登录
12 把抛物线$C_1:y=x^2+2x+3$先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线$C_2$.
（1）直接写出抛物线$C_2$对应的函数解析式.
（2）动点$P(a,-6)$是否在抛物线$C_2$上？请说明理由.
（3）若点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0$，请比较$y_1,y_2$的大小.
（1）直接写出抛物线$C_2$对应的函数解析式.
（2）动点$P(a,-6)$是否在抛物线$C_2$上？请说明理由.
（3）若点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0$，请比较$y_1,y_2$的大小.
答案
12. (1) $y=(x-3)^2-3$
(2) 动点 $P(a,-6)$ 不在抛物线 $C_2$ 上，理由:由(1),知抛物线 $C_2$ 对应的函数解析式为 $y=(x-3)^2-3,\therefore$ 函数的最小值为$-3. \because -6＜-3,\therefore$ 动点 $P(a,-6)$不在抛物线 $C_2$ 上.
(3) $\because$ 抛物线 $C_2$ 对应的函数解析式为 $y=(x-3)^2-3,\therefore$ 开口向上,对称轴为直线 $x=3. \therefore$ 当 $x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\because$ 点 $A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线 $C_2$ 上,且 $m＜n＜0＜3,\therefore y_1＞y_2$
(2) 动点 $P(a,-6)$ 不在抛物线 $C_2$ 上，理由:由(1),知抛物线 $C_2$ 对应的函数解析式为 $y=(x-3)^2-3,\therefore$ 函数的最小值为$-3. \because -6＜-3,\therefore$ 动点 $P(a,-6)$不在抛物线 $C_2$ 上.
(3) $\because$ 抛物线 $C_2$ 对应的函数解析式为 $y=(x-3)^2-3,\therefore$ 开口向上,对称轴为直线 $x=3. \therefore$ 当 $x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. $\because$ 点 $A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线 $C_2$ 上,且 $m＜n＜0＜3,\therefore y_1＞y_2$
解析
【分析】
（1）求解平移后的抛物线解析式，先将原抛物线$C_1$配方为顶点式，再根据二次函数平移“左加右减（针对横坐标）、上加下减（针对纵坐标）”的规则计算，即可得到$C_2$的解析式；
（2）判断点$P$是否在抛物线上，可先分析抛物线$C_2$的最值：$C_2$开口向上，函数有最小值，若点$P$的纵坐标小于最小值，则点不可能在抛物线上；
（3）比较两个点的函数值大小，先确定抛物线$C_2$的开口方向和对称轴，判断$A$、$B$两点所在的区间，再结合对应区间的增减性即可比较$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
（1）先将抛物线$C_1$的解析式化为顶点式：
$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$
根据平移规则，向右平移4个单位长度，即将$x$替换为$x-4$，再向下平移5个单位长度，即整体减5，可得$C_2$的解析式：
$y=(x+1-4)^2+2-5=(x-3)^2-3$
（2）动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由如下：
由（1）可知抛物线$C_2$的解析式为$y=(x-3)^2-3$，
∵$(x-3)^2≥0$，
∴$y=(x-3)^2-3≥-3$，即函数的最小值为$-3$，
∵$-6＜-3$，不存在$x$使得函数值为$-6$，
∴动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。
（3）
∵抛物线$C_2$的解析式为$y=(x-3)^2-3$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，
∴当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0＜3$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
（1）$y=(x-3)^2-3$
（2）动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由见解析
（3）$y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数的平移规律；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的图像性质设题，考查平移变换、最值判断和函数值大小比较，都是二次函数的基础核心考点，熟练掌握顶点式的应用和图像性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
（1）求解平移后的抛物线解析式，先将原抛物线$C_1$配方为顶点式，再根据二次函数平移“左加右减（针对横坐标）、上加下减（针对纵坐标）”的规则计算，即可得到$C_2$的解析式；
（2）判断点$P$是否在抛物线上，可先分析抛物线$C_2$的最值：$C_2$开口向上，函数有最小值，若点$P$的纵坐标小于最小值，则点不可能在抛物线上；
