12. (乐山中考)若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 8x + m = 0$的两根为$x_1, x_2$,且$x_1 = 3x_2$,则$m$的值为 ()

A.4
B.8
C.12
D.16

12. C 解析:
∵ $x_1+x_2=4x_2=8$,$x_2=2$,$x_1=6$,
∴ $m=x_1x_2=12$.故选 C.

13.（荆门中考）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4mx +3m^2=0(m＞0)$的一个根比另一个根大2，则$m$的值为.

13. 1 解析:设方程的两根分别为 $t$,$t+2$,根据题意得 $t+t+2=4m$,即 $t=2m-1$,$t(t+2)=3m^2$,把 $t=2m-1$ 代入 $t(t+2)=3m^2$,得$(2m-1)·(2m+1)=3m^2$,解得 $m=1$ 或 $m=-1$(舍去),
∴ $m=1$.

14. (1)已知$a≥2$，$m^2 - 2am + 2 = 0$，$n^2 - 2an + 2 = 0$，$m≠ n$，则$(m - 1)^2 + (n - 1)^2$的最小值为________。
(2)已知实数$p,q$满足$p^2 = 3p + 2$，$2q^2 = 3q + 1$，则$\frac{p^2 + 4q^2}{2pq}$的值为________。

14.(1)6 解析:
∵ $m^2-2am+2=0$,$n^2-2an+2=0$,$m≠n$,
∴ $m,n$是关于 $x$ 的方程 $x^2-2ax+2=0$ 的两根,
∴ $m+n=2a$,$mn=2$,
∴ $(m-1)^2+(n-1)^2=m^2-2m+1+n^2-2n+1=(m+n)^2-2mn-2(m+n)+2=4a^2-4-4a+2=4(a-\frac{1}{2})^2-3$.
∵ $a≥ 2$,
∴ 当$a=2$ 时,$(m-1)^2+(n-1)^2$ 有最小值为 $4×(2-\frac{1}{2})^2-3=6$.
(2)2 或 $-\frac{13}{2}$ 解析:当 $p=2q$ 时,$\frac{p^2+4q^2}{2pq}=\frac{p^2+p^2}{p^2}=2$;当$p≠2q$时,设 $t=2q$,代入 $2q^2=3q+1$,化简得 $t^2=3t+2$,则 $p$与 $t$(即 $2q$)为方程 $x^2-3x-2=0$ 的两实数根,
∴ $p+2q=3$,$p·2q=-2$,
∴ $\frac{p^2+4q^2}{2pq}=\frac{(p+2q)^2-2p·2q}{p·2q}=\frac{3^2-2×(-2)}{-2}=-\frac{13}{2}$.

15. 若关于x的一元二次方程$x^2+2x+6-b=0$有两个相等的实数根$x_1=x_2=k$，则直线$y=kx+b$必定经过的象限是（）

A.一、二、三
B.一、二、四
C.二、三、四
D.一、三、四

15. B 解析:由题意得 $\Delta=2^2-4×(6-b)=0$,解得 $b=5$. 又$k+k=-2$,
∴ $k=-1$,
∴ 直线 $y=kx+b$ 经过第一、二、四象限.

16.（南京中考）关于$x$的方程$(x-1)·(x+2)=p^2$（$p$为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根

16. C 解析:
∵ $(x-1)(x+2)=p^2$($p$ 为常数),
∴ $x^2+x-2-p^2=0$,
∴ $\Delta=1+8+4p^2=9+4p^2＞0$,
∴ 方程有两个不相等的实数根,两根之积为 $-2-p^2＜0$,
∴ 原方程有一个正根和一个负根.

17. (1)(内江中考)已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$的两实数根，且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = x_1^2 + 2x_2 - 1$，则$k$的值为________。
(2)已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2tx + t^2 - 2t + 4 = 0$的两实数根，则$(m+2)(n+2)$的最小值是________。

