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1（1）如图①，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知$∠ BDC=56°$.求$∠ DFE$的度数.
（2）如图②，将矩形ABCD沿AE折叠，点B落在边CD上的点F处.已知$AB=6$，$BC=4$，求线段EF的长.
（2）如图②，将矩形ABCD沿AE折叠，点B落在边CD上的点F处.已知$AB=6$，$BC=4$，求线段EF的长.
答案
（1）
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AD//BC,∠ADC=90°.
∴ ∠FDB = 90° - ∠BDC = 90° - 56° = 34°.
∵ AD//BC,
∴ ∠CBD=∠FDB=34°.
∵ 矩形ABCD沿对角线BD折叠,
∴ ∠FBD=∠CBD=34°.
∴ ∠DFE=∠FBD+∠FDB=34°+34°=68°
（2）
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AD=BC=4,AB=CD=6.
∵ 将矩形ABCD沿AE折叠,点B落在边CD上的点F处,
∴ AF=AB=6,EF=BE. 在Rt△ADF中,DF=$\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$,
∴ CF=CD-DF=6-2$\sqrt{5}$.
设CE=x,则BE=EF=4-x. 在Rt△ECF中,$CE^2+FC^2=EF^2$,
∴ $x^2+(6-2\sqrt{5})^2=(4-x)^2$,解得$x=3\sqrt{5}-5$.
∴ EF=4-x=9-3$\sqrt{5}$
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AD//BC,∠ADC=90°.
∴ ∠FDB = 90° - ∠BDC = 90° - 56° = 34°.
∵ AD//BC,
∴ ∠CBD=∠FDB=34°.
∵ 矩形ABCD沿对角线BD折叠,
∴ ∠FBD=∠CBD=34°.
∴ ∠DFE=∠FBD+∠FDB=34°+34°=68°
（2）
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AD=BC=4,AB=CD=6.
∵ 将矩形ABCD沿AE折叠,点B落在边CD上的点F处,
∴ AF=AB=6,EF=BE. 在Rt△ADF中,DF=$\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$,
∴ CF=CD-DF=6-2$\sqrt{5}$.
设CE=x,则BE=EF=4-x. 在Rt△ECF中,$CE^2+FC^2=EF^2$,
∴ $x^2+(6-2\sqrt{5})^2=(4-x)^2$,解得$x=3\sqrt{5}-5$.
∴ EF=4-x=9-3$\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）求解∠DFE的度数可按以下思路思考：首先利用矩形内角为90°、对边平行的性质，先算出∠FDB的度数，再由平行线内错角相等得到∠CBD的度数，结合折叠前后对应角相等推出∠FBD的度数，最后根据三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）即可算出∠DFE的度数。
（2）求解EF的长可按以下思路思考：首先根据矩形对边相等的性质得到AD、CD的长度，由折叠的性质可得AF=AB、EF=BE，先在Rt△ADF中用勾股定理求出DF的长度，进而得到CF的长度；再设CE=x，将EF用含x的代数式表示，在Rt△ECF中利用勾股定理列方程求解出x的值，最后代入计算即可得到EF的长度。
【解析】
（1）
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC，∠ADC=90°。
∴ ∠FDB = 90° - ∠BDC = 90° - 56° = 34°。
∵ AD//BC，
∴ ∠CBD=∠FDB=34°。
∵ 矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴ ∠FBD=∠CBD=34°。
∴ ∠DFE=∠FBD+∠FDB=34°+34°=68°。
（2）
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC=4，AB=CD=6。
∵ 将矩形ABCD沿AE折叠，点B落在边CD上的点F处，
∴ AF=AB=6，EF=BE。
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$，
∴ CF=CD-DF=6-2$\sqrt{5}$。
设CE=x，则BE=EF=4-x。
在Rt△ECF中，$CE^2+FC^2=EF^2$，
∴ $x^2+(6-2\sqrt{5})^2=(4-x)^2$，解得$x=3\sqrt{5}-5$。
∴ EF=4-x=9-3$\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\boxed{68°}$；（2）$\boxed{9-3\sqrt{5}}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于矩形折叠的常规考题，解题的关键是掌握折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合矩形的边角特征求解。第二问通过设未知数结合勾股定理建立方程，是几何计算中常用的方程思想，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65