（3）比较两个点的函数值大小，先确定抛物线$C_2$的开口方向和对称轴，判断$A$、$B$两点所在的区间，再结合对应区间的增减性即可比较$y_1$、$y_2$的大小。
【解析】
（1）先将抛物线$C_1$的解析式化为顶点式：
$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$
根据平移规则，向右平移4个单位长度，即将$x$替换为$x-4$，再向下平移5个单位长度，即整体减5，可得$C_2$的解析式：
$y=(x+1-4)^2+2-5=(x-3)^2-3$
（2）动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由如下：
由（1）可知抛物线$C_2$的解析式为$y=(x-3)^2-3$，
∵$(x-3)^2≥0$，
∴$y=(x-3)^2-3≥-3$，即函数的最小值为$-3$，
∵$-6＜-3$，不存在$x$使得函数值为$-6$，
∴动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上。
（3）
∵抛物线$C_2$的解析式为$y=(x-3)^2-3$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$，
∴当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵点$A(m,y_1),B(n,y_2)$都在抛物线$C_2$上，且$m＜n＜0＜3$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
（1）$y=(x-3)^2-3$
（2）动点$P(a,-6)$不在抛物线$C_2$上，理由见解析
（3）$y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数的平移规律；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题围绕二次函数的图像性质设题，考查平移变换、最值判断和函数值大小比较，都是二次函数的基础核心考点，熟练掌握顶点式的应用和图像性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13 如图,在平面直角坐标系中,点 B 的坐标为$(-1,0)$,点 A,C 分别在 x 轴和 y 轴上,且$OA=OC=4OB$,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过 A,B,C 三点.
(1) 求 A,C 两点的坐标;
(2) 求抛物线对应的函数解析式;
(3) 若 P 是直线 AC 下方抛物线上的一个动点,作$PD⊥AC$于点 D,当 PD 的长最大时,求点 P 的坐标及 PD 长的最大值.
(1) 求 A,C 两点的坐标;
(2) 求抛物线对应的函数解析式;
(3) 若 P 是直线 AC 下方抛物线上的一个动点,作$PD⊥AC$于点 D,当 PD 的长最大时,求点 P 的坐标及 PD 长的最大值.
答案
13. (1) $\because$ 点 $B$ 的坐标为$(-1,0),\therefore OB=1. \because OA=OC=4OB,\therefore OA=OC=4. \therefore A(4,0),C(0,-4)$
(2) $\because$ 该抛物线过点 $A(4,0),B(-1,0),\therefore$ 其函数解析式可变为 $y=a(x-4)·(x+1),$把 $C(0,-4)$代入,得$-4=a(0-4)(0+1),$解得 $a=1. \therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$
(3) 设直线 $AC$ 对应的函数解析式为 $y=kx+m,$将$A(4,0),C(0,-4)$代入,得$\begin{cases}-4=m,\\0=4k+m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\m=-4.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AC$ 对应的函数解析式为 $y=x-4.$ 如图,过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线,交 $AC$ 于点 $H. \because OA=OC=4,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°$.$\because PH// y$ 轴,$\therefore ∠ PHD=∠ OCA=45°.$ 设点 $P(x,x^2-3x-4),$则点 $H(x,x-4),\therefore PD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-4 -x^2+3x+4)= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} · x^2+2\sqrt{2} x= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-2)^2+2\sqrt{2}. \because -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ＜0,\therefore$ 当 $x=2$ 时,$PD$ 的长有最大值,其最大值为 $2\sqrt{2},$此时点 $P$ 的坐标为$(2,-6)$
解析
【分析】
(1) 先根据点B的坐标求出OB的长度，再结合OA=OC=4OB的条件，以及A在x轴正半轴、C在y轴负半轴的位置特征，即可直接得出A、C两点的坐标。
