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1 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别为$x_1=5$，$x_2=-3$，则抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点之间的距离为（
A.2
B.4
C.6
D.8
D
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
1. D
解析
【分析】
解题思路：首先明确一元二次方程的实数根与对应抛物线和x轴交点横坐标的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴两个交点的横坐标。接下来求两个交点之间的距离，只需要计算两个根的差的绝对值即可，因为x轴上两点的距离等于横坐标之差的绝对值。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别为$x_1=5$，$x_2=-3$
∴ 抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点的横坐标分别为5和-3，即交点坐标为$(5,0)$、$(-3,0)$
∴ 两个交点之间的距离为$\left|5 - (-3)\right| = \left|8\right| = 8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 数轴上两点间的距离计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，掌握该对应关系，结合数轴上两点距离的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确一元二次方程的实数根与对应抛物线和x轴交点横坐标的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴两个交点的横坐标。接下来求两个交点之间的距离，只需要计算两个根的差的绝对值即可，因为x轴上两点的距离等于横坐标之差的绝对值。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根分别为$x_1=5$，$x_2=-3$
∴ 抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的两个交点的横坐标分别为5和-3，即交点坐标为$(5,0)$、$(-3,0)$
∴ 两个交点之间的距离为$\left|5 - (-3)\right| = \left|8\right| = 8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 数轴上两点间的距离计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，掌握该对应关系，结合数轴上两点距离的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2 已知二次函数$y=(x-a)(x-b)-2(a＜b)$的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且$m＜n$，则下列结论正确的是（
A.$m＜a＜n＜b$
B.$a＜m＜b＜n$
C.$m＜a＜b＜n$
D.$a＜m＜n＜b$
C
）A.$m＜a＜n＜b$
B.$a＜m＜b＜n$
C.$m＜a＜b＜n$
D.$a＜m＜n＜b$
答案
2. C
解析
【分析】
解题可以从两种易懂的角度切入：①特殊值代入法：本题是选择题，a、b为任意满足a＜b的常数，可给a、b赋简单的具体数值，代入函数求出m、n后直接比较大小，方法直观高效；②图象平移法：先分析基础二次函数$y_1=(x-a)(x-b)$的性质，它是开口向上的抛物线，和x轴交于$(a,0)$、$(b,0)$两点，题中函数是$y_1$向下平移2个单位得到的，结合图象就能判断平移后函数与x轴交点m、n和a、b的大小关系。
【解析】
方法一：特殊值法
令$a=1$，$b=2$（满足$a＜b$的条件），代入二次函数得：
$y=(x-1)(x-2)-2=x^2-3x+2-2=x^2-3x$
令$y=0$，即$x^2-3x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$
已知$m＜n$，因此$m=0$，$n=3$
比较大小得$0＜1＜2＜3$，即$m＜a＜b＜n$。
方法二：图象平移法
设$y_1=(x-a)(x-b)$，该函数开口向上，当$y_1=0$时，$x=a$或$x=b$，即$y_1$与x轴交点为$(a,0)$、$(b,0)$；且当$x＜a$或$x＞b$时$y_1＞0$，$a＜x＜b$时$y_1＜0$。
题中函数$y=(x-a)(x-b)-2=y_1-2$，是$y_1$的图象整体向下平移2个单位得到的。
令$y=0$，即$y_1=2$，因为$y_1$开口向上，$y_1=2$对应的x值一定在$y_1=0$的解的外侧：一个小于a，一个大于b，结合$m＜n$可得$m＜a＜b＜n$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与方程结合的常考题型，既可以用特殊值法快速得到答案，也可以通过分析图象平移规律推导结论，解题时可灵活选择方法降低难度。
【难度系数】
0.7
解题可以从两种易懂的角度切入：①特殊值代入法：本题是选择题，a、b为任意满足a＜b的常数，可给a、b赋简单的具体数值，代入函数求出m、n后直接比较大小，方法直观高效；②图象平移法：先分析基础二次函数$y_1=(x-a)(x-b)$的性质，它是开口向上的抛物线，和x轴交于$(a,0)$、$(b,0)$两点，题中函数是$y_1$向下平移2个单位得到的，结合图象就能判断平移后函数与x轴交点m、n和a、b的大小关系。
【解析】
方法一：特殊值法
令$a=1$，$b=2$（满足$a＜b$的条件），代入二次函数得：
$y=(x-1)(x-2)-2=x^2-3x+2-2=x^2-3x$
令$y=0$，即$x^2-3x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$
已知$m＜n$，因此$m=0$，$n=3$
比较大小得$0＜1＜2＜3$，即$m＜a＜b＜n$。
方法二：图象平移法
设$y_1=(x-a)(x-b)$，该函数开口向上，当$y_1=0$时，$x=a$或$x=b$，即$y_1$与x轴交点为$(a,0)$、$(b,0)$；且当$x＜a$或$x＞b$时$y_1＞0$，$a＜x＜b$时$y_1＜0$。
题中函数$y=(x-a)(x-b)-2=y_1-2$，是$y_1$的图象整体向下平移2个单位得到的。
令$y=0$，即$y_1=2$，因为$y_1$开口向上，$y_1=2$对应的x值一定在$y_1=0$的解的外侧：一个小于a，一个大于b，结合$m＜n$可得$m＜a＜b＜n$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数与方程结合的常考题型，既可以用特殊值法快速得到答案，也可以通过分析图象平移规律推导结论，解题时可灵活选择方法降低难度。
【难度系数】
0.7
3 若二次函数$y=-x^2+2x+m$的部分图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根为________.