（1）求解∠DFE的度数可按以下思路思考：首先利用矩形内角为90°、对边平行的性质，先算出∠FDB的度数，再由平行线内错角相等得到∠CBD的度数，结合折叠前后对应角相等推出∠FBD的度数，最后根据三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）即可算出∠DFE的度数。
（2）求解EF的长可按以下思路思考：首先根据矩形对边相等的性质得到AD、CD的长度，由折叠的性质可得AF=AB、EF=BE，先在Rt△ADF中用勾股定理求出DF的长度，进而得到CF的长度；再设CE=x，将EF用含x的代数式表示，在Rt△ECF中利用勾股定理列方程求解出x的值，最后代入计算即可得到EF的长度。
【解析】
（1）
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC，∠ADC=90°。
∴ ∠FDB = 90° - ∠BDC = 90° - 56° = 34°。
∵ AD//BC，
∴ ∠CBD=∠FDB=34°。
∵ 矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴ ∠FBD=∠CBD=34°。
∴ ∠DFE=∠FBD+∠FDB=34°+34°=68°。
（2）
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD=BC=4，AB=CD=6。
∵ 将矩形ABCD沿AE折叠，点B落在边CD上的点F处，
∴ AF=AB=6，EF=BE。
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{AF^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$，
∴ CF=CD-DF=6-2$\sqrt{5}$。
设CE=x，则BE=EF=4-x。
在Rt△ECF中，$CE^2+FC^2=EF^2$，
∴ $x^2+(6-2\sqrt{5})^2=(4-x)^2$，解得$x=3\sqrt{5}-5$。
∴ EF=4-x=9-3$\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\boxed{68°}$；（2）$\boxed{9-3\sqrt{5}}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于矩形折叠的常规考题，解题的关键是掌握折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合矩形的边角特征求解。第二问通过设未知数结合勾股定理建立方程，是几何计算中常用的方程思想，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.65
2 在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形沿直线EF折叠，使点B的对应点B'落在边CD上，点A的对应点为A'，连接BB'交EF于点O。
（1）如图①，当点B'与点D重合时，求证：△FEB'是等腰三角形；
（2）如图②，当DB'=2时，求OF的长。
（1）如图①，当点B'与点D重合时，求证：△FEB'是等腰三角形；
（2）如图②，当DB'=2时，求OF的长。
答案
（1）由折叠,可知∠B'FE=∠BFE.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC.
∴ ∠B'EF=∠BFE.
∴ ∠B'EF=∠B'FE.
∴ B'E=B'F.
∴ △FEB'是等腰三角形
（2）
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ CD=AB=6,∠C=90°.
∵ DB'=2,
∴ B'C=CD-DB'=6-2=4.
∴ BB'=$\sqrt{BC^2+B'C^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$. 由折叠,可知B'F=BF,EF垂直平分BB'. 设B'F=BF=x,则CF=8-x. 在Rt△B'FC中,由勾股定理,可得$CF^2+B'C^2=B'F^2$.
∴ $(8-x)^2+4^2=x^2$,解得x=5.
∴ BF=5.
∵ $S_{△BB'F}=\frac{1}{2}BB'·OF=\frac{1}{2}BF·B'C$,
∴ OF=$\frac{BF·B'C}{BB'}=\frac{5×4}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC.
∴ ∠B'EF=∠BFE.
∴ ∠B'EF=∠B'FE.
∴ B'E=B'F.
∴ △FEB'是等腰三角形
（2）
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ CD=AB=6,∠C=90°.
∵ DB'=2,
∴ B'C=CD-DB'=6-2=4.
∴ BB'=$\sqrt{BC^2+B'C^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$. 由折叠,可知B'F=BF,EF垂直平分BB'. 设B'F=BF=x,则CF=8-x. 在Rt△B'FC中,由勾股定理,可得$CF^2+B'C^2=B'F^2$.
∴ $(8-x)^2+4^2=x^2$,解得x=5.
∴ BF=5.