(2) 已知抛物线与x轴交于A、B两个交点，优先设交点式求解抛物线解析式，代入C点坐标求出参数a后整理即可得到解析式，比设一般式计算更简便。
(3) 先求出直线AC的解析式，直接计算PD的长度难度较大，观察可知直线AC与坐标轴夹角为45°，因此过P作y轴平行线交AC于点H，可得△PDH为等腰直角三角形，将PD转化为$\frac{\sqrt{2}}{2}PH$；再设出P点横坐标，写出P、H的坐标，用H的纵坐标减P的纵坐标得到PH的表达式，进而得到PD关于横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最值即可。
【解析】
(1)
∵点B的坐标为$(-1,0)$，
∴$OB=1$。
∵$OA=OC=4OB$，
∴$OA=OC=4$。
∵A在x轴正半轴，C在y轴负半轴，
∴$A(4,0)$，$C(0,-4)$。
(2)
∵抛物线过$A(4,0)$、$B(-1,0)$两点，
∴设抛物线解析式为$y=a(x-4)(x+1)(a≠0)$。
将$C(0,-4)$代入解析式，得：$-4=a(0-4)(0+1)$，解得$a=1$。
∴抛物线的解析式为$y=(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$。
(3) 设直线AC的解析式为$y=kx+m(k≠0)$，将$A(4,0)$、$C(0,-4)$代入得：
$\begin{cases}m=-4\\4k+m=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\m=-4\end{cases}$，
∴直线AC的解析式为$y=x-4$。
过点P作y轴的平行线，交AC于点H。
∵$OA=OC=4$，$∠ AOC=90°$，
∴$∠ OAC=∠ OCA=45°$。
∵$PH// y$轴，
∴$∠ PHD=∠ OCA=45°$，又$PD⊥ AC$，
∴$△ PDH$为等腰直角三角形，$PD=\frac{\sqrt{2}}{2}PH$。
设点P的坐标为$(x,x^2-3x-4)$，则点H的坐标为$(x,x-4)$。
∵P在直线AC下方，
∴$PH=(x-4)-(x^2-3x-4)=-x^2+4x$，
∴$PD=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x^2+4x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-2)^2+2\sqrt{2}$。
∵$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜0$，
∴当$x=2$时，PD取得最大值，最大值为$2\sqrt{2}$，此时点P的坐标为$(2,-6)$。
【答案】
13. (1) $\because$ 点 $B$ 的坐标为$(-1,0),\therefore OB=1. \because OA=OC=4OB,\therefore OA=OC=4. \therefore A(4,0),C(0,-4)$
(2) $\because$ 该抛物线过点 $A(4,0),B(-1,0),\therefore$ 其函数解析式可变为 $y=a(x-4)·(x+1),$把 $C(0,-4)$代入,得$-4=a(0-4)(0+1),$解得 $a=1. \therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$
(3) 设直线 $AC$ 对应的函数解析式为 $y=kx+m,$将$A(4,0),C(0,-4)$代入,得$\begin{cases}-4=m,\\0=4k+m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\m=-4.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AC$ 对应的函数解析式为 $y=x-4.$ 如图,过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线,交 $AC$ 于点 $H. \because OA=OC=4,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°$.$\because PH// y$ 轴,$\therefore ∠ PHD=∠ OCA=45°.$ 设点 $P(x,x^2-3x-4),$则点 $H(x,x-4),\therefore PD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-4 -x^2+3x+4)= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} · x^2+2\sqrt{2} x= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-2)^2+2\sqrt{2}. \because -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ＜0,\therefore$ 当 $x=2$ 时,$PD$ 的长有最大值,其最大值为 $2\sqrt{2},$此时点 $P$ 的坐标为$(2,-6)$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数最值计算
3. 一次函数表达式求解
【点评】
本题是二次函数的经典综合题型，依次考查了坐标轴上点的坐标推导、抛物线与一次函数解析式的求法、动点线段最值的计算，解题的核心是通过作辅助线将斜向的垂线段PD转化为便于计算的竖直线段相关的表达式，再利用二次函数性质求解最值，充分体现了转化思想在代数几何综合题中的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据点B的坐标求出OB的长度，再结合OA=OC=4OB的条件，以及A在x轴正半轴、C在y轴负半轴的位置特征，即可直接得出A、C两点的坐标。