答案
3. $x_1=-1,x_2=3$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确：关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根，就是二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴交点的横坐标。解题步骤为：1. 先求出该二次函数的对称轴，可通过对称轴公式直接计算，也可结合图象直接得到对称轴为直线x=1；2. 由图象可知抛物线与x轴的一个交点横坐标为3，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根是二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴交点的横坐标，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，
代入$a=-1,b=2$，得对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为$(3,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_1$，
根据抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称，因此有$\frac{x_1+3}{2}=1$，
解得$x_1=2×1 - 3=-1$。
∴ 一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根为$x_1=-1,x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数图象性质与一元二次方程根的对应关系，解题的核心是利用抛物线的对称性快速求出未知的交点横坐标，也可通过代入已知交点坐标求参数m后解方程得到结果，是二次函数章节的基础典型题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确：关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根，就是二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴交点的横坐标。解题步骤为：1. 先求出该二次函数的对称轴，可通过对称轴公式直接计算，也可结合图象直接得到对称轴为直线x=1；2. 由图象可知抛物线与x轴的一个交点横坐标为3，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即可求出另一个交点的横坐标，也就是方程的另一个根。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根是二次函数$y=-x^2+2x+m$的图象与x轴交点的横坐标，
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，
代入$a=-1,b=2$，得对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为$(3,0)$，设另一个交点的横坐标为$x_1$，
根据抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称，因此有$\frac{x_1+3}{2}=1$，
解得$x_1=2×1 - 3=-1$。
∴ 一元二次方程$-x^2+2x+m=0$的根为$x_1=-1,x_2=3$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题考查二次函数图象性质与一元二次方程根的对应关系，解题的核心是利用抛物线的对称性快速求出未知的交点横坐标，也可通过代入已知交点坐标求参数m后解方程得到结果，是二次函数章节的基础典型题。
【难度系数】
0.8
4 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 4x + m = 0$有两个不相等的实数根，则抛物线$y = x^2 + 4x + m$的顶点在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4. C
解析
【分析】
解题时可按三步推导：第一步，根据一元二次方程有两个不相等实数根的性质，可知判别式Δ＞0，代入方程系数即可得到关于m的不等关系；第二步，利用二次函数顶点坐标公式，分别计算顶点的横坐标、纵坐标的符号；第三步，结合象限内点的坐标特征判断顶点所在象限。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 + 4x + m = 0$有两个不相等的实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，代入$a=1,b=4,c=m$得：
$\Delta=4^2-4×1× m=16-4m＞0$，整理得$m-4＜0$。
对于抛物线$y=x^2+4x+m$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$：
1. 顶点横坐标：$x=-\frac{4}{2×1}=-2＜0$；
2. 顶点纵坐标：$y=\frac{4×1× m-4^2}{4×1}=m-4$，由$\Delta＞0$可知$m-4＜0$，即纵坐标$y＜0$。
横坐标为负、纵坐标为负的点在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；二次函数顶点坐标；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合基础题，需要学生将方程根的情况和二次函数的性质结合分析，掌握判别式的意义和顶点坐标的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步推导：第一步，根据一元二次方程有两个不相等实数根的性质，可知判别式Δ＞0，代入方程系数即可得到关于m的不等关系；第二步，利用二次函数顶点坐标公式，分别计算顶点的横坐标、纵坐标的符号；第三步，结合象限内点的坐标特征判断顶点所在象限。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 + 4x + m = 0$有两个不相等的实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，代入$a=1,b=4,c=m$得：