∵ $S_{△BB'F}=\frac{1}{2}BB'·OF=\frac{1}{2}BF·B'C$,
∴ OF=$\frac{BF·B'C}{BB'}=\frac{5×4}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）要证明△FEB'为等腰三角形，可通过"等角对等边"推导：首先利用折叠性质得到一组等角，再结合矩形对边平行的性质得到内错角相等，等量代换后即可得到△FEB'的两个底角相等，进而推出两边相等完成证明。
（2）求OF的长可分四步：第一步先根据矩形边长和已知DB'的长度求出B'C；第二步用勾股定理求出BB'的长度；第三步结合折叠性质得到B'F=BF，设BF为未知数，在Rt△B'FC中列勾股方程求出BF的长度；最后利用△BB'F面积的两种表示方法，即可求出OF的长度。
【解析】
（1）证明：由折叠的性质可知，∠B'FE=∠BFE。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠B'EF=∠BFE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠B'EF=∠B'FE，
∴ B'E=B'F（等角对等边），
∴ △FEB'是等腰三角形。
（2）解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=6，∠C=90°，
∵ DB'=2，
∴ B'C=CD - DB'=6-2=4，
在Rt△BCB'中，由勾股定理得：
$BB'=\sqrt{BC^2+B'C^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，
由折叠的性质可知：B'F=BF，EF垂直平分BB'。
设B'F=BF=x，则CF=8-x，
在Rt△B'FC中，由勾股定理得$CF^2+B'C^2=B'F^2$，
代入得：$(8-x)^2+4^2=x^2$，
解得x=5，即BF=5。
∵ $S_{△ BB'F}=\frac{1}{2}BB'·OF=\frac{1}{2}BF·B'C$，
∴ $OF=\frac{BF·B'C}{BB'}=\frac{5×4}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）△FEB'是等腰三角形，证明成立；
（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的典型题型，既考查了等腰三角形的判定，也考查了勾股定理和面积法的应用，解题的核心是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分的性质，灵活运用方程思想和面积法求解线段长度。
【难度系数】
0.65
（1）要证明△FEB'为等腰三角形，可通过"等角对等边"推导：首先利用折叠性质得到一组等角，再结合矩形对边平行的性质得到内错角相等，等量代换后即可得到△FEB'的两个底角相等，进而推出两边相等完成证明。
（2）求OF的长可分四步：第一步先根据矩形边长和已知DB'的长度求出B'C；第二步用勾股定理求出BB'的长度；第三步结合折叠性质得到B'F=BF，设BF为未知数，在Rt△B'FC中列勾股方程求出BF的长度；最后利用△BB'F面积的两种表示方法，即可求出OF的长度。
【解析】
（1）证明：由折叠的性质可知，∠B'FE=∠BFE。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠B'EF=∠BFE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠B'EF=∠B'FE，
∴ B'E=B'F（等角对等边），
∴ △FEB'是等腰三角形。
（2）解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ CD=AB=6，∠C=90°，
∵ DB'=2，
∴ B'C=CD - DB'=6-2=4，
在Rt△BCB'中，由勾股定理得：
$BB'=\sqrt{BC^2+B'C^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$，
由折叠的性质可知：B'F=BF，EF垂直平分BB'。
设B'F=BF=x，则CF=8-x，
在Rt△B'FC中，由勾股定理得$CF^2+B'C^2=B'F^2$，
代入得：$(8-x)^2+4^2=x^2$，
解得x=5，即BF=5。
∵ $S_{△ BB'F}=\frac{1}{2}BB'·OF=\frac{1}{2}BF·B'C$，
∴ $OF=\frac{BF·B'C}{BB'}=\frac{5×4}{4\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）△FEB'是等腰三角形，证明成立；
（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠的典型题型，既考查了等腰三角形的判定，也考查了勾股定理和面积法的应用，解题的核心是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分的性质，灵活运用方程思想和面积法求解线段长度。
【难度系数】
0.65
3 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）操作一：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，把纸片展平，连接EF；操作二：如图②，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为GH，把纸片展平；操作三：如图③，连接BG，并把BG折到BC上的BG'处，得到折痕BM，把纸片展平，连接MG'.根据以上操作，直接写出图③中$\frac{AG}{GB}$的值：
（2）请判断图③中四边形BG'MG的形状，并说明理由.
（1）操作一：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，把纸片展平，连接EF；操作二：如图②，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为GH，把纸片展平；操作三：如图③，连接BG，并把BG折到BC上的BG'处，得到折痕BM，把纸片展平，连接MG'.根据以上操作，直接写出图③中$\frac{AG}{GB}$的值：
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
.（2）请判断图③中四边形BG'MG的形状，并说明理由.
答案
（1）$\frac{\sqrt{5}}{5}$
（2）四边形BG'MG是菱形 理由:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC.
