1 [2024 绵阳]将一把折扇展开，可抽象成一个扇形.若该扇形的半径为2 dm,弧长为$\frac{4}{3}π$ dm,则扇形的圆心角的度数为 （）

A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$

1. D

【分析】
本题要求扇形的圆心角度数，已知扇形的半径和弧长，解题的核心是回忆弧长的计算公式，将已知的半径、弧长代入公式，通过解方程即可求出圆心角的度数。
【解析】
扇形的弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是圆心角的度数，$r$是扇形半径，$l$是弧长）。
由题可知，$r=2\ \mathrm{dm}$，$l=\frac{4}{3}π\ \mathrm{dm}$，将数值代入公式得：
$\frac{4}{3}π=\frac{nπ × 2}{180}$
两边同时约去$π$，整理得：
$\frac{4}{3}=\frac{n}{90}$
解得$n=120$，即圆心角的度数为$120°$。
【答案】
D
【知识点】
弧长计算公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查弧长公式的直接应用，解题时需注意公式中圆心角为角度制，代入数值计算时要细心，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

2 [2024哈尔滨]若$90°$的圆心角所对的弧长是$3π \mathrm{cm}$，则此弧所在圆的半径是。

2. 6 cm

【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题思路如下：首先明确已知条件：圆心角$n=90°$，对应弧长$l=3π\ \mathrm{cm}$，待求量是圆的半径$r$。首先回忆弧长公式：$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），已知$l$、$n$求$r$，可将公式变形为$r=\frac{180l}{nπ}$，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
设此弧所在圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=3π$，$n=90$代入公式得：
$3π=\frac{90×π× r}{180}$
化简等式右侧：$\frac{90π r}{180}=\frac{π r}{2}$，因此等式变为：
$3π=\frac{π r}{2}$
两边同时除以$π$得：$3=\frac{r}{2}$，解得$r=6$。
【答案】
6 cm
【知识点】
1. 弧长公式
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心是对弧长公式的识记和直接应用，计算量小，解题时需注意公式中圆心角的单位是角度，最终结果不要漏写单位。
【难度系数】
0.9

3 [2025连云港]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧BC的长为。

3. π

【分析】
要计算劣弧BC的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。已知⊙O半径$R=2$，因此需要先求出劣弧BC所对的圆心角的度数。已知∠BAC是劣弧BC所对的圆周角，度数为45°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出圆心角度数后代入弧长公式即可得到结果。
【解析】
解：连接OB、OC。
∵ ∠BAC是劣弧BC所对的圆周角，∠BOC是劣弧BC所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×45°=90°$
已知⊙O的半径$R=2$，代入弧长公式：
$l_{\mathrm{劣弧}BC}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$
【答案】
π
【知识点】
圆周角定理；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先利用圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式计算即可，解题时注意区分同弧对应的圆周角和圆心角的数量关系。
【难度系数】
0.8

4 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$ 的三个顶点的坐标分别为$A(-1,2),B(-3,4),C(-2,6)$.
(1) 画出将$△ ABC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$得到的$△ A_1B_1C_1$,并直接写出点 $B_1,C_1$ 的坐标;
(2) 在(1)的条件下,求点 $B$ 经过的路径长.

4. (1) 如图所示，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求作，$B_1(1,4),C_1(3,3)$
(2) 由勾股定理,得 $AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore$ 点 $B$ 经过的路径长$=\frac{90π×2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π$

【分析】
(1) 要画出$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到的$△ A_1B_1C_1$，根据旋转的性质，旋转后点$A$的对应点$A_1$与$A$重合，只需确定$B$、$C$旋转后的对应点$B_1$、$C_1$：可通过数方格确定线段$AB$、$AC$顺时针旋转$90°$后的位置，也可利用旋转$90°$的坐标变换规律得到$B_1$、$C_1$的坐标，顺次连接三点即可得到所求三角形。
(2) 点$B$经过的路径是圆心为$A$、半径为$AB$长度、圆心角为$90°$的圆弧，因此先用勾股定理计算$AB$的长度，再代入弧长公式即可求出路径长。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 点$A$为旋转中心，对应点$A_1$与$A$重合，坐标为$(-1,2)$；
② 将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$90°$，得到线段$A_1B_1$，可得$B_1$坐标为$(1,4)$；
③ 同理将线段$AC$绕点$A$顺时针旋转$90°$，得到线段$A_1C_1$，可得$C_1$坐标为$(3,3)$；
④ 顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 计算路径长：
已知$A(-1,2)$，$B(-3,4)$，两点横坐标差为$|-1-(-3)|=2$，纵坐标差为$|2-4|=2$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
点$B$的运动路径是圆心角为$90°$、半径为$2\sqrt{2}$的弧，代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$：
路径长$=\frac{90π × 2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π$。
【答案】
(1) 如图所示，$△ A_1B_1C_1$ 即为所求作，$B_1(1,4),C_1(3,3)$
(2) 点$B$经过的路径长为$\sqrt{2}π$
【知识点】
图形的旋转，弧长计算，勾股定理
【点评】
本题综合考查旋转作图和弧长计算，解题的关键是掌握旋转的性质，明确旋转后对应点的确定方法，以及弧长公式中各参数的含义，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7

5 教材变式题 如图,某小区要对扇形OAB空地进行绿化,准备在小扇形OCD内种花,在其余区域内(阴影部分)种草.若$∠ AOB=120°$,$OA=15\ \mathrm{m}$,$OC=10\ \mathrm{m}$,则种草区域的面积为 ()

A.$\frac{25}{3}π\ \mathrm{m}^2$
B.$\frac{125}{3}π\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{250}{3}π\ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{125}{3}\ \mathrm{m}^2$