$\Delta=4^2-4×1× m=16-4m＞0$，整理得$m-4＜0$。
对于抛物线$y=x^2+4x+m$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$：
1. 顶点横坐标：$x=-\frac{4}{2×1}=-2＜0$；
2. 顶点纵坐标：$y=\frac{4×1× m-4^2}{4×1}=m-4$，由$\Delta＞0$可知$m-4＜0$，即纵坐标$y＜0$。
横坐标为负、纵坐标为负的点在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；二次函数顶点坐标；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程的综合基础题，需要学生将方程根的情况和二次函数的性质结合分析，掌握判别式的意义和顶点坐标的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5（易错题）已知关于$x$的函数$y=kx^2 -7x -7$的图象与$x$轴有交点，则$k$的取值范围是（
A.$k＞-\dfrac{7}{4}$
B.$k≥ -\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
C.$k≥ -\dfrac{7}{4}$
D.$k＞-\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
C
）A.$k＞-\dfrac{7}{4}$
B.$k≥ -\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
C.$k≥ -\dfrac{7}{4}$
D.$k＞-\dfrac{7}{4}$且$k≠0$
答案
5. C
易漏掉函数是一次函数的情况而出错。
易漏掉函数是一次函数的情况而出错。
解析
【分析】
解题时首先要注意题目未明确说明函数是二次函数，因此需要分两种情况讨论：①当k=0时，函数为一次函数，判断其与x轴是否有交点；②当k≠0时，函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于对应的一元二次方程有实数根，可利用根的判别式Δ≥0求解k的范围，最后合并两种情况的结果即可得到正确取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，函数解析式为$y=-7x-7$，属于一次函数。令$y=0$，解得$x=-1$，因此该函数图象与x轴有交点，$k=0$符合题意。
2. 当$k≠0$时，函数$y=kx^2-7x-7$是二次函数，若其图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程$kx^2-7x-7=0$有实数根，因此根的判别式$\Delta ≥ 0$。
代入$a=k$，$b=-7$，$c=-7$计算得：
$\Delta = (-7)^2 - 4 × k × (-7) = 49 + 28k ≥ 0$
解不等式得：$k ≥ -\dfrac{7}{4}$，结合$k≠0$的前提，此时$k$的取值范围是$-\dfrac{7}{4} ≤ k ＜ 0$或$k＞0$。
综合两种情况，$k$的取值范围是$k ≥ -\dfrac{7}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象特征；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易默认函数为二次函数，直接忽略$k=0$的情况导致误选B。遇到最高次项系数含有参数的函数问题时，首先要分类讨论函数类型，再结合对应性质求解，最后合并所有符合条件的取值范围。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意题目未明确说明函数是二次函数，因此需要分两种情况讨论：①当k=0时，函数为一次函数，判断其与x轴是否有交点；②当k≠0时，函数为二次函数，图象与x轴有交点等价于对应的一元二次方程有实数根，可利用根的判别式Δ≥0求解k的范围，最后合并两种情况的结果即可得到正确取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，函数解析式为$y=-7x-7$，属于一次函数。令$y=0$，解得$x=-1$，因此该函数图象与x轴有交点，$k=0$符合题意。
2. 当$k≠0$时，函数$y=kx^2-7x-7$是二次函数，若其图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程$kx^2-7x-7=0$有实数根，因此根的判别式$\Delta ≥ 0$。
代入$a=k$，$b=-7$，$c=-7$计算得：
$\Delta = (-7)^2 - 4 × k × (-7) = 49 + 28k ≥ 0$
解不等式得：$k ≥ -\dfrac{7}{4}$，结合$k≠0$的前提，此时$k$的取值范围是$-\dfrac{7}{4} ≤ k ＜ 0$或$k＞0$。
综合两种情况，$k$的取值范围是$k ≥ -\dfrac{7}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象特征；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易默认函数为二次函数，直接忽略$k=0$的情况导致误选B。遇到最高次项系数含有参数的函数问题时，首先要分类讨论函数类型，再结合对应性质求解，最后合并所有符合条件的取值范围。
【难度系数】
0.6
6 若点$(2,m)$在二次函数$y=ax^2 - 3ax + b$($a$，$b$为常数，且$a≠0$)的图象上，则关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 3ax + b = m$的两个实数根是（
