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1 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6$,$BC=8$,$AD$平分$∠ BAC$,交$BC$于点$D$,则$CD$的长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，已知两条直角边长，可先用勾股定理求出斜边AC的长度；接着AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作AC的垂线DE，可得BD=DE，且可证Rt△ABD和Rt△AED全等，得到AE=AB，进而求出CE的长度；最后设CD为x，用含x的式子表示DE，在Rt△CDE中利用勾股定理列方程，即可求解CD的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
过点$D$作$DE⊥ AC$于点$E$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DB⊥ AB$，$DE⊥ AC$，
$\therefore BD=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△ ABD$和$Rt△ AED$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\BD=DE\end{array} $
$\therefore Rt△ ABD≌ Rt△ AED(HL)$，
$\therefore AE=AB=6$，
$\therefore CE=AC-AE=10-6=4$。
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=8-x$，即$DE=8-x$，
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$CD^2=DE^2+CE^2$，即$x^2=(8-x)^2+4^2$，
展开得：$x^2=64-16x+x^2+16$，
化简得：$16x=80$，解得$x=5$，即$CD=5$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，解题的核心是利用角平分线的性质得到相等线段，再结合勾股定理建立等量关系列方程求解，能有效考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，已知两条直角边长，可先用勾股定理求出斜边AC的长度；接着AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作AC的垂线DE，可得BD=DE，且可证Rt△ABD和Rt△AED全等，得到AE=AB，进而求出CE的长度；最后设CD为x，用含x的式子表示DE，在Rt△CDE中利用勾股定理列方程，即可求解CD的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
过点$D$作$DE⊥ AC$于点$E$，
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DB⊥ AB$，$DE⊥ AC$，
$\therefore BD=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$Rt△ ABD$和$Rt△ AED$中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\BD=DE\end{array} $
$\therefore Rt△ ABD≌ Rt△ AED(HL)$，
$\therefore AE=AB=6$，
$\therefore CE=AC-AE=10-6=4$。
设$CD=x$，则$BD=BC-CD=8-x$，即$DE=8-x$，
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$CD^2=DE^2+CE^2$，即$x^2=(8-x)^2+4^2$，
展开得：$x^2=64-16x+x^2+16$，
化简得：$16x=80$，解得$x=5$，即$CD=5$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，解题的核心是利用角平分线的性质得到相等线段，再结合勾股定理建立等量关系列方程求解，能有效考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
2 把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF。若AB=4 cm，BC=8 cm，则DF的长为（
A.3 cm
B.4 cm
C.4.8 cm
D.5 cm
D
）A.3 cm
B.4 cm
C.4.8 cm
D.5 cm
答案
2. D
解析
【分析】
本题是长方形折叠求线段长度的问题，解题思路如下：首先回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得BF=DF；其次长方形四个角为直角，AB与CD长度相等，因此△DFC是直角三角形，我们可以设DF的长度为未知数，用含未知数的式子表示出FC的长度，最后在Rt△DFC中利用勾股定理列方程，解方程即可得到DF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=4cm，∠C=90°，BC=8cm。
由折叠的性质可知：BF=DF。
设DF=x cm，则BF=x cm，FC=BC-BF=(8-x)cm。
在Rt△DFC中，根据勾股定理得：
$DF^2=FC^2+CD^2$
代入数据得：$x^2=(8-x)^2+4^2$
展开计算：$x^2=64-16x+x^2+16$
消去$x^2$得：$0=80-16x$
解得：$x=5$
即DF的长为5cm。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将所求线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，掌握这类方法可以解决大多数折叠求线段长的问题。
【难度系数】
0.7
本题是长方形折叠求线段长度的问题，解题思路如下：首先回忆折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得BF=DF；其次长方形四个角为直角，AB与CD长度相等，因此△DFC是直角三角形，我们可以设DF的长度为未知数，用含未知数的式子表示出FC的长度，最后在Rt△DFC中利用勾股定理列方程，解方程即可得到DF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=4cm，∠C=90°，BC=8cm。
由折叠的性质可知：BF=DF。
设DF=x cm，则BF=x cm，FC=BC-BF=(8-x)cm。
在Rt△DFC中，根据勾股定理得：
$DF^2=FC^2+CD^2$
代入数据得：$x^2=(8-x)^2+4^2$
展开计算：$x^2=64-16x+x^2+16$
消去$x^2$得：$0=80-16x$
解得：$x=5$
即DF的长为5cm。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将所求线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，掌握这类方法可以解决大多数折叠求线段长的问题。
【难度系数】
0.7
3 如图①所示为“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80 m. 如图②所示为秋千摆动过程的示意图，其中O为秋千的绳索固定点，AC为部分地面平台，绳索OA＝OB，BD⊥OA，BD＝100 m，AD＝80 m，秋千的绳索始终保持拉直，求绳索OA的长度.
