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1.（2026·本溪期末）下列一元二次方程无实数根的是（
A.$x^2 + 2x - 3 = 0$
B.$x^2 - 1 = 0$
C.$x^2 + x + 2 = 0$
D.$x^2 + 2x + 1 = 0$
C
）A.$x^2 + 2x - 3 = 0$
B.$x^2 - 1 = 0$
C.$x^2 + x + 2 = 0$
D.$x^2 + 2x + 1 = 0$
答案
1. C 解析:A:$x^2+2x-3=0$,
∵ $a=1,b=2,c=-3$,
∴ $\Delta=2^2-4×1×(-3)= 4+12=16＞0$,有实数根; B:$x^2-1=0$,
∵ $a=1,b=0,c=-1$,
∴ $\Delta=0^2-4×1×(-1)= 0+4=4＞0$,有实数根; C:$x^2+x+2=0$,
∵ $a=1,b=1,c=2$,
∴ $\Delta=1^2-4×1×2=1-8=-7＜0$,无实数根; D:$x^2+2x+1=0$,
∵ $a=1,b=2,c=1$,
∴ $\Delta=2^2-4×1×1=4-4=0$,有实数根.故选 C.
∵ $a=1,b=2,c=-3$,
∴ $\Delta=2^2-4×1×(-3)= 4+12=16＞0$,有实数根; B:$x^2-1=0$,
∵ $a=1,b=0,c=-1$,
∴ $\Delta=0^2-4×1×(-1)= 0+4=4＞0$,有实数根; C:$x^2+x+2=0$,
∵ $a=1,b=1,c=2$,
∴ $\Delta=1^2-4×1×2=1-8=-7＜0$,无实数根; D:$x^2+2x+1=0$,
∵ $a=1,b=2,c=1$,
∴ $\Delta=2^2-4×1×1=4-4=0$,有实数根.故选 C.
2. 规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，则$\begin{vmatrix} x & 3 \\ x & x-3 \end{vmatrix}=-3$的根的情况为（ ）
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
答案
2. C 解析:根据规定得 $x(x-3)-3x=-3$,整理得 $x^2-6x+3=0$,
∵ $\Delta=(-6)^2-4×1×3=24＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根.故选 C.
∵ $\Delta=(-6)^2-4×1×3=24＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根.故选 C.
3. (广州中考)已知关于$x$的方程$x^2 - (2k - 2) · x + k^2 - 1 = 0$有两个实数根，则$\sqrt{(k - 1)^2} - (\sqrt{2 - k})^2$的化简结果是 (
A.$-1$
B.$1$
C.$-1 - 2k$
D.$2k - 3$
A
)A.$-1$
B.$1$
C.$-1 - 2k$
D.$2k - 3$
答案
3. A 解析:由题意得 $\Delta = [-(2k-2)]^2-4×1×(k^2-1) ≥ 0$,
∴ $k≤ 1$,
∴ $k-1≤ 0,2-k＞0$,
∴ $\sqrt{(k-1)^2}-(\sqrt{2-k})^2 = -(k-1)-(2-k)= -1$.
∴ $k≤ 1$,
∴ $k-1≤ 0,2-k＞0$,
∴ $\sqrt{(k-1)^2}-(\sqrt{2-k})^2 = -(k-1)-(2-k)= -1$.
4.（南通中考）若关于$x$的一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 -2mx -4m +1=0$有两个相等的实数根，则$(m-2)^2 -2m(m-1)$的值为
$\boldsymbol{\frac{7}{2}}$
。答案
4. $\frac{7}{2}$ 解析:由题意可知 $\Delta=4m^2-2(1-4m)=4m^2+8m-2=0$,
∴ $m^2+2m=\frac{1}{2}$,
∴ $(m-2)^2-2m(m-1)= -m^2-2m+4= -\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$.
∴ $m^2+2m=\frac{1}{2}$,
∴ $(m-2)^2-2m(m-1)= -m^2-2m+4= -\frac{1}{2}+4=\frac{7}{2}$.
5.（烟台中考）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mnx + m + n = 0$，其中$m,n$在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
5. A 解析:由数轴得 $m＞0,n＜0,m+n＜0,mn＜0$,
∴ $\Delta = (-mn)^2-4(m+n)＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根.
∴ $\Delta = (-mn)^2-4(m+n)＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根.
6. 改编题 关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），下列说法：①若$b=2\sqrt{ac}$，则方程$ax^2+bx+c=0$一定有两个相等的实数根；②若方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，则方程$x^2-bx+ac=0$也一定有两个不相等的实数根；③当$(a+c)^2≤b^2$时，关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$必有实数根；④若$c$是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根，则一定有$ac+b+1=0$成立；⑤若$x_0$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则$b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$.其中正确的是
①②③⑤
.(填序号)答案
6. ①②③⑤ 解析:①若 $b=2\sqrt{ac}$,则 $\Delta = b^2-4ac=0$,
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$一定有两个相等的实数根,故①正确;②方程$ax^2+bx+c=0$和方程$x^2-bx+ac=0$的根的判别式相同,都是$b^2-4ac$,故②正确;③
∵ $(a+c)^2≤ b^2$,
∴ 当 $b^2=(a+c)^2$ 时,$\Delta = b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥ 0$,
∴ 当$(a+c)^2≤ b^2$时,方程$ax^2+bx+c=0$必有实数根,故③正确;④若 $c$ 是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,当 $c≠0$ 时,$ac+b+1=0$ 成立,当 $c=0$时,$ac+b+1=0$ 不一定成立,故④错误;⑤利用求根公式可得$x_0=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,整理得 $2ax_0+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$,两边同时平方可得 $b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$,故⑤正确.综上,①②③⑤正确.
