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1 如图，AB是$\odot O$的直径，四边形ABCD内接于$\odot O$。若$BC=CD=DA=4\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的直径AB为 （
A.5 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
（第1题）（第2题）
D
）A.5 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
（第1题）（第2题）
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：圆内接四边形ABCD中AD=CD=BC，AB为圆的直径。第一步由同圆中相等的弦对应相等的弧，可得弧AD、弧CD、弧BC度数相等；第二步结合直径对应的半圆弧度数为180°，可算出每段弧对应的圆心角为60°；第三步连接半径OD，得到圆心角为60°的等腰△AOD，判定其为等边三角形即可得到半径长度，最终求出直径AB。
【解析】
解：连接OD、OC
∵$AD=CD=BC=4\ \mathrm{cm}$
∴在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆内相等的弦所对的弧相等）
∵AB是$\odot O$的直径
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，即$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}=180°$
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为$180°÷3=60°$，对应的圆心角$∠ AOD=60°$
又
∵OA=OD（同圆的半径相等）
∴$△ AOD$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形）
∴$OA=AD=4\ \mathrm{cm}$
∴$\odot O$的直径$AB=2OA=8\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
弦与弧的对应关系；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是通过等弦转化为等弧，再结合圆心角的性质构造等边三角形求解，掌握圆的相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：圆内接四边形ABCD中AD=CD=BC，AB为圆的直径。第一步由同圆中相等的弦对应相等的弧，可得弧AD、弧CD、弧BC度数相等；第二步结合直径对应的半圆弧度数为180°，可算出每段弧对应的圆心角为60°；第三步连接半径OD，得到圆心角为60°的等腰△AOD，判定其为等边三角形即可得到半径长度，最终求出直径AB。
【解析】
解：连接OD、OC
∵$AD=CD=BC=4\ \mathrm{cm}$
∴在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}$（同圆内相等的弦所对的弧相等）
∵AB是$\odot O$的直径
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$180°$，即$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}=180°$
∴$\overset{\frown}{AD}$的度数为$180°÷3=60°$，对应的圆心角$∠ AOD=60°$
又
∵OA=OD（同圆的半径相等）
∴$△ AOD$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形）
∴$OA=AD=4\ \mathrm{cm}$
∴$\odot O$的直径$AB=2OA=8\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
弦与弧的对应关系；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是通过等弦转化为等弧，再结合圆心角的性质构造等边三角形求解，掌握圆的相关基础性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2 如图，AB，CD是$\odot O$的直径，弦$CE// AB$，$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角的度数为$40°$，则$∠ AOC$的度数为
70°
。答案
2. $70°$
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：首先，弧CE对应的圆心角为40°，要利用这个条件，我们先连接OE构造出圆心角∠COE；其次，OC、OE都是圆的半径，长度相等，可知△OCE是等腰三角形，可据此计算出底角∠OCE的度数；最后，结合CE//AB的条件，利用平行线内错角相等的性质，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
连接OE，
∵$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角为$40°$，
∴$∠ COE=40°$，
∵OC、OE都是$\odot O$的半径，
∴$OC=OE$，即$△ OCE$为等腰三角形，
∴$∠ OCE=∠ OEC=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
又
∵$CE// AB$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠ AOC=∠ OCE=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆心角的定义；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的常规考题，解题的关键是构造弧对应的圆心角，结合等腰三角形和平行线的性质即可求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按以下思路推导：首先，弧CE对应的圆心角为40°，要利用这个条件，我们先连接OE构造出圆心角∠COE；其次，OC、OE都是圆的半径，长度相等，可知△OCE是等腰三角形，可据此计算出底角∠OCE的度数；最后，结合CE//AB的条件，利用平行线内错角相等的性质，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
连接OE，
∵$\overset{\frown}{CE}$所对的圆心角为$40°$，
∴$∠ COE=40°$，
∵OC、OE都是$\odot O$的半径，
∴$OC=OE$，即$△ OCE$为等腰三角形，
∴$∠ OCE=∠ OEC=\frac{180°-∠ COE}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
又
∵$CE// AB$，根据两直线平行，内错角相等，
∴$∠ AOC=∠ OCE=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
圆心角的定义；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础性质的常规考题，解题的关键是构造弧对应的圆心角，结合等腰三角形和平行线的性质即可求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
3 如图，$\odot O$的半径是6，AB是$\odot O$的弦，C是AB上一点，$AC=6$，$BC=2$，P是$\odot O$上一动点，则点P与点C之间的最大距离是（
