1[2025 北京西城区期中]下列计算正确的是
（）

A.$\frac{a^2}{b^5} · \frac{b^3}{a^5} = \frac{b^3}{a^3}$
B.$\frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{ac}{bd}$
C.$\frac{7b}{2a^3} · \frac{8a^3}{7b^2} = \frac{4a}{b^2}$
D.$a · \frac{b}{a} · \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$

A选项，$\frac{a^2}{b^5} · \frac{b^3}{a^5} = \frac{1}{a^3b^2}$，故此选项不正确；B选项，$\frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$，故此选项不正确；C选项，$\frac{7b}{2a^3} · \frac{8a^3}{7b^2} = \frac{4}{b}$，故此选项不正确；D选项，$a · \frac{b}{a} · \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$，故此选项正确. 故选D.

2[2025重庆高新区质检]若$x$为正整数，则计算$\frac{x^2 -1}{x+4} · \frac{x+4}{x+1}$的结果是（）

A.正整数
B.负整数
C.非负整数
D.非正整数

原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{x+4} · \frac{x+4}{x+1} = x-1$.
∵x为正整数,
∴x≥1且x为整数,
∴x-1≥0且x-1为整数,
∴计算$\frac{x^2-1}{x+4} · \frac{x+4}{x+1}$的结果是非负整数. 故选C.

3[2026山西晋中期末]化简$\frac{16 - m^2}{m^2 + 6m + 9} · \frac{m + 3}{4 - m}$的结果是。

$\frac{16-m^2}{m^2+6m+9} · \frac{m+3}{4-m} = \frac{(4+m)(4-m)}{(m+3)^2} · \frac{m+3}{4-m} = \frac{m+4}{m+3}$,故答案为$\frac{m+4}{m+3}$.

4 计算：$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4x + 3} · \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 3x + 2} =$ .

原式=$\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x-3)} · \frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)} = 1$. 故答案为1.

5 [2025 贵州遵义期末]已知 $ A = \frac{x+1}{x-1}, B = \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1}, C = \frac{2x - 4}{x-2} $. 先在A,B,C中任选2个分式用乘号连接并进行化简,再从0,1,2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.

答案不唯一. 例如:选择A,B.
$A×B = \frac{x+1}{x-1} · \frac{x^2-2x+1}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} · \frac{(x-1)^2}{x-1} = x+1$.
∵x≠1且x≠2,
∴x=0.
当x=0时,原式=x+1=1.

6 $\frac{x^2 - 4}{x - 3} ÷ \frac{(\quad)}{x^2 - 9}$ 的一部分(括号处)被墨水污染了，若只知道该式的化简结果为整式，则被墨水污染的部分不可能是 ()
A. $x - 3$
B. $x - 2$
C. $x + 3$
D. $x + 2$
7 [2026 浙江宁波期末]若 $A = \frac{x}{x^2 - 9}, B = \frac{2x}{x - 3}$，则 $A ÷ B$ 的值可能为 ()
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $0$

6. A 【解析】A 选项，$\frac{x^2-4}{x-3} ÷ \frac{x-3}{x^2-9} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-3} · \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} = \frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{x-3}$，不是整式，符合题意；B 选项，$\frac{x^2-4}{x-3} ÷ \frac{x-2}{x^2-9} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-3} · \frac{(x+3)(x-3)}{x-2} = (x+2)(x+3)$，是整式，不符合题意；C 选项，$\frac{x^2-4}{x-3} ÷ \frac{x+3}{x^2-9} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-3} · \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = (x+2)(x-2)$，是整式，不符合题意；D 选项，$\frac{x^2-4}{x-3} ÷ \frac{x+2}{x^2-9} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-3} · \frac{(x+3)(x-3)}{x+2} = (x-2)(x+3)$，是整式，不符合题意. 故选 A.
7. C 【解析】$A÷B = \frac{x}{x^2-9} ÷ \frac{2x}{x-3} = \frac{x}{(x+3)(x-3)} · \frac{x-3}{2x} = \frac{1}{2(x+3)}$. 由题意可知 $x≠±3,0$, 则 $A÷B$ 的值不可能为 $0,\frac{1}{12},\frac{1}{6}$. 当 $x=-2$ 时, $A÷B$ 的值为 $\frac{1}{2}$, 故选 C.

8[2026 山东青岛质检]化简：$\frac{a+3}{1-a} ÷ \frac{a^2+3a}{a^2-2a+1}$. 从0,1,2中选取一个数作为a的值代入求值.

原式=$\frac{a+3}{1-a} ÷ \frac{a(a+3)}{(a-1)^2} = \frac{a+3}{1-a} · \frac{(a-1)^2}{a(a+3)} = \frac{a+3}{1-a} · \frac{(1-a)^2}{a(a+3)} = \frac{1-a}{a}$.
∵a≠1,0,-3,
∴a可以取2,当a=2时,原式=$-\frac{1}{2}$.

9 如图(1)为“惠民1号”玉米试验田，是半径为R米的圆去掉宽为1米的出水沟(空白部分)剩下的部分；如图(2)为“惠民2号”玉米试验田，是半径为R米的圆中间去掉半径为1米的圆(空白部分)剩下的部分，两块玉米试验田的玉米都收了450千克.
(1)哪块玉米试验田的玉米的单位面积产量高？
(2)两块玉米试验田的玉米单位面积产量高的是单位面积产量低的多少倍？

(1)“惠民1号”玉米试验田面积是$π(R-1)^2$平方米,单位面积产量是$\frac{450}{π(R-1)^2}$千克/平方米;“惠民2号”玉米试验田面积是$π(R^2-1)$平方米,单位面积产量是$\frac{450}{π(R^2-1)} = \frac{450}{π(R+1)(R-1)}$千克/平方米.
∵$R-1＜R+1$, $R-1＞0$,
∴$0＜(R-1)^2＜R^2-1$,
∴$\frac{450}{π(R^2-1)} ＜ \frac{450}{π(R-1)^2}$,
∴“惠民1号”玉米试验田的玉米的单位面积产量高.
(2) $\frac{450}{π(R-1)^2} ÷ \frac{450}{π(R^2-1)} = \frac{450}{π(R-1)^2} × \frac{π(R^2-1)}{450} = \frac{R+1}{R-1}$,
∴两块玉米试验田的玉米单位面积产量高的是单位面积产量低的$\frac{R+1}{R-1}$倍.