答案
设$OA=OB=x$ m,则$OD=(x-80)$m. 因为$BD⊥OA$,所以$∠BDO=90°$.所以$OD^2+BD^2=OB^2$.所以$(x-80)^2+100^2=x^2$.所以$x=102.5$.所以绳索OA的长度为102.5 m
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际问题中的应用，解题时首先观察图形：由$BD⊥OA$可知$△ BDO$是直角三角形，已知$OA=OB$，$BD=100\ \mathrm{m}$，$AD=80\ \mathrm{m}$，要求$OA$的长度，可采用方程思想，设$OA$的长度为未知数，用含未知数的式子表示出$OD$的长度，再利用直角三角形的勾股定理列方程，求解即可得到$OA$的长度。
【解析】
设绳索$OA=OB=x\ \mathrm{m}$，则$OD=OA-AD=(x-80)\ \mathrm{m}$。
因为$BD⊥OA$，所以$∠ BDO=90°$，即$△ BDO$为直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$OD^2+BD^2=OB^2$
代入对应边长得：$(x-80)^2+100^2=x^2$
展开计算：$x^2-160x+6400+10000=x^2$
化简得：$-160x+16400=0$
解得：$x=102.5$
【答案】
绳索OA的长度为$\boldsymbol{102.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；线段和差计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，是勾股定理与方程思想结合的典型应用题型，解题的关键是找到图中的直角三角形，找准边长之间的数量关系，利用勾股定理建立等量方程求解，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.75
本题是勾股定理在实际问题中的应用，解题时首先观察图形：由$BD⊥OA$可知$△ BDO$是直角三角形，已知$OA=OB$，$BD=100\ \mathrm{m}$，$AD=80\ \mathrm{m}$，要求$OA$的长度，可采用方程思想，设$OA$的长度为未知数，用含未知数的式子表示出$OD$的长度，再利用直角三角形的勾股定理列方程，求解即可得到$OA$的长度。
【解析】
设绳索$OA=OB=x\ \mathrm{m}$，则$OD=OA-AD=(x-80)\ \mathrm{m}$。
因为$BD⊥OA$，所以$∠ BDO=90°$，即$△ BDO$为直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$OD^2+BD^2=OB^2$
代入对应边长得：$(x-80)^2+100^2=x^2$
展开计算：$x^2-160x+6400+10000=x^2$
化简得：$-160x+16400=0$
解得：$x=102.5$
【答案】
绳索OA的长度为$\boldsymbol{102.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；线段和差计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，是勾股定理与方程思想结合的典型应用题型，解题的关键是找到图中的直角三角形，找准边长之间的数量关系，利用勾股定理建立等量方程求解，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.75
4 如图，在$△ ABC$中，$AB=15$，$BC=14$，$AC=13$.过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$BD=x$.
（1）$CD=$
（2）请根据勾股定理，利用$AD$作为“桥梁”列方程，并求出$x$的值；
（3）利用勾股定理，求出$AD$的长，并求$△ ABC$的面积.