5. B

【分析】
首先明确种草的阴影区域是扇环，面积等于大扇形OAB的面积减去小扇形OCD的面积。解题时先回忆扇形面积公式，两个扇形的圆心角相同均为120°，半径分别为OA=15m和OC=10m，分别代入公式求出两个扇形的面积后作差，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：种草区域的面积为大扇形OAB与小扇形OCD的面积差。
扇形面积公式为$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径）。
已知$∠ AOB=∠ COD=120°$，$OA=15\ \mathrm{m}$，$OC=10\ \mathrm{m}$：
$S_{扇形OAB}=\frac{120π × 15^2}{360}=\frac{120π × 225}{360}=75π\ \mathrm{m^2}$
$S_{扇形OCD}=\frac{120π × 10^2}{360}=\frac{120π × 100}{360}=\frac{100}{3}π\ \mathrm{m^2}$
则阴影部分面积$S=S_{扇形OAB}-S_{扇形OCD}=75π - \frac{100}{3}π=\frac{125}{3}π\ \mathrm{m^2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.扇形面积计算 2.扇环面积计算
【点评】
本题是基础几何应用题，解题核心是明确阴影部分的面积构成，掌握扇形面积公式即可顺利求解，计算时需注意半径平方的运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

6 [2025 成都]如图，$\odot O$ 的半径为 1，A，B，C 是$\odot O$ 上的三个点. 若四边形 OABC 为平行四边形，连接 AC，则图中涂色部分的面积为.

6. $\frac{π}{6}$

【分析】
解题时先结合圆的半径相等和平行四边形的性质，判断四边形OABC为菱形，进而推出△OAB是等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数；再利用平行线间距离相等，得出△ABC和△ABO的面积相等，可将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OB，
∵⊙O的半径为1，
∴OA=OB=OC=1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=1，BC=OA=1，
∴OA=AB=OB=1，即△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB//OC，
∴点C和点O到AB的距离相等，因此$S_{△ ABC} = S_{△ ABO}$，
观察图形可知，阴影部分面积 = 弓形AB的面积 + $S_{△ ABC}$，
将$S_{△ ABC}$替换为$S_{△ ABO}$可得：
$S_{阴影} = 弓形AB的面积 + S_{△ ABO} = S_{扇形OAB}$，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1：
$S_{扇形OAB}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算
【点评】
本题核心考查不规则图形面积的求解，解题关键是运用等积转化的思想，将不规则阴影的面积转化为易计算的扇形面积，同时融合了圆、平行四边形、等边三角形的相关性质，对转化思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.6

7 如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（涂色部分为花窗）。若$OA=2\ \mathrm{m}$，$C$，$D$分别为$OA$，$OB$的中点，且$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\frac{π}{2}\ \mathrm{m}$，求：
（1）扇形$OAB$的圆心角度数；
（2）花窗的面积。

7. (1) 由题知,$OA=2\ \mathrm{m}$,$C,D$分别为$OA$,$OB$的中点,$\therefore OC=\frac{1}{2}OA=1\ \mathrm{m}$. 设$∠ AOB$ 的度数为 $n°$. $\because \overset{\frown}{CD}$ 的长度为 $\frac{π}{2}\ \mathrm{m}$,
$\therefore \frac{nπ×1}{180}=\frac{π}{2}$,解得 $n=90$. $\therefore$ 扇形 $OAB$ 的圆心角度数为 $90°$
(2) $\because S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90· π · 2^2}{360}=π\ (\mathrm{m}^2)$,$S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{90· π · 1^2}{360}=\frac{1}{4}π(\mathrm{m}^2)$,$\therefore S_{\mathrm{涂色}}=π-\frac{1}{4}π=\frac{3}{4}π\ (\mathrm{m}^2)$. $\therefore$ 花窗的面积为 $\frac{3}{4}π\ \mathrm{m}^2$

【分析】
（1）要求扇形OAB的圆心角度数，观察可知该圆心角同时是扇形OCD的圆心角。首先根据C是OA中点求出小扇形OCD的半径OC，再结合已知的$\overset{\frown}{CD}$的长度，代入弧长公式即可求解圆心角的度数；
（2）花窗为涂色部分，其面积等于大扇形OAB的面积减去小扇形OCD的面积，分别将圆心角、两个扇形的半径代入扇形面积公式计算，再作差即可得到结果。
【解析】
（1）已知$OA=2\ \mathrm{m}$，C、D分别为OA、OB的中点，因此$OC=\frac{1}{2}OA=1\ \mathrm{m}$。
设$∠ AOB$的度数为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知$\overset{\frown}{CD}$的长度为$\frac{π}{2}\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{nπ×1}{180}=\frac{π}{2}$
解得$n=90$，即扇形OAB的圆心角度数为$90°$。
（2）根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
大扇形OAB的面积：$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\frac{90· π · 2^2}{360}=π\ (\mathrm{m}^2)$
小扇形OCD的面积：$S_{\mathrm{扇形}OCD}=\frac{90· π · 1^2}{360}=\frac{1}{4}π\ (\mathrm{m}^2)$
因此花窗的面积：$S_{\mathrm{涂色}}=S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{\mathrm{扇形}OCD}=π-\frac{1}{4}π=\frac{3}{4}π\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
（1）$90°$；（2）$\frac{3}{4}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算；和差法求阴影面积
【点评】
本题是基础应用题，核心考查弧长和扇形面积公式的灵活运用，解题的关键是明确两个扇形共用圆心角，涂色部分面积为两个扇形的面积差，计算时需注意区分两个扇形的半径，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8