(2) 已知抛物线与x轴交于A、B两个交点，优先设交点式求解抛物线解析式，代入C点坐标求出参数a后整理即可得到解析式，比设一般式计算更简便。
(3) 先求出直线AC的解析式，直接计算PD的长度难度较大，观察可知直线AC与坐标轴夹角为45°，因此过P作y轴平行线交AC于点H，可得△PDH为等腰直角三角形，将PD转化为$\frac{\sqrt{2}}{2}PH$；再设出P点横坐标，写出P、H的坐标，用H的纵坐标减P的纵坐标得到PH的表达式，进而得到PD关于横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最值即可。
【解析】
(1)
∵点B的坐标为$(-1,0)$，
∴$OB=1$。
∵$OA=OC=4OB$，
∴$OA=OC=4$。
∵A在x轴正半轴，C在y轴负半轴，
∴$A(4,0)$，$C(0,-4)$。
(2)
∵抛物线过$A(4,0)$、$B(-1,0)$两点，
∴设抛物线解析式为$y=a(x-4)(x+1)(a≠0)$。
将$C(0,-4)$代入解析式，得：$-4=a(0-4)(0+1)$，解得$a=1$。
∴抛物线的解析式为$y=(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$。
(3) 设直线AC的解析式为$y=kx+m(k≠0)$，将$A(4,0)$、$C(0,-4)$代入得：
$\begin{cases}m=-4\\4k+m=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\m=-4\end{cases}$，
∴直线AC的解析式为$y=x-4$。
过点P作y轴的平行线，交AC于点H。
∵$OA=OC=4$，$∠ AOC=90°$，
∴$∠ OAC=∠ OCA=45°$。
∵$PH// y$轴，
∴$∠ PHD=∠ OCA=45°$，又$PD⊥ AC$，
∴$△ PDH$为等腰直角三角形，$PD=\frac{\sqrt{2}}{2}PH$。
设点P的坐标为$(x,x^2-3x-4)$，则点H的坐标为$(x,x-4)$。
∵P在直线AC下方，
∴$PH=(x-4)-(x^2-3x-4)=-x^2+4x$，
∴$PD=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x^2+4x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}(x-2)^2+2\sqrt{2}$。
∵$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜0$，
∴当$x=2$时，PD取得最大值，最大值为$2\sqrt{2}$，此时点P的坐标为$(2,-6)$。
【答案】
13. (1) $\because$ 点 $B$ 的坐标为$(-1,0),\therefore OB=1. \because OA=OC=4OB,\therefore OA=OC=4. \therefore A(4,0),C(0,-4)$
(2) $\because$ 该抛物线过点 $A(4,0),B(-1,0),\therefore$ 其函数解析式可变为 $y=a(x-4)·(x+1),$把 $C(0,-4)$代入,得$-4=a(0-4)(0+1),$解得 $a=1. \therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$
(3) 设直线 $AC$ 对应的函数解析式为 $y=kx+m,$将$A(4,0),C(0,-4)$代入,得$\begin{cases}-4=m,\\0=4k+m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\m=-4.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$AC$ 对应的函数解析式为 $y=x-4.$ 如图,过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线,交 $AC$ 于点 $H. \because OA=OC=4,\therefore ∠ OAC=∠ OCA=45°$.$\because PH// y$ 轴,$\therefore ∠ PHD=∠ OCA=45°.$ 设点 $P(x,x^2-3x-4),$则点 $H(x,x-4),\therefore PD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-4 -x^2+3x+4)= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} · x^2+2\sqrt{2} x= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-2)^2+2\sqrt{2}. \because -\dfrac{\sqrt{2}}{2} ＜0,\therefore$ 当 $x=2$ 时,$PD$ 的长有最大值,其最大值为 $2\sqrt{2},$此时点 $P$ 的坐标为$(2,-6)$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数最值计算
3. 一次函数表达式求解
【点评】
本题是二次函数的经典综合题型，依次考查了坐标轴上点的坐标推导、抛物线与一次函数解析式的求法、动点线段最值的计算，解题的核心是通过作辅助线将斜向的垂线段PD转化为便于计算的竖直线段相关的表达式，再利用二次函数性质求解最值，充分体现了转化思想在代数几何综合题中的应用。
【难度系数】
0.6
