1 如图，菱形ABCD的边长为2，$∠ ABC=60°$，E是AD的中点，P是对角线BD上的一个动点，则$PA+PE$的最小值是（）

A.2
B.3
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}-1$

1. C

【分析】
本题属于特殊四边形中的最短路径问题，可结合“将军饮马”模型解题：①菱形是轴对称图形，对角线BD为其一条对称轴，因此点A与点C关于BD对称，可得PA=PC，据此可将PA+PE转化为PC+PE；②根据“两点之间线段最短”，可知当C、P、E三点共线时，PC+PE的和最小，最小值为线段CE的长度；③最后结合菱形边长、角度条件计算CE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C关于对角线BD对称，AD=CD=2，∠ADC=∠ABC=60°，
∴PA=PC，
∴PA+PE=PC+PE，
根据两点之间线段最短，当C、P、E三点共线时，PC+PE取得最小值，最小值为CE的长度。
∵AD=CD=2，∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵E是AD的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=1，CE⊥AD，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2 - DE^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
即PA+PE的最小值为$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；最短路径问题；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊四边形中常见的最值题型，解题的核心是利用菱形的轴对称性将两条线段和的最值转化为两点之间的线段长度，再结合等边三角形和勾股定理计算即可，解题时要熟练掌握特殊四边形的对称性。
【难度系数】
0.7

2如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上一动点，$ME ⊥ BC$于点E，$MF ⊥ CD$于点F，则EF长的最小值为.

2. $3\sqrt{2}$
【解析】如图,连接MC. $\because$ 四边形ABCD是正方形，
$\therefore ∠ BCD=90°,∠ DBC=45°. \because ME ⊥ BC$于点E,$MF ⊥ CD$于点F,$\therefore$ 易得四边形MECF为矩形. $\therefore EF=MC. \therefore$ 当$MC ⊥ BD$时,MC的长取得最小值,即EF的长取得最小值. 此时易得$△ BCM$是等腰直角三角形. $\because$ 正方形的边长为6,$\therefore$ 易得$MC=3\sqrt{2}. \therefore EF$长的最小值为$3\sqrt{2}$.

【分析】
要计算EF的最小值，直接分析EF的长度变化较难，可通过转化思想求解：首先由ME⊥BC、MF⊥CD、∠C为直角，可判定四边形MECF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=MC，因此求EF的最小值等价于求点C到对角线BD上动点M的最短距离。根据“垂线段最短”的性质，当MC垂直于BD时，MC的长度最小，此时结合正方形的性质计算MC的长度，即可得到EF的最小值。
【解析】
如图，连接MC。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BCD=90°，∠DBC=45°。
∵ ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，
∴ 易得四边形MECF为矩形，
∴ EF=MC。
根据垂线段最短可知，当MC⊥BD时，MC的长取得最小值，即EF的长取得最小值。
此时易得△BCM是等腰直角三角形。
∵ 正方形的边长为6，
∴ 易得$MC=3\sqrt{2}$，
即EF长的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$

【知识点】
正方形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短
【点评】
本题是特殊四边形中的典型最值问题，核心解题思路是通过矩形的性质将未知的线段最值转化为点到直线的最短距离问题，体现了转化思想在几何最值求解中的应用，解题时要注意结合特殊四边形的性质寻找等量关系。
【难度系数】
0.6

3 如图,在矩形ADBC中,AC=4,BC=2,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,求点B到原点O的最大距离.

3. 如图,取AC的中点E,连接OE,BE. $\because OB ≤ OE+BE$,
$\therefore$ 当O,B,E三点共线时,点B到原点O的距离最大. $\because$ 易得$△ AOC$是直角三角形,$AC=4$,E是AC的中点,$\therefore CE=OE=\frac{1}{2}AC=2. \because$ 四边形ADBC是矩形,$\therefore ∠ BCA=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,由勾股定理,得$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}. \therefore$ 点B到原点O的最大距离是$OE+BE=2+2\sqrt{2}$

【分析】
这是动态几何中的最值问题，我们可以按以下思路思考：首先，点A、C运动过程中，AC长度始终为4，且△AOC恒为直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质，取AC中点E，则OE的长度是定值，恒等于AC的一半。再看线段BE：四边形ADBC是矩形，∠ACB为直角，CE为AC的一半也是定值，BC长度固定，因此BE的长度也为定值。最后根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”可知OB≤OE+BE，当O、E、B三点共线时等号成立，此时OB取得最大值，即为OE与BE的和。
【解析】
解：取AC的中点E，连接OE、BE。
∵ ∠AOC=90°，E是AC的中点，AC=4，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OE=CE=\frac{1}{2}AC=2$。
∵ 四边形ADBC是矩形，
∴ ∠BCA=90°。
在Rt△BCE中，BC=2，CE=2，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
根据三角形三边关系可得$OB ≤ OE+BE$，
∴ 当O、B、E三点共线时，OB取得最大值，最大值为$OE+BE=2+2\sqrt{2}$。
【答案】
点B到原点O的最大距离是$2+2\sqrt{2}$

