝对值为$n^2$，符号为奇数行正、偶数行负，可用$(-1)^{n+1}$表示符号，因此可推出第n行最右边的数。
（2）计算第5行的和，需先确定第5行的第一个数：第4行最右边的数是-16，因此第5行第一个数为17，第5行共9个数，符号一正一负交替，可分组计算求和。
（3）已知某行最右边的数为2025，先结合第一问的规律求出行数n，再确定该行第一个数，仿照第二问的分组求和方法计算总和即可。
【解析】
（1）观察数阵可知：
第1行有$1=2×1-1$个数，最右边的数为$1=(-1)^{1+1}×1^2$；
第2行有$3=2×2-1$个数，最右边的数为$-4=(-1)^{2+1}×2^2$；
第3行有$5=2×3-1$个数，最右边的数为$9=(-1)^{3+1}×3^2$；
第4行有$7=2×4-1$个数，最右边的数为$-16=(-1)^{4+1}×4^2$；
因此第n行有$(2n-1)$个数，最右边的数为$(-1)^{n+1}n^2$。
（2）由（1）的规律可知，第4行最右边的数为-16，因此第5行最左边的数为17，第5行共$2×5-1=9$个数，依次为17,-18,19,-20,21,-22,23,-24,25，求和得：
$17-18+19-20+21-22+23-24+25=(17-18)+(19-20)+(21-22)+(23-24)+25=(-1)×4+25=21$。
（3）因为最右边的数为2025（正数），所以$(-1)^{n+1}n^2=2025$，即$n^2=2025$，解得$n=45$，即该行为第45行。
第44行最右边的数为$(-1)^{44+1}×44^2=-1936$，因此第45行最左边的数为1937，第45行共$2×45-1=89$个数，前88个数可两两分组，每组和为-1，共44组，最后一个数为2025，求和得：
$1937-1938+1939-1940+…+2023-2024+2025=(-1)×44+2025=1981$。
【答案】
(1)$2n-1$；$(-1)^{n+1}n^2$
(2)21
(3)1981
【知识点】
数阵规律探究，有理数加减运算，列代数式
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要通过观察特殊行的数字特征归纳出通用规律，再运用规律解决具体的计算问题，掌握从特殊到一般的归纳方法是解题的核心。
【难度系数】
0.6

3.「2026安徽滁州天长期中」我们知道$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；……
(1) 依照上述规律填空：$\frac{1}{4×5}=$，$\frac{1}{2024×2025}$=。
(2) 用含$n$（$n$为正整数）的式子表示上述规律：。
(3) 化简式子$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{(n-1)n}+\frac{1}{n(n+1)}$，并求出当$n=2025$时式子的值。

(1)$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$;$\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$.
(2)$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
(3)原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$=1-\frac{1}{n+1}$,当$n=2025$时,原式$=1-\frac{1}{2025+1}=\frac{2025}{2026}$.

【分析】
这是数字规律探究类题目，解题思路如下：首先观察已知等式，可发现规律：分子为1、分母是两个连续正整数乘积的分数，可拆分为这两个连续正整数的倒数之差。（1）直接套用该规律即可写出结果；（2）将具体数值替换为正整数n，就能总结出通用规律；（3）利用所得规律拆分原式的每一项，拆分后中间的分数会两两抵消，仅剩下首尾两项，化简后代入n=2025计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据已知呈现的规律$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，可得：
$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{2024×2025}=\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$；
(2) 设n为正整数，结合上述规律可推导通用表达式：
$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(3) 先利用规律拆分原式的每一项：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
观察可知中间相邻的正负项全部抵消，仅剩首尾两项，化简得：
原式$=1-\frac{1}{n+1}$
当$n=2025$时，代入化简后的式子计算：
原式$=1-\frac{1}{2025+1}=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；$\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
(2) $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(3) 化简结果为$1-\frac{1}{n+1}$，当$n=2025$时的值为$\frac{2025}{2026}$
【知识点】
分数裂项规律；数字规律探究；代数式求值
【点评】
本题是典型的裂项相消类规律题，解题核心是掌握分子为1、分母为相邻正整数乘积的分数的拆分方法，拆分后中间项两两抵消可大幅简化计算，这类规律常应用于分数累加类运算中，熟练掌握后可快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.8

4.「2026 安徽安庆月考改编」观察下列各式：
$2=1×2;2+4=6=2×3;2+4+6=12=3×4;2+4+6+8=20=4×5;……$
利用上述规律回答问题：
(1)若$n$个连续正偶数的和为$S$,则当$n=10$时,$S=$.
(2)①猜想:$S=2+4+6+8+…+2n=$.$(n$为正整数,结果用含$n$的代数式表示$)$
②验证“①猜想”的正确性.
(3)计算:$2+4+6+8+…+2024+2026$.

(1)110.
详解:当$n=1$时,$S=1×2$,当$n=2$时,$S=2×3$,当$n=3$时,$S=3×4$,当$n=4$时,$S=4×5$,……,所以当$n=10$时,$S=10×11=110$.
(2)①$n(n+1)$.
②证明:$S=2+4+6+8+…+2n=2(1+2+3+4+…+n)=2×\frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$,所以$S=n(n+1)$.
(3)因为$2+4+6+8+…+2024+2026$为1013个连续正偶数的和,由(2)得,$S=n(n+1)$,所以$2+4+6+8+…+2024+2026=1013×1014=1013×(1000+14)=1013000+14182=1027182$.

【分析】
解题时先观察给出的已知等式，可发现等式左侧是n个连续正偶数相加，右侧是n与(n+1)的乘积，据此归纳通用规律求解各问：(1)直接将n=10代入归纳的规律计算即可；(2)①根据前面的例子直接猜想求和表达式，②通过提取公因数2，结合1到n的正整数求和公式验证猜想的正确性；(3)先根据最后一项的数值确定所求式子的项数n，再代入规律公式计算结果。
【解析】
(1)观察已知等式可得规律：n个连续正偶数的和$S=n(n+1)$。
当$n=10$时，$S=10×11=110$。
(2)①根据上述规律，可猜想$S=2+4+6+8+…+2n=n(n+1)$。
②验证：
$\begin{aligned}左边&=2+4+6+8+…+2n\\&=2×(1+2+3+4+…+n)\\&=2×\frac{n(n+1)}{2}\\&=n(n+1)=右边\end{aligned}$
因此猜想成立。
(3)式子$2+4+6+8+…+2026$的最后一项为2026，令$2n=2026$，解得$n=1013$，即该式是1013个连续正偶数的和。
代入规律公式得：
$\begin{aligned}S&=1013×(1013+1)\\&=1013×1014\\&=1013×1000 + 1013×14\\&=1013000+14182\\&=1027182\end{aligned}$
【答案】
(1)$110$
(2)①$n(n+1)$；②猜想正确，验证过程见解析
(3)$1027182$
【知识点】
数字规律探究，有理数运算，代数式化简
【点评】
本题以连续偶数求和为载体，考查学生的归纳推理能力，要求学生先通过观察特例总结规律，再通过代数推导验证规律，最终应用规律解决实际计算问题，能有效锻炼学生的逻辑思维和知识迁移能力。
【难度系数】
0.75