A.$6+2\sqrt{6}$
B.12
C.$6+2\sqrt{5}$
D.6
A
）A.$6+2\sqrt{6}$
B.12
C.$6+2\sqrt{5}$
D.6
答案
3. A 【解析】如图,过点 O 作 $OH ⊥ AB$ 于点 H,连接 OA.
$\therefore AH=BH.\because AC=6,BC=2,\therefore AB=8.\therefore AH=BH=4.$
$\therefore CH=BH-BC=4-2=2.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OAH$ 中, $OH = \sqrt{OA^2-AH^2} = \sqrt{6^2-4^2} = 2\sqrt{5}$, 在 $\mathrm{Rt}△ OCH$ 中, $OC = \sqrt{OH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+2^2}=2\sqrt{6}.$ $\because PC≤ OP+OC$(当且仅当点 O 在线段 PC 上时取等号),$\therefore$ 点 P 与点 C 之间的最大距离为 $6+2\sqrt{6}$.
解析
【分析】
要求圆上动点P到定点C的最大距离，根据圆的性质可知，圆内一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上圆的半径，因此解题核心是先求出OC的长度。求解OC时，先过圆心作AB的垂线，利用垂径定理得到弦AB一半的长度，再结合已知线段长度算出CH的长度，先后在两个直角三角形中用勾股定理算出OH、OC的长度，最终即可得到PC的最大值。
【解析】
过点O作$OH ⊥ AB$于点H，连接OA。
根据垂径定理可得$AH=BH$。
已知$AC=6$，$BC=2$，因此$AB=AC+BC=8$，所以$AH=BH=\frac{1}{2}AB=4$。
则$CH=BH-BC=4-2=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=6$，$AH=4$，由勾股定理得：
$OH = \sqrt{OA^2-AH^2} = \sqrt{6^2-4^2} = 2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+2^2}=2\sqrt{6}$。
根据两点之间线段最短，可得$PC ≤ OP+OC$，当且仅当P、O、C三点共线，且O在P、C之间时取等号，此时PC取得最大值。
因为OP是$\odot O$的半径，即$OP=6$，所以PC的最大值为$6+2\sqrt{6}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆中最值计算
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用，解题关键是作弦心距构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求出圆心到点C的距离，再根据线段的性质确定最值的取值情况，能很好地考察辅助线构造和综合计算能力。
【难度系数】
0.6
要求圆上动点P到定点C的最大距离，根据圆的性质可知，圆内一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上圆的半径，因此解题核心是先求出OC的长度。求解OC时，先过圆心作AB的垂线，利用垂径定理得到弦AB一半的长度，再结合已知线段长度算出CH的长度，先后在两个直角三角形中用勾股定理算出OH、OC的长度，最终即可得到PC的最大值。
【解析】
过点O作$OH ⊥ AB$于点H，连接OA。
根据垂径定理可得$AH=BH$。
已知$AC=6$，$BC=2$，因此$AB=AC+BC=8$，所以$AH=BH=\frac{1}{2}AB=4$。
则$CH=BH-BC=4-2=2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$OA=6$，$AH=4$，由勾股定理得：
$OH = \sqrt{OA^2-AH^2} = \sqrt{6^2-4^2} = 2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCH$中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+2^2}=2\sqrt{6}$。
根据两点之间线段最短，可得$PC ≤ OP+OC$，当且仅当P、O、C三点共线，且O在P、C之间时取等号，此时PC取得最大值。
因为OP是$\odot O$的半径，即$OP=6$，所以PC的最大值为$6+2\sqrt{6}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆中最值计算
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用，解题关键是作弦心距构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求出圆心到点C的距离，再根据线段的性质确定最值的取值情况，能很好地考察辅助线构造和综合计算能力。
【难度系数】
0.6
4 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ ACD = ∠ CAB$，$AD=2$，$AC=4$，则$\odot O$的半径为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
D
）A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的相关性质：AB是直径，则直径所对的圆周角为直角，因此考虑连接BC构造直角三角形；再根据已知∠ACD=∠CAB，由圆周角定理可得相等的圆周角所对的弧相等，进而得到弧AD=弧BC，推出BC=AD=2；最后在直角三角形ACB中用勾股定理求出直径AB的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ ACD=∠ CAB$，$∠ ACD$对的弧是$\overset{\frown}{AD}$，$∠ CAB$对的弧是$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$BC=AD=2$，