【知识点】
直角三角形斜边中线性质、勾股定理、三角形三边关系
【点评】
本题属于特殊四边形中的动态最值问题，解题关键是通过构造斜边中点得到两条定长线段，结合三角形三边关系确定最值的取值条件，考查了几何性质的综合运用能力和转化思想。
【难度系数】
0.6

4 如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F.若菱形ABCD的周长为24,面积为24,则PE＋PF的值为（）

A.3
B.4
C.5
D.6
（第4题） （第5题）

4. B

【分析】
解题时首先根据菱形周长求出边长，再结合菱形面积得到△ABC的面积。观察到PE、PF分别是点P到AB、BC的垂线段，可连接BP，将△ABC拆分为△ABP和△BCP，利用两个小三角形的面积和等于△ABC的面积，建立关于PE和PF的等式，即可求出PE+PF的值。
【解析】
解：
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=24÷4=6，
∵菱形ABCD的面积为24，对角线AC将菱形分为面积相等的两个三角形，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \frac{1}{2} × 24 = 12$，
连接BP，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × AB × PE$，$S_{△ BCP} = \frac{1}{2} × BC × PF$，
又
∵$S_{△ ABC} = S_{△ ABP} + S_{△ BCP}$，
代入数据得：$12 = \frac{1}{2} × 6 × PE + \frac{1}{2} × 6 × PF$，
化简得：$3(PE+PF)=12$，
解得$PE+PF=4$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是特殊四边形中的定值类典型题，解题核心是灵活运用等面积法，通过拆分三角形建立所求线段和与已知面积的关联，计算量小，解题思路固定，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.7

5 如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为.

5. $\frac{24}{5}$

【分析】
解题时先利用矩形的性质得到相关线段长度和三角形面积关系：首先根据矩形边长计算对角线长度，得到AO、OD的长度；再明确△AOD的面积是矩形面积的四分之一，最后将△AOD的面积拆分为△AOE和△DOE的面积之和，通过列等式即可求出OE+EF的定值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8
∴矩形ABCD的面积为$AB· BC=6×8=48$，
由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵矩形对角线相等且互相平分，
∴$AO=OD=\frac{1}{2}AC=5$，且$S_{△ AOD}=\frac{1}{4}S_{矩形ABCD}=\frac{1}{4}×48=12$，
∵$OE⊥ AC$，$EF⊥ BD$，
∴$S_{△ AOD}=S_{△ AOE}+S_{△ DOE}$
$=\frac{1}{2}· AO· OE+\frac{1}{2}· OD· EF$
$=\frac{1}{2}×5× OE+\frac{1}{2}×5× EF$
$=\frac{5}{2}(OE+EF)$，
代入$S_{△ AOD}=12$得：$\frac{5}{2}(OE+EF)=12$，
解得$OE+EF=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，面积法求值
【点评】
本题是特殊四边形中的定值问题，巧妙运用面积法拆分三角形面积，避免了分别求解OE、EF长度的繁琐运算，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6

6 如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于点M，PN⊥BC于点N，求PM＋PN的值。

6. 如图,连接BP,过点E作$EF ⊥ BC$于点F,则$∠ EFB=90°$.
由正方形的性质,可知$∠ EBF=45°, \therefore △ BEF$为等腰直角三角形. $\because$ 正方形ABCD的边长为1,$\therefore BE=BC=1$. 由勾股定理,易得$BF=EF=\frac{\sqrt{2}}{2}. \because PM ⊥ BE,PN ⊥ BC,S_{△ BPE}+S_{△ BPC}=S_{△ BEC}, \therefore \frac{1}{2}BE · PM+\frac{1}{2}BC · PN=\frac{1}{2}BC · EF. \because BE=BC=1, \therefore PM+PN=EF=\frac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
遇到动点到两边的垂线段之和的定值问题，优先考虑面积法求解。我们可以通过连接BP，将△BEC分割为△BPE和△BPC两个三角形，两个小三角形的面积之和等于大三角形△BEC的面积。接下来只需结合正方形的性质求出△BEC中BC边上的高，再利用BE=BC的等量关系，就能消去面积等式中的相同项，直接得到PM+PN的数值。
【解析】
连接BP，过点E作$EF ⊥ BC$于点F，则$∠ EFB=90°$。
由正方形的性质，可知$∠ EBF=45°, \therefore △ BEF$为等腰直角三角形。
$\because$ 正方形ABCD的边长为1,$\therefore BE=BC=1$。
由勾股定理,易得$BF=EF=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\because PM ⊥ BE,PN ⊥ BC,S_{△ BPE}+S_{△ BPC}=S_{△ BEC}$,
$\therefore \frac{1}{2}BE · PM+\frac{1}{2}BC · PN=\frac{1}{2}BC · EF$。
$\because BE=BC=1, \therefore PM+PN=EF=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$PM+PN=\frac{\sqrt{2}}{2}$

【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形性质，面积法求定值
【点评】
本题属于特殊四边形中的定值问题，巧妙运用面积法将两条动线段的和转化为固定线段的长度是解题的核心。解题时需要结合正方形对角线的性质构造等腰直角三角形求出对应高的长度，能够有效考查转化思想的运用和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6