A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=1,x_2=3$
B
）A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=1,x_2=3$
答案
6. B
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：① 先利用“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”的性质，确定方程$ax^2 - 3ax + b = m$的其中一个根；② 再用对称轴公式求出二次函数的对称轴；③ 结合二次函数的对称性：二次函数与直线$y=m$的两个交点横坐标（即方程的两个根）关于对称轴对称，即可求出另一个根，得到最终答案。
【解析】
1. 确定已知根
∵ 点$(2,m)$在二次函数$y=ax^2 - 3ax + b$的图象上
∴ 当$x=2$时，函数值$y=m$，即$x=2$是一元二次方程$ax^2 - 3ax + b = m$的一个实数根。
2. 求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$
本题中$A=a$，$B=-3a$，代入得：
$x=-\frac{-3a}{2a}=\frac{3}{2}$（$a≠0$，可约去）
3. 利用对称性求另一个根
一元二次方程$ax^2 - 3ax + b = m$的两个实数根，就是抛物线$y=ax^2 - 3ax + b$与直线$y=m$两个交点的横坐标，两个交点关于抛物线的对称轴对称。
设另一个根为$x_1$，则两个根的中点为对称轴，即：
$\frac{x_1+2}{2}=\frac{3}{2}$
解得$x_1=1$
∴ 方程的两个实数根是$x_1=1$，$x_2=2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称轴
【点评】
本题结合二次函数性质和一元二次方程的根考查，核心是理解方程的根对应函数图象交点的横坐标，灵活运用二次函数的对称性可简化计算，避免直接解方程的繁琐。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推进：① 先利用“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”的性质，确定方程$ax^2 - 3ax + b = m$的其中一个根；② 再用对称轴公式求出二次函数的对称轴；③ 结合二次函数的对称性：二次函数与直线$y=m$的两个交点横坐标（即方程的两个根）关于对称轴对称，即可求出另一个根，得到最终答案。
【解析】
1. 确定已知根
∵ 点$(2,m)$在二次函数$y=ax^2 - 3ax + b$的图象上
∴ 当$x=2$时，函数值$y=m$，即$x=2$是一元二次方程$ax^2 - 3ax + b = m$的一个实数根。
2. 求二次函数的对称轴
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$
本题中$A=a$，$B=-3a$，代入得：
$x=-\frac{-3a}{2a}=\frac{3}{2}$（$a≠0$，可约去）
3. 利用对称性求另一个根
一元二次方程$ax^2 - 3ax + b = m$的两个实数根，就是抛物线$y=ax^2 - 3ax + b$与直线$y=m$两个交点的横坐标，两个交点关于抛物线的对称轴对称。
设另一个根为$x_1$，则两个根的中点为对称轴，即：
$\frac{x_1+2}{2}=\frac{3}{2}$
解得$x_1=1$
∴ 方程的两个实数根是$x_1=1$，$x_2=2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称轴
【点评】
本题结合二次函数性质和一元二次方程的根考查，核心是理解方程的根对应函数图象交点的横坐标，灵活运用二次函数的对称性可简化计算，避免直接解方程的繁琐。
【难度系数】
0.7
7 二次函数 $y=ax^2+bx$ 的图象如图所示.若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+m=0$ 的两个实数根异号,则 $m$ 的取值范围是 
$m＜0$
. 答案
7. $m＜0$
解析
【分析】
解题时先将方程问题转化为二次函数与直线的交点问题：一元二次方程$ax^2+bx+m=0$的根等价于二次函数$y=ax^2+bx$和直线$y=-m$交点的横坐标。接下来观察二次函数图象的性质：当$x＜0$时函数值恒大于0，$x=0$时函数值为0，$x＞0$时函数值先负后正。要让两个根异号，说明两个交点的横坐标一正一负，因此直线$y=-m$的位置必须满足和$x＜0$、$x＞0$的图象各有一个交点，即$y=-m＞0$，进而求解$m$的范围即可。
【解析】
将一元二次方程$ax^2+bx+m=0$变形为$ax^2+bx=-m$，因此方程的两个实数根就是二次函数$y=ax^2+bx$的图象与直线$y=-m$交点的横坐标。
观察图象可得：
1. 当$x＜0$时，$y=ax^2+bx$的函数值恒大于0；当$x=0$时，$y=0$；当$x＞0$时，函数值先小于0、后大于0。
2. 若两个实数根异号，即两个交点横坐标一正一负，说明直线$y=-m$在$x$轴上方，即$-m＞0$。
解不等式$-m＞0$，得$m＜0$。
【答案】
$m＜0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题利用数形结合思想，将方程根的符号问题转化为函数图象交点的位置问题，降低了解题难度，解题核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的转化关系。
【难度系数】
0.7
解题时先将方程问题转化为二次函数与直线的交点问题：一元二次方程$ax^2+bx+m=0$的根等价于二次函数$y=ax^2+bx$和直线$y=-m$交点的横坐标。接下来观察二次函数图象的性质：当$x＜0$时函数值恒大于0，$x=0$时函数值为0，$x＞0$时函数值先负后正。要让两个根异号，说明两个交点的横坐标一正一负，因此直线$y=-m$的位置必须满足和$x＜0$、$x＞0$的图象各有一个交点，即$y=-m＞0$，进而求解$m$的范围即可。