在$Rt△ ACB$中，$AC=4$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，直径的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合圆周角定理转化线段长度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆的相关性质：AB是直径，则直径所对的圆周角为直角，因此考虑连接BC构造直角三角形；再根据已知∠ACD=∠CAB，由圆周角定理可得相等的圆周角所对的弧相等，进而得到弧AD=弧BC，推出BC=AD=2；最后在直角三角形ACB中用勾股定理求出直径AB的长度，除以2即可得到半径。
【解析】
连接BC，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
∵$∠ ACD=∠ CAB$，$∠ ACD$对的弧是$\overset{\frown}{AD}$，$∠ CAB$对的弧是$\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$BC=AD=2$，
在$Rt△ ACB$中，$AC=4$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，直径的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合圆周角定理转化线段长度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
5 如图,四边形ABCD内接于半径为5的⊙O,AB=BC=BE,AB⊥BE,则AD的长为(
A.5
B.$5\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{3}$
D.10
B
)A.5
B.$5\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{3}$
D.10
答案
5. B 【解析】连接 $BD,OA,OD.\because AB=BC,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}.$
$\therefore ∠ BDA=∠ BDC.$ $\because$ 四边形 ABCD 内接于半径为 5 的 $\odot O$,
$\therefore ∠ BAD+∠ C=180°.$ $\because BC=BE,\therefore ∠ BEC=∠ C.$ 又
$\because ∠ BEC+∠ BED=180°,\therefore ∠ BAD=∠ BED.$ 在 $△ BAD$ 和
$△ BED$ 中, $\begin{cases} ∠ BDA=∠ BDE, \\ ∠ BAD=∠ BED, \\ BD=BD, \end{cases}$ $\therefore △ BAD ≌ △ BED.$
$\therefore ∠ ABD=∠ EBD.$ $\because AB ⊥ BE,\therefore ∠ ABE=90°.$
$\therefore ∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ ABE=45°.\therefore ∠ AOD=2∠ ABD=90°.$ 在
$\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,$OA=OD=5,\therefore AD=5\sqrt{2}.$
$\therefore ∠ BDA=∠ BDC.$ $\because$ 四边形 ABCD 内接于半径为 5 的 $\odot O$,
$\therefore ∠ BAD+∠ C=180°.$ $\because BC=BE,\therefore ∠ BEC=∠ C.$ 又
$\because ∠ BEC+∠ BED=180°,\therefore ∠ BAD=∠ BED.$ 在 $△ BAD$ 和
$△ BED$ 中, $\begin{cases} ∠ BDA=∠ BDE, \\ ∠ BAD=∠ BED, \\ BD=BD, \end{cases}$ $\therefore △ BAD ≌ △ BED.$
$\therefore ∠ ABD=∠ EBD.$ $\because AB ⊥ BE,\therefore ∠ ABE=90°.$
$\therefore ∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ ABE=45°.\therefore ∠ AOD=2∠ ABD=90°.$ 在
$\mathrm{Rt}△ AOD$ 中,$OA=OD=5,\therefore AD=5\sqrt{2}.$
解析
【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：①由AB=BC结合同圆中等弦对等弧、等弧所对圆周角相等，可得∠BDA=∠BDC；②结合BC=BE、圆内接四边形对角互补的性质，推导得到∠BAD=∠BED，即可证明△BAD和△BED全等，得到角的等量关系；③结合AB⊥BE的条件求出∠ABD的度数，再利用圆周角定理得到弧AD对应的圆心角∠AOD的度数，最后在等腰直角△AOD中计算AD的长度即可。
【解析】
连接$BD,OA,OD$。
$\because AB=BC$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore ∠ BDA=∠ BDC$。
$\because$ 四边形ABCD内接于半径为5的$\odot O$，$\therefore ∠ BAD+∠ C=180°$。
$\because BC=BE$，$\therefore ∠ BEC=∠ C$，又$\because ∠ BEC+∠ BED=180°$，$\therefore ∠ BAD=∠ BED$。