∴ 方程$ax^2+bx+c=0$一定有两个相等的实数根,故①正确;②方程$ax^2+bx+c=0$和方程$x^2-bx+ac=0$的根的判别式相同,都是$b^2-4ac$,故②正确;③
∵ $(a+c)^2≤ b^2$,
∴ 当 $b^2=(a+c)^2$ 时,$\Delta = b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2≥ 0$,
∴ 当$(a+c)^2≤ b^2$时,方程$ax^2+bx+c=0$必有实数根,故③正确;④若 $c$ 是方程$ax^2+bx+c=0$的一个根,当 $c≠0$ 时,$ac+b+1=0$ 成立,当 $c=0$时,$ac+b+1=0$ 不一定成立,故④错误;⑤利用求根公式可得$x_0=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,整理得 $2ax_0+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$,两边同时平方可得 $b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$,故⑤正确.综上,①②③⑤正确.
7.（怀化中考）已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根为-1，则m的值为
-1
，另一个根为2
。答案
7. -1 2 解析:设另一个根为 $a$,$-a=-2$,$a=2$,$-m=-1+2=1$,$m=-1$.
8. (1)(2025·绥化中考)已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，则$(m+1)(n+1)=$
2027
.答案
8.(1) 2027 解析:
∵ $m,n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2025x+1=0$ 的两个根,
∴ $m+n=-\frac{-2025}{1}=2025$,$mn=\frac{1}{1}=1$,
∴ $(m+1)(n+1)= m+n+mn+1=2025+1+1=2027$.
∵ $m,n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2025x+1=0$ 的两个根,
∴ $m+n=-\frac{-2025}{1}=2025$,$mn=\frac{1}{1}=1$,
∴ $(m+1)(n+1)= m+n+mn+1=2025+1+1=2027$.
(2)(2025·宿迁中考)方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m, n$,则$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)= \underline{\hspace{5em}}.$
答案
8.(2) -4 048 解析:
∵ 方程 $x^2-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 $m,n$,
∴ $m^2-2024m-2025=0$,$n^2-2024n-2025=0$,$m+n=2024$,$mn=-2025$,
∴ $m^2=2024m+2025$,$n^2=2024n+2025$,
∴ $(m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)= mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$.
∵ 方程 $x^2-2024x-2025=0$ 的两个根分别是 $m,n$,
∴ $m^2-2024m-2025=0$,$n^2-2024n-2025=0$,$m+n=2024$,$mn=-2025$,
∴ $m^2=2024m+2025$,$n^2=2024n+2025$,
∴ $(m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)= mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$.
9. (2025·东营中考)若$x_1,x_2$是关于x的一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$的值为（
A.0
B.25
C.26
D.-1
C
）A.0
B.25
C.26
D.-1
答案
9. C 解析:
∵ $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-25x-1=0$的两个实数根,
∴ $x_1^2-25x_1-1=0$,$x_1+x_2=25$,
∴ $x_1^2-25x_1=1$,
∴ $x_1^2-24x_1+x_2 = x_1^2-25x_1+x_1+x_2 = (x_1^2-25x_1)+(x_1+x_2)=1+25=26$.故选 C.
∵ $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-25x-1=0$的两个实数根,
∴ $x_1^2-25x_1-1=0$,$x_1+x_2=25$,
∴ $x_1^2-25x_1=1$,
∴ $x_1^2-24x_1+x_2 = x_1^2-25x_1+x_1+x_2 = (x_1^2-25x_1)+(x_1+x_2)=1+25=26$.故选 C.
10. (武汉中考)已知$a,b$是方程$x^2 -3x -5=0$的两根,则代数式$2a^3 -6a^2 +b^2 +7b +1$的值是 (
A.$-25$
B.$-24$
C.$35$
D.$36$
D
)A.$-25$
B.$-24$
C.$35$
D.$36$
答案
10. D 解析:
∵ $a,b$ 是 $x^2-3x-5=0$ 的两根,
∴ $a^2-3a-5=0$,$b^2-3b-5=0$,$a+b=3$,
∴ $a^2-3a=5$,$b^2=3b+5$,
∴ $2a^3-6a^2+b^2+7b+1=2a(a^2-3a)+3b+5+7b+1=10(a+b)+6=36$.
∵ $a,b$ 是 $x^2-3x-5=0$ 的两根,
∴ $a^2-3a-5=0$,$b^2-3b-5=0$,$a+b=3$,
∴ $a^2-3a=5$,$b^2=3b+5$,
∴ $2a^3-6a^2+b^2+7b+1=2a(a^2-3a)+3b+5+7b+1=10(a+b)+6=36$.
11.(南通中考)若m,n是一元二次方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根，则$\frac{m^3 + m^2n}{3m -1}$的值为
3
。答案
11. 3 解析:由题意得 $m^2+3m-1=0$,$m+n=-3$,
∴ $\frac{m^3+m^2n}{3m-1}=\frac{m^2(m+n)}{3m-1}=\frac{-(3m-1)×(-3)}{3m-1}=3$.
∴ $\frac{m^3+m^2n}{3m-1}=\frac{m^2(m+n)}{3m-1}=\frac{-(3m-1)×(-3)}{3m-1}=3$.