【解析】
将一元二次方程$ax^2+bx+m=0$变形为$ax^2+bx=-m$，因此方程的两个实数根就是二次函数$y=ax^2+bx$的图象与直线$y=-m$交点的横坐标。
观察图象可得：
1. 当$x＜0$时，$y=ax^2+bx$的函数值恒大于0；当$x=0$时，$y=0$；当$x＞0$时，函数值先小于0、后大于0。
2. 若两个实数根异号，即两个交点横坐标一正一负，说明直线$y=-m$在$x$轴上方，即$-m＞0$。
解不等式$-m＞0$，得$m＜0$。
【答案】
$m＜0$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题利用数形结合思想，将方程根的符号问题转化为函数图象交点的位置问题，降低了解题难度，解题核心是掌握二次函数与对应一元二次方程的转化关系。
【难度系数】
0.7
8 教材变式题 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；
（2）写出关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集；
（3）若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=k$有两个不等的实数根，求$k$的取值范围。
（1）写出关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；
（2）写出关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集；
（3）若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=k$有两个不等的实数根，求$k$的取值范围。
答案
8. (1) $x_1=1,x_2=3$ (2) $x＜1$ 或 $x＞3$ (3) $k＜2$
解析
【分析】
本题考查二次函数图象与一元二次方程、不等式的关联，运用数形结合思想求解即可：
（1）一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，只需找出图象与x轴交点的横坐标即可；
（2）不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集对应二次函数图象位于x轴下方时x的取值范围，观察图象找到y＜0对应的x区间即可；
（3）方程$ax^2+bx+c=k$有两个不等实根，等价于二次函数图象与直线$y=k$有两个不同交点，结合抛物线的最大值即可判断k的取值范围。
【解析】
（1）由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$。
（2）不等式$ax^2+bx+c＜0$即函数值$y＜0$，观察图象可得：当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线位于x轴下方，对应y值小于0，因此不等式的解集为$x＜1$或$x＞3$。
（3）方程$ax^2+bx+c=k$有两个不等的实数根，即二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$有2个不同的交点。由图象可知抛物线顶点坐标为$(2,2)$，函数的最大值为2，因此当$k＜2$时，直线$y=k$与抛物线有两个交点，即$k$的取值范围是$k＜2$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=3$ (2) $x＜1$ 或 $x＞3$ (3) $k＜2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查数形结合思想的应用，解题的核心是明确二次函数图象与对应方程、不等式之间的转化关系，能从图象中读取交点、顶点等关键信息即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数图象与一元二次方程、不等式的关联，运用数形结合思想求解即可：
（1）一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，只需找出图象与x轴交点的横坐标即可；
（2）不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集对应二次函数图象位于x轴下方时x的取值范围，观察图象找到y＜0对应的x区间即可；
（3）方程$ax^2+bx+c=k$有两个不等实根，等价于二次函数图象与直线$y=k$有两个不同交点，结合抛物线的最大值即可判断k的取值范围。
【解析】
（1）由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$。
（2）不等式$ax^2+bx+c＜0$即函数值$y＜0$，观察图象可得：当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线位于x轴下方，对应y值小于0，因此不等式的解集为$x＜1$或$x＞3$。
（3）方程$ax^2+bx+c=k$有两个不等的实数根，即二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$有2个不同的交点。由图象可知抛物线顶点坐标为$(2,2)$，函数的最大值为2，因此当$k＜2$时，直线$y=k$与抛物线有两个交点，即$k$的取值范围是$k＜2$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=3$ (2) $x＜1$ 或 $x＞3$ (3) $k＜2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查数形结合思想的应用，解题的核心是明确二次函数图象与对应方程、不等式之间的转化关系，能从图象中读取交点、顶点等关键信息即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