在$△ BAD$和$△ BED$中， $\begin{cases} ∠ BDA=∠ BDE, \\ ∠ BAD=∠ BED, \\ BD=BD, \end{cases}$ $\therefore △ BAD ≌ △ BED(\mathrm{AAS})$，$\therefore ∠ ABD=∠ EBD$。
$\because AB ⊥ BE$，$\therefore ∠ ABE=90°$，$\therefore ∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ ABE=45°$。
根据圆周角定理，$∠ AOD=2∠ ABD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$OA=OD=5$，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的关键是合理连接辅助线，通过等弦、圆内接四边形的性质推导角的等量关系，借助全等三角形转化角度，最终利用特殊直角三角形的性质求解弦长，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时可从已知条件逐步推导：①由AB=BC结合同圆中等弦对等弧、等弧所对圆周角相等，可得∠BDA=∠BDC；②结合BC=BE、圆内接四边形对角互补的性质，推导得到∠BAD=∠BED，即可证明△BAD和△BED全等，得到角的等量关系；③结合AB⊥BE的条件求出∠ABD的度数，再利用圆周角定理得到弧AD对应的圆心角∠AOD的度数，最后在等腰直角△AOD中计算AD的长度即可。
【解析】
连接$BD,OA,OD$。
$\because AB=BC$，$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore ∠ BDA=∠ BDC$。
$\because$ 四边形ABCD内接于半径为5的$\odot O$，$\therefore ∠ BAD+∠ C=180°$。
$\because BC=BE$，$\therefore ∠ BEC=∠ C$，又$\because ∠ BEC+∠ BED=180°$，$\therefore ∠ BAD=∠ BED$。
在$△ BAD$和$△ BED$中， $\begin{cases} ∠ BDA=∠ BDE, \\ ∠ BAD=∠ BED, \\ BD=BD, \end{cases}$ $\therefore △ BAD ≌ △ BED(\mathrm{AAS})$，$\therefore ∠ ABD=∠ EBD$。
$\because AB ⊥ BE$，$\therefore ∠ ABE=90°$，$\therefore ∠ ABD=\dfrac{1}{2}∠ ABE=45°$。
根据圆周角定理，$∠ AOD=2∠ ABD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$OA=OD=5$，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题的关键是合理连接辅助线，通过等弦、圆内接四边形的性质推导角的等量关系，借助全等三角形转化角度，最终利用特殊直角三角形的性质求解弦长，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6 如图，点A，B，C在$\odot O$上，$∠ ACB=130°$，则$∠ AOB$的度数为（
A.$50°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
C
）A.$50°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
答案
6. C
解析
【分析】
已知∠ACB是圆上一点与弦AB构成的钝角，要求圆心角∠AOB的度数，我们可以利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出劣弧AB对应的圆周角度数，再结合圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”计算∠AOB。解题步骤：第一步在优弧AB上取辅助点构造圆内接四边形，第二步利用互补关系求劣弧AB对应的圆周角，第三步用圆周角定理推导圆心角度数。
【解析】
解：在优弧AB上任取一点D，连接AD、BD。
∵四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ D + ∠ ACB = 180°$（圆内接四边形对角互补）。
已知$∠ ACB=130°$，代入得：
$∠ D = 180° - 130° = 50°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于该弧所对圆周角的2倍，$∠ AOB$和$∠ D$均为劣弧AB所对的角，
∴$∠ AOB = 2∠ D = 2×50° = 100°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基本性质部分的常规考题，解题核心是通过构造辅助圆周角，搭建已知钝角圆周角和所求圆心角的关联，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
已知∠ACB是圆上一点与弦AB构成的钝角，要求圆心角∠AOB的度数，我们可以利用圆内接四边形对角互补的性质，先求出劣弧AB对应的圆周角度数，再结合圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”计算∠AOB。解题步骤：第一步在优弧AB上取辅助点构造圆内接四边形，第二步利用互补关系求劣弧AB对应的圆周角，第三步用圆周角定理推导圆心角度数。
【解析】
解：在优弧AB上任取一点D，连接AD、BD。
∵四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ D + ∠ ACB = 180°$（圆内接四边形对角互补）。
已知$∠ ACB=130°$，代入得：
