1[2026江苏宿迁期末,中]若$\frac{x^2 - y^2}{a^3x - a^3y} ÷ \frac{x^2 + 2xy + y^2}{ax + ay}$的值是25,则a的值为（）

A.$\frac{1}{5}$
B.$-\frac{1}{5}$
C.$\pm\frac{1}{25}$
D.$\pm\frac{1}{5}$

原式=$\frac{(x+y)(x-y)}{a^3(x-y)} · \frac{a(x+y)}{(x+y)^2} = \frac{1}{a^2}$. 因为原式的值是25,所以$\frac{1}{a^2}=25$,所以$a=±\frac{1}{5}$. 故选 D.

2 新考向 跨学科综合 [2025 陕西西安质检,中]你听说过著名的牛顿万有引力定律吗？任何两个物体之间都存在互相吸引的力，如果设两个物体的质量分别为$ m_1, m_2 $，它们之间的距离是$ d $，那么它们之间的引力为$ F = \frac{G m_1 m_2}{d^2} $（$ G $为常数）.人站在地球表面所受到的重力近似地等于地球对人的引力，此时$ d $就是地球的半径$ R $.地球的半径约为木星半径的$ \frac{4}{45} $，地球的质量约为木星质量的$ \frac{1}{318} $，则站在地球表面的人所受到的重力约是他站在木星表面所受到的重力的（）

A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{2}{5} $
C.25倍
D.4倍

设木星的质量为M,这个人的质量为m,则地球的质量为$\frac{1}{318}M$.
∵地球的半径约为木星半径的$\frac{4}{45}$,
∴木星的半径为$R ÷ \frac{4}{45} = \frac{45}{4}R$. 这个人站在地球表面所受到的重力为$F_地=\frac{Gm \frac{1}{318}M}{R^2}$;站在木星表面所受到的重力为$F_木=\frac{GmM}{(\frac{45}{4}R)^2}$,
∴站在地球表面的人所受到的重力约是他站在木星表面所受到的重力的$\frac{\frac{Gm \frac{1}{318}M}{R^2}}{\frac{GmM}{(\frac{45}{4}R)^2}} = \frac{Gm \frac{1}{318}M}{R^2} · \frac{\frac{2025}{16}R^2}{GmM} = \frac{1}{318} × \frac{2025}{16} = \frac{675}{1696} ≈ \frac{2}{5}$. 故选 B.

3[2025山东临沂期末,中]如图,将四张长、宽分别为$a,b(a＞b＞0)$的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形,已知拼成的大正方形的面积为49,中间小正方形的面积为1,则$(a^4 - b^4)÷\frac{a^2 + b^2}{ab}÷(6a - 6b)$的值为。

∵大正方形的面积为49,
∴$(a+b)^2=49$. 又
∵a＞b＞0,
∴a+b=7.
∵中间小正方形的面积为1,
∴$(a-b)^2=1$,
∴$(a+b)^2-(a-b)^2=48$,
∴$a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=48$,
∴ab=12,
∴$(a^4-b^4)÷\frac{a^2+b^2}{ab}÷(6a-6b) = (a^2+b^2)(a-b)(a+b) · \frac{ab}{a^2+b^2} · \frac{1}{6(a-b)} = \frac{ab(a+b)}{6} = \frac{12×7}{6}=14$.

4[中]在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一道题，计算：$(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4}) · (a^8+\frac{1}{a^8})(a^2-1)$，同学们都感到无从下手，小明将$a^2-1$变形为$a(a-\frac{1}{a})$，然后用平方差公式很轻松地得出结论.你知道他是怎么做的吗？
刷素养 走向重高

原式 = $a(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2}) · (a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^2-\frac{1}{a^2})(a^2+\frac{1}{a^2})(a^4+\frac{1}{a^4}) · (a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^4-\frac{1}{a^4})(a^4+\frac{1}{a^4})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^8-\frac{1}{a^8})(a^8+\frac{1}{a^8})$
$=a(a^{16}-\frac{1}{a^{16}})$
$=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$.

5 核心素养推理能力[较难]有下列分式：$\frac{y^3}{x}, -\frac{y^5}{x^2}, \frac{y^7}{x^3}, -\frac{y^9}{x^4}, \dots$，其中$x,y$均不为0.
(1)将任意一个分式除以后一个分式会得到怎样的结果？请写出你发现的结论.
(2)请写出该列分式的第六个分式.
(3)若$n$为正整数，请写出该列分式的第$n$个分式.

(1)
∵$\frac{y^3}{x} ÷ (-\frac{y^5}{x^2}) = -\frac{y^3}{x} · \frac{x^2}{y^5} = -\frac{x}{y^2}$, $-\frac{y^5}{x^2} ÷ \frac{y^7}{x^3} = -\frac{y^5}{x^2} · \frac{x^3}{y^7} = -\frac{x}{y^2}$, $\frac{y^7}{x^3} ÷ (-\frac{y^9}{x^4}) = -\frac{y^7}{x^3} · \frac{x^4}{y^9} = -\frac{x}{y^2}$,…,故可得结论:将任意一个分式除以后一个分式所得结果均为$-\frac{x}{y^2}$.
(2)由规律可得,第五个分式为$\frac{y^{11}}{x^5}$,则第六个分式为$-\frac{y^{13}}{x^6}$.
(3)由所给分式可得,该列分式的奇数项为正,偶数项为负,分子是$y^{2n+1}$,分母是$x^n$,
∴第n个分式为$(-1)^{n+1}·\frac{y^{2n+1}}{x^n}$.