（1）$CD=$
$14-x$
（用含$x$的代数式表示）；（2）请根据勾股定理，利用$AD$作为“桥梁”列方程，并求出$x$的值；
（3）利用勾股定理，求出$AD$的长，并求$△ ABC$的面积.
答案
(1) $14-x$
(2) 因为$AD⊥BC$,所以$∠ADB=∠ADC=90°$.在$Rt△ADC$中,由勾股定理,得$AD^2=AC^2-CD^2$;在$Rt△ABD$中,由勾股定理,得$AD^2=AB^2-BD^2$.所以$13^2-(14-x)^2=15^2-x^2$.所以$x=9$
(3) 由(2),得$BD=9$.所以$AD^2=15^2-9^2=144$.所以$AD=12$.所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2}×14×12=84$
(2) 因为$AD⊥BC$,所以$∠ADB=∠ADC=90°$.在$Rt△ADC$中,由勾股定理,得$AD^2=AC^2-CD^2$;在$Rt△ABD$中,由勾股定理,得$AD^2=AB^2-BD^2$.所以$13^2-(14-x)^2=15^2-x^2$.所以$x=9$
(3) 由(2),得$BD=9$.所以$AD^2=15^2-9^2=144$.所以$AD=12$.所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AD=\frac{1}{2}×14×12=84$
解析
【分析】
（1）观察图形可知点D在线段BC上，线段BC的长度为CD与BD的和，已知BC=14，BD=x，直接用BC的总长减去BD的长度即可表示出CD；
（2）AD是Rt△ADC和Rt△ABD的公共直角边，分别在两个直角三角形中根据勾股定理表示出$AD^2$，两个$AD^2$的表达式相等，即可列出关于x的方程，解方程就能求出x的值；
（3）把求出的x的值代入任意一个$AD^2$的表达式，即可算出AD的长度，再根据三角形面积公式，以BC为底、AD为高代入计算就能得到△ABC的面积。
【解析】
（1）
∵BC=14，BD=x，点D在BC上
∴$CD=BC-BD=14-x$
（2）
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=∠ADC=90°$
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=13^2-(14-x)^2$
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=15^2-x^2$
∴可列方程：$13^2-(14-x)^2=15^2-x^2$
展开计算得：$169-(196-28x+x^2)=225-x^2$
整理得：$28x=252$
解得$x=9$
（3）由（2）知$BD=9$，在$Rt△ABD$中：
$AD^2=15^2-9^2=225-81=144$
∵$AD＞0$，
∴$AD=12$
△ABC的面积为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×14×12=84$
【答案】
（1）$14-x$；（2）$x=9$；（3）$AD=12$，$S_{△ABC}=84$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；三角形面积计算
【点评】
本题是方程思想在勾股定理中应用的典型题目，利用两个直角三角形的公共直角边建立等量关系列方程是解题核心，体现了代数方法解决几何问题的思路，能有效锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察图形可知点D在线段BC上，线段BC的长度为CD与BD的和，已知BC=14，BD=x，直接用BC的总长减去BD的长度即可表示出CD；
（2）AD是Rt△ADC和Rt△ABD的公共直角边，分别在两个直角三角形中根据勾股定理表示出$AD^2$，两个$AD^2$的表达式相等，即可列出关于x的方程，解方程就能求出x的值；
（3）把求出的x的值代入任意一个$AD^2$的表达式，即可算出AD的长度，再根据三角形面积公式，以BC为底、AD为高代入计算就能得到△ABC的面积。
【解析】
（1）
∵BC=14，BD=x，点D在BC上
∴$CD=BC-BD=14-x$
（2）
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=∠ADC=90°$
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=13^2-(14-x)^2$
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=15^2-x^2$
∴可列方程：$13^2-(14-x)^2=15^2-x^2$
展开计算得：$169-(196-28x+x^2)=225-x^2$
整理得：$28x=252$
解得$x=9$
（3）由（2）知$BD=9$，在$Rt△ABD$中：
$AD^2=15^2-9^2=225-81=144$
∵$AD＞0$，
∴$AD=12$
△ABC的面积为：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×14×12=84$
【答案】
（1）$14-x$；（2）$x=9$；（3）$AD=12$，$S_{△ABC}=84$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程应用；三角形面积计算
【点评】
本题是方程思想在勾股定理中应用的典型题目，利用两个直角三角形的公共直角边建立等量关系列方程是解题核心，体现了代数方法解决几何问题的思路，能有效锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
5 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB$于点D.若$BD=9,CD=12$,求AD的长.