$∠ D = 180° - 130° = 50°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于该弧所对圆周角的2倍，$∠ AOB$和$∠ D$均为劣弧AB所对的角，
∴$∠ AOB = 2∠ D = 2×50° = 100°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基本性质部分的常规考题，解题核心是通过构造辅助圆周角，搭建已知钝角圆周角和所求圆心角的关联，熟练掌握相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7 如图，A，B，C，D 四点均在$\odot O$上，$∠ AOD＝68°$，$OA// CD$，则$∠ B$的度数为
56°
。答案
7. $56°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据平行线的内错角相等性质，由OA平行CD得到∠ODC与已知的∠AOD相等；再利用圆的半径相等，得到△ODC是等腰三角形，算出∠COD的度数；接着求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可算出∠B的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ OA//CD，∠AOD=68°，
∴ ∠ODC = ∠AOD = 68°（两直线平行，内错角相等），
∵ OD、OC都是⊙O的半径，
∴ OD=OC，△ODC为等腰三角形，
∴ ∠OCD=∠ODC=68°，
在△ODC中，根据三角形内角和为180°：
∠COD = 180° - ∠ODC - ∠OCD = 180° - 68° - 68° = 44°，
∴ ∠AOC = ∠AOD + ∠COD = 68° + 44° = 112°，
∵ ∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×112° = 56°。
【答案】
$\boxed{56°}$
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，综合了平行线、等腰三角形和圆的相关角度计算知识，解题的关键是合理作辅助线OC构造等腰三角形，准确找到同弧对应的圆周角和圆心角的关系，难度不大，只要掌握相关基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据平行线的内错角相等性质，由OA平行CD得到∠ODC与已知的∠AOD相等；再利用圆的半径相等，得到△ODC是等腰三角形，算出∠COD的度数；接着求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可算出∠B的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ OA//CD，∠AOD=68°，
∴ ∠ODC = ∠AOD = 68°（两直线平行，内错角相等），
∵ OD、OC都是⊙O的半径，
∴ OD=OC，△ODC为等腰三角形，
∴ ∠OCD=∠ODC=68°，
在△ODC中，根据三角形内角和为180°：
∠COD = 180° - ∠ODC - ∠OCD = 180° - 68° - 68° = 44°，
∴ ∠AOC = ∠AOD + ∠COD = 68° + 44° = 112°，
∵ ∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×112° = 56°。
【答案】
$\boxed{56°}$
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题型，综合了平行线、等腰三角形和圆的相关角度计算知识，解题的关键是合理作辅助线OC构造等腰三角形，准确找到同弧对应的圆周角和圆心角的关系，难度不大，只要掌握相关基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
8 如图，A，B，C，D，E都是$\odot O$上的点，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AE}$，$∠ B = 116°$，则$∠ D$的度数为
128°
。答案
8. $128°$
解析
【分析】
解题需用到圆周角定理和等弧的性质，思路如下：首先根据已知角∠B的度数，确定它所对的优弧AC的度数，进而求出劣弧AC的度数；再结合$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AE}$得到劣弧AE的度数，算出劣弧CE的度数；最后找到∠D所对的优弧CE，利用圆周角定理即可求出∠D的度数，解题时要注意区分圆周角对应的是优弧还是劣弧。
【解析】
解：
∵∠B是优弧AC所对的圆周角
∴优弧AC的度数$=2×∠B=2×116°=232°$
∴劣弧AC的度数$=360°-232°=128°$
∵$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AE}$
∴劣弧AE的度数$=128°$
∴劣弧CE的度数$=360°-128°-128°=104°$
∵∠D是优弧CE所对的圆周角，优弧CE的度数$=360°-104°=256°$
∴$∠ D=\frac{1}{2}×256°=128°$
【答案】
$128°$
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质
【点评】
本题是圆的基本性质的典型考题，核心是准确判断圆周角对应的弧的类型（优弧/劣弧），结合等弧的性质完成角度推导，熟练掌握圆周角和弧的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.65
解题需用到圆周角定理和等弧的性质，思路如下：首先根据已知角∠B的度数，确定它所对的优弧AC的度数，进而求出劣弧AC的度数；再结合$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AE}$得到劣弧AE的度数，算出劣弧CE的度数；最后找到∠D所对的优弧CE，利用圆周角定理即可求出∠D的度数，解题时要注意区分圆周角对应的是优弧还是劣弧。