∴ ∠GMB=∠MBC. 由折叠的性质,得∠GBM=∠MBC,BG=BG'.
∴ ∠GBM=∠GMB.
∴ GM=BG.
∴ GM=BG'.
∵ GM//BG',
∴ 四边形BG'MG是平行四边形.
∵ GM=BG,
∴ 四边形BG'MG是菱形.
（2）四边形BG'MG是菱形 理由:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC.
∴ ∠GMB=∠MBC. 由折叠的性质,得∠GBM=∠MBC,BG=BG'.
∴ ∠GBM=∠GMB.
∴ GM=BG.
∴ GM=BG'.
∵ GM//BG',
∴ 四边形BG'MG是平行四边形.
∵ GM=BG,
∴ 四边形BG'MG是菱形.
解析
【分析】
（1）要求$\frac{AG}{GB}$的值，可先根据折叠的性质确定线段的数量关系：操作一折叠后点B落在AD上的E处，得AB=AE；操作二折叠使A与E重合，得GH垂直平分AE，因此AG=GE，即AE=2AG，故AB=2AG。设AG的长度为参数，利用勾股定理计算GB的长度，即可求出比值。
（2）判断四边形形状，先结合矩形对边平行的性质得AD//BC，推出内错角∠GMB=∠MBC；再根据折叠的性质得∠GBM=∠MBC、BG=BG'，进而推出GM=BG，得到GM=BG'，结合GM//BG'先证平行四边形，再根据邻边相等即可判定为菱形。
【解析】
（1）设$AG=a$，
由操作二折叠使点A与点E重合，可知GH垂直平分AE，因此$AE=2AG=2a$；
由操作一折叠使点B落在AD上的E处，可知$AB=AE=2a$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ A=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AGB$中，由勾股定理得：
$GB=\sqrt{AG^2+AB^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
∴$\frac{AG}{GB}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
（2）四边形$BG'MG$是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ GMB=∠ MBC$。
由折叠的性质，得$∠ GBM=∠ MBC$，$BG=BG'$，
∴$∠ GBM=∠ GMB$，
∴$GM=BG$，
∴$GM=BG'$。
又
∵$GM// BG'$，
∴四边形$BG'MG$是平行四边形，
∵$GM=BG$，
∴平行四边形$BG'MG$是菱形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$；（2）四边形$\boldsymbol{BG'MG}$是菱形
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定
【点评】
本题以矩形折叠为背景，考查了几何操作类问题的分析方法，解题的关键是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理和特殊四边形的判定定理解答，能有效锻炼学生的动手操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
（1）要求$\frac{AG}{GB}$的值，可先根据折叠的性质确定线段的数量关系：操作一折叠后点B落在AD上的E处，得AB=AE；操作二折叠使A与E重合，得GH垂直平分AE，因此AG=GE，即AE=2AG，故AB=2AG。设AG的长度为参数，利用勾股定理计算GB的长度，即可求出比值。
（2）判断四边形形状，先结合矩形对边平行的性质得AD//BC，推出内错角∠GMB=∠MBC；再根据折叠的性质得∠GBM=∠MBC、BG=BG'，进而推出GM=BG，得到GM=BG'，结合GM//BG'先证平行四边形，再根据邻边相等即可判定为菱形。
【解析】
（1）设$AG=a$，
由操作二折叠使点A与点E重合，可知GH垂直平分AE，因此$AE=2AG=2a$；
由操作一折叠使点B落在AD上的E处，可知$AB=AE=2a$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ A=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AGB$中，由勾股定理得：
$GB=\sqrt{AG^2+AB^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$，
∴$\frac{AG}{GB}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
（2）四边形$BG'MG$是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ GMB=∠ MBC$。
由折叠的性质，得$∠ GBM=∠ MBC$，$BG=BG'$，
∴$∠ GBM=∠ GMB$，
∴$GM=BG$，
∴$GM=BG'$。
又
∵$GM// BG'$，
∴四边形$BG'MG$是平行四边形，
∵$GM=BG$，
∴平行四边形$BG'MG$是菱形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$；（2）四边形$\boldsymbol{BG'MG}$是菱形
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定
【点评】
本题以矩形折叠为背景，考查了几何操作类问题的分析方法，解题的关键是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理和特殊四边形的判定定理解答，能有效锻炼学生的动手操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