17.(1)2 解析:由题意得 $x_1+x_2=2$,$x_1·x_2=k-1$,$x_1^2-2x_1+k-1=0$,
∴ $x_1^2=2x_1-k+1$.
∵ $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=x_1^2+2x_2-1$,
∴ $\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=2(x_1+x_2)-k$,
∴ $\frac{2^2-2(k-1)}{k-1}=4-k$,解得 $k=2$ 或 $k=5$.当 $k=2$ 时,方程为 $x^2-2x+1=0$,$\Delta=0$,符合题意;当 $k=5$ 时,方程为 $x^2-2x+4=0$,$\Delta＜0$,方程无实数解,不符合题意.故 $k=2$.
(2)16 解析:
∵ $m,n$ 是方程 $x^2-2tx+t^2-2t+4=0$ 的两实数根,
∴ $\Delta=(-2t)^2-4(t^2-2t+4)=8t-16≥ 0$,即 $t≥ 2$,$m+n=2t$,$mn=t^2-2t+4$,
∴ $(m+2)(n+2)= mn+2(m+n)+4= t^2+2t+8=(t+1)^2+7$.
∵ $t≥ 2$,
∴ $(t+1)^2+7≥ (2+1)^2+7=16$.

18.(自主招生)设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程$x^2 -6x +a=0$的两根，当这样的三角形只有一个时，$a$的取值范围是。

18. 0＜a≤8或a=9 解析:
∵ $x^2-6x+a=0$ 有实数根,
∴ $\Delta=36-4a≥ 0$.①当 $\Delta=0$ 时,$a=9$,此时三角形为等边三角形,符合题意.②当 $\Delta＞0$ 时,$a＜9$,由边长不能为负数可得 $x_1·x_2=a＞0$,
∴ $0＜a＜9$.设两根分别为 $x_1,x_2(x_1＜x_2)$,若要等腰三角形只有一个,需要较小的根 $x_1$ 为底边,较大的根 $x_2$ 为腰,且 $x_2$ 不能为底边,$x_1$ 不能为腰,根据三边关系得 $2x_1≤ x_2$.
∵ $x_1+x_2=6$,$x_1·x_2=a$,
∴ $2x_1+x_1≤ x_1+x_2=6$,
∴ $x_1≤ 2$,
∴ $a=x_1·(6-x_1)=-(3-x_1)^2+9≤ 8$,
∴ $0＜a≤ 8$.综上,当 $0＜a≤ 8$ 或 $a=9$ 时,三角形只有一个.

19. (荆门中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x+2m-1=0$有$x_1,x_2$两实数根.
(1)若$x_1=1$,求$x_2$及$m$的值.
(2)是否存在实数$m$,满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m-5}$?若存在,求出实数$m$的值;若不存在,请说明理由.

19. (1)由题意得,$b^2-4ac=(-6)^2-4(2m-1)≥ 0$,解得 $m≤ 5$.
$x_1+x_2=6$,$x_1x_2=2m-1$.
∵ $x_1=1$,
∴ $1+x_2=6$,$x_2=2m-1$,
∴ $x_2=5$,$m=3$.
(2)存在.
∵ $(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$,
∴ $x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$,即 $2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$. 整理得 $m^2-8m+12=0$,解得 $m_1=2$,$m_2=6$,经检验,$m_1=2$,$m_2=6$ 为原方程的解.
∵ $m≤ 5$ 且 $m≠5$,
∴ $m=2$.

20. 已知实数 $a,b$ 满足 $a^2(b^2+1)+b(b+2a)=40$，
$a(b+1)+b=8$。
(1) 求 $a+b$ 和 $ab$ 的值；
(2) 求 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ 的值。

20. (1)$a^2(b^2+1)+b(b+2a)=40$,$a(b+1)+b=8$,分别整理得$(a+b)^2+a^2b^2=40$,$ab+a+b=8$,令 $a+b=m$,$ab=n$,
∴ $m^2+n^2=40$,$m+n=8$,
∴ $m^2+(8-m)^2=40$,解得 $m=2$ 或 $m=6$.
当 $m=2$ 时,$n=6$;当 $m=6$ 时,$n=2$.
∴ $a+b=2$,$ab=6$ 或 $a+b=6$,$ab=2$.设 $a,b$ 是方程 $x^2-mx+n=0$ 的两个实数根,
∴ $\Delta=m^2-4n$,当 $m=2$,$n=6$ 时,$\Delta=4-24=-20＜0$;当 $m=6$,$n=2$ 时,$\Delta=36-8=28＞0$,
∴ $a+b=6$,$ab=2$.
(2)原式$=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}$,当 $a+b=6$,$ab=2$ 时,原式$=8$.