【解析】
解：
∵∠B是优弧AC所对的圆周角
∴优弧AC的度数$=2×∠B=2×116°=232°$
∴劣弧AC的度数$=360°-232°=128°$
∵$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AE}$
∴劣弧AE的度数$=128°$
∴劣弧CE的度数$=360°-128°-128°=104°$
∵∠D是优弧CE所对的圆周角，优弧CE的度数$=360°-104°=256°$
∴$∠ D=\frac{1}{2}×256°=128°$
【答案】
$128°$
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质
【点评】
本题是圆的基本性质的典型考题，核心是准确判断圆周角对应的弧的类型（优弧/劣弧），结合等弧的性质完成角度推导，熟练掌握圆周角和弧的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.65
9 如图，在圆内接四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交圆于点E，点F在DC的延长线上，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥DF于点N，求证：EM=EN。
（第9题）
（第9题）答案
9. 连接 $CE.\because AE$ 平分 $∠ BAD,\therefore ∠ DAE=∠ BAE.$ $\because$ 四边形 AECD 是圆内接四边形, $\therefore ∠ DAE+∠ DCE=180°.$
$\because ∠ NCE+∠ DCE=180°,\therefore ∠ NCE=∠ DAE.$ 又 $\because ∠ MCE=∠ BAE,\therefore ∠ MCE=∠ NCE,$ 即 $CE$ 平分 $∠ MCN.$ 又 $\because EM⊥ BC$ 于点 $M,EN⊥ DF$ 于点 $N,\therefore EM=EN$
$\because ∠ NCE+∠ DCE=180°,\therefore ∠ NCE=∠ DAE.$ 又 $\because ∠ MCE=∠ BAE,\therefore ∠ MCE=∠ NCE,$ 即 $CE$ 平分 $∠ MCN.$ 又 $\because EM⊥ BC$ 于点 $M,EN⊥ DF$ 于点 $N,\therefore EM=EN$
解析
【分析】
要证明同一点E到BC、DF的垂线段EM=EN，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明CE平分∠MCN，即证∠MCE=∠NCE。结合已知AE平分∠BAD得∠DAE=∠BAE，添加辅助线连接CE后，可利用圆内接四边形的对角互补、邻补角的性质、同弧所对圆周角相等，推导得到∠MCE与∠NCE相等，进而得证。
【解析】
证明：连接CE
∵ AE平分∠BAD
∴ ∠DAE=∠BAE
∵ 四边形AECD是圆内接四边形
∴ ∠DAE+∠DCE=180°
∵ ∠NCE+∠DCE=180°
∴ ∠NCE=∠DAE
又
∵ ∠MCE=∠BAE
∴ ∠MCE=∠NCE，即CE平分∠MCN
∵ EM⊥BC于点M，EN⊥DF于点N
∴ EM=EN
【答案】
连接 $CE.\because AE$ 平分 $∠ BAD,\therefore ∠ DAE=∠ BAE.$ $\because$ 四边形 AECD 是圆内接四边形, $\therefore ∠ DAE+∠ DCE=180°.$
$\because ∠ NCE+∠ DCE=180°,\therefore ∠ NCE=∠ DAE.$ 又 $\because ∠ MCE=∠ BAE,\therefore ∠ MCE=∠ NCE,$ 即 $CE$ 平分 $∠ MCN.$ 又 $\because EM⊥ BC$ 于点 $M,EN⊥ DF$ 于点 $N,\therefore EM=EN$
【知识点】
角平分线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是几何性质综合应用题，解题的关键是合理添加辅助线CE，将证明线段相等的问题转化为证明角相等的问题，能够帮助学生巩固圆相关性质与角平分线性质的应用。
【难度系数】
0.7
要证明同一点E到BC、DF的垂线段EM=EN，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明CE平分∠MCN，即证∠MCE=∠NCE。结合已知AE平分∠BAD得∠DAE=∠BAE，添加辅助线连接CE后，可利用圆内接四边形的对角互补、邻补角的性质、同弧所对圆周角相等，推导得到∠MCE与∠NCE相等，进而得证。
【解析】
证明：连接CE
∵ AE平分∠BAD
∴ ∠DAE=∠BAE
∵ 四边形AECD是圆内接四边形
∴ ∠DAE+∠DCE=180°
∵ ∠NCE+∠DCE=180°
∴ ∠NCE=∠DAE
又
∵ ∠MCE=∠BAE
∴ ∠MCE=∠NCE，即CE平分∠MCN
∵ EM⊥BC于点M，EN⊥DF于点N
∴ EM=EN
【答案】
连接 $CE.\because AE$ 平分 $∠ BAD,\therefore ∠ DAE=∠ BAE.$ $\because$ 四边形 AECD 是圆内接四边形, $\therefore ∠ DAE+∠ DCE=180°.$
$\because ∠ NCE+∠ DCE=180°,\therefore ∠ NCE=∠ DAE.$ 又 $\because ∠ MCE=∠ BAE,\therefore ∠ MCE=∠ NCE,$ 即 $CE$ 平分 $∠ MCN.$ 又 $\because EM⊥ BC$ 于点 $M,EN⊥ DF$ 于点 $N,\therefore EM=EN$
【知识点】
角平分线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是几何性质综合应用题，解题的关键是合理添加辅助线CE，将证明线段相等的问题转化为证明角相等的问题，能够帮助学生巩固圆相关性质与角平分线性质的应用。
【难度系数】
0.7