答案
因为$CD⊥AB$,所以$∠CDB=90°$.在$Rt△BCD$中,由勾股定理,得$BC^2=CD^2+BD^2=12^2+9^2=225$,所以$BC=15$.设$AD=x$,则$AB=x+9$.在$Rt△ABC$和$Rt△ACD$中,由勾股定理,得$AB^2-BC^2=AC^2$,$AD^2+CD^2=AC^2$,则$AB^2-BC^2=AD^2+CD^2$,所以$(x+9)^2-15^2=x^2+12^2$.所以$x=16$.所以$AD=16$
解析
【分析】
解题时先观察图形，图中共有3个直角三角形，已知CD、BD的长度，第一步可先在$Rt△BCD$中用勾股定理求出BC的长度；要求AD的长，可设AD为x，观察到AC是$Rt△ABC$和$Rt△ACD$的公共边，我们可以分别在这两个直角三角形中用勾股定理表示出$AC^2$，利用等量关系列方程，求解方程就能得到AD的长度。
【解析】
因为$CD⊥AB$，所以$∠CDB=90°$。
在$Rt△BCD$中，由勾股定理，得$BC^2=CD^2+BD^2=12^2+9^2=225$，所以$BC=15$。
设$AD=x$，则$AB=x+9$。
在$Rt△ABC$和$Rt△ACD$中，由勾股定理，得$AB^2-BC^2=AC^2$，$AD^2+CD^2=AC^2$，则$AB^2-BC^2=AD^2+CD^2$，所以$(x+9)^2-15^2=x^2+12^2$。
展开并化简方程：$x^2+18x+81-225=x^2+144$，解得$x=16$。
【答案】
$16$
【知识点】
勾股定理；方程思想；等量代换
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想的典型应用，解题核心是利用两个直角三角形的公共边作为等量关系搭建方程，将几何计算问题转化为一元一次方程求解，体现了数形结合的思想，能有效锻炼用代数方法解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，图中共有3个直角三角形，已知CD、BD的长度，第一步可先在$Rt△BCD$中用勾股定理求出BC的长度；要求AD的长，可设AD为x，观察到AC是$Rt△ABC$和$Rt△ACD$的公共边，我们可以分别在这两个直角三角形中用勾股定理表示出$AC^2$，利用等量关系列方程，求解方程就能得到AD的长度。
【解析】
因为$CD⊥AB$，所以$∠CDB=90°$。
在$Rt△BCD$中，由勾股定理，得$BC^2=CD^2+BD^2=12^2+9^2=225$，所以$BC=15$。
设$AD=x$，则$AB=x+9$。
在$Rt△ABC$和$Rt△ACD$中，由勾股定理，得$AB^2-BC^2=AC^2$，$AD^2+CD^2=AC^2$，则$AB^2-BC^2=AD^2+CD^2$，所以$(x+9)^2-15^2=x^2+12^2$。
展开并化简方程：$x^2+18x+81-225=x^2+144$，解得$x=16$。
【答案】
$16$
【知识点】
勾股定理；方程思想；等量代换
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想的典型应用，解题核心是利用两个直角三角形的公共边作为等量关系搭建方程，将几何计算问题转化为一元一次方程求解，体现了数形结合的思想，能有效锻炼用代数方法解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.7
