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一、选择题(每题2分,共12分)
1 已知1纳米=0.000000001米,某种植物的花粉的直径约为35000纳米,那么用科学记数法表示该种花粉的直径为(
A.$3.5× 10^{4}$
B.$3.5× 10^{-4}$
C.$3.5× 10^{5}$
D.$3.5× 10^{-5}$
1 已知1纳米=0.000000001米,某种植物的花粉的直径约为35000纳米,那么用科学记数法表示该种花粉的直径为(
D
)米。A.$3.5× 10^{4}$
B.$3.5× 10^{-4}$
C.$3.5× 10^{5}$
D.$3.5× 10^{-5}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先明确单位换算关系，将纳米换算为米，再把得到的数值整理为科学记数法的标准形式即可。首先要牢记1纳米对应的米数的科学记数法表示，其次掌握科学记数法的表示规则：$a×10^n$中$1≤|a|＜10$，指数$n$的计算要结合同底数幂的乘法法则进行。
【解析】
解：已知1纳米$=0.000000001$米$=1×10^{-9}$米，
则35000纳米$=35000×1×10^{-9}$米，
先将35000改写为$3.5×10^4$，代入得：
原式$=3.5×10^4×10^{-9}$米，
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得：
$3.5×10^{4-9}=3.5×10^{-5}$米。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂；单位换算
【点评】
本题考查科学记数法表示较小的数，解题关键是掌握单位换算的方法和科学记数法的书写规范，计算指数时要注意同底数幂运算法则的正确应用，避免因粗心算错指数出错。
【难度系数】
0.7
解题时先明确单位换算关系，将纳米换算为米，再把得到的数值整理为科学记数法的标准形式即可。首先要牢记1纳米对应的米数的科学记数法表示，其次掌握科学记数法的表示规则：$a×10^n$中$1≤|a|＜10$，指数$n$的计算要结合同底数幂的乘法法则进行。
【解析】
解：已知1纳米$=0.000000001$米$=1×10^{-9}$米，
则35000纳米$=35000×1×10^{-9}$米，
先将35000改写为$3.5×10^4$，代入得：
原式$=3.5×10^4×10^{-9}$米，
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得：
$3.5×10^{4-9}=3.5×10^{-5}$米。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂；单位换算
【点评】
本题考查科学记数法表示较小的数，解题关键是掌握单位换算的方法和科学记数法的书写规范，计算指数时要注意同底数幂运算法则的正确应用，避免因粗心算错指数出错。
【难度系数】
0.7
2 定义:对于任意实数$a$、$b$、$c$,有$[a,b]c = ac + b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算。例如:$[2,3]1=2×1+3=5$。若关于$x$的方程$[x,x+1](mx)=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为(
A.$m ＜ \dfrac{1}{4}$
B.$m ＞ \dfrac{1}{4}$
C.$m ＞ \dfrac{1}{4}$ 且 $m ≠ 0$
D.$m ＜ \dfrac{1}{4}$ 且 $m ≠ 0$
D
)。A.$m ＜ \dfrac{1}{4}$
B.$m ＞ \dfrac{1}{4}$
C.$m ＞ \dfrac{1}{4}$ 且 $m ≠ 0$
D.$m ＜ \dfrac{1}{4}$ 且 $m ≠ 0$
答案
2.D
解析
【分析】
解题首先要准确理解题目给出的新定义运算规则，第一步将给定的含新运算的方程转化为我们熟悉的整式方程；其次，题目明确方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的前提，再结合一元二次方程根的判别式大于0的条件，联立两个限制条件即可求出m的取值范围。
【解析】
根据新定义$[a,b]c = ac + b$，将$[x,x+1](mx)=0$展开得：
$x· mx + (x+1) = 0$
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，即二次项系数$m≠0$，且根的判别式$\Delta＞0$
其中$\Delta = 1^2 - 4× m× 1 = 1 - 4m$
令$\Delta＞0$，即$1-4m＞0$，解得$m＜\frac{1}{4}$
联立两个条件可得：$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
故选D
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题是新定义与一元二次方程结合的题型，解题核心是先将新运算转化为常规代数方程，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，直接仅根据判别式求解导致错选。
【难度系数】
0.6
解题首先要准确理解题目给出的新定义运算规则，第一步将给定的含新运算的方程转化为我们熟悉的整式方程；其次，题目明确方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的前提，再结合一元二次方程根的判别式大于0的条件，联立两个限制条件即可求出m的取值范围。
【解析】
根据新定义$[a,b]c = ac + b$，将$[x,x+1](mx)=0$展开得：
$x· mx + (x+1) = 0$
整理得：$mx^2 + x + 1 = 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 该方程为一元二次方程，即二次项系数$m≠0$，且根的判别式$\Delta＞0$
其中$\Delta = 1^2 - 4× m× 1 = 1 - 4m$
令$\Delta＞0$，即$1-4m＞0$，解得$m＜\frac{1}{4}$
联立两个条件可得：$m＜\frac{1}{4}$且$m≠0$
故选D
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题是新定义与一元二次方程结合的题型，解题核心是先将新运算转化为常规代数方程，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，直接仅根据判别式求解导致错选。
【难度系数】
0.6
3 满足下列条件的$△ ABC$，不是直角三角形的是（
A.$BC:AC:AB=6:8:10$
B.$∠ C=∠ A-∠ B$
C.$AC^2=BC^2-AB^2$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
D
）。A.$BC:AC:AB=6:8:10$
B.$∠ C=∠ A-∠ B$
C.$AC^2=BC^2-AB^2$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，可从两类判定依据入手分析：一是边的关系，即勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足两短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形；二是角的关系，结合三角形内角和为180°，若存在一个内角为90°，或两个内角的和等于第三个内角，则为直角三角形。我们只需逐个验证选项是否满足直角三角形的条件，选出不满足的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：设$BC=6k$，$AC=8k$，$AB=10k$（$k＞0$），计算得$(6k)^2+(8k)^2=36k^2+64k^2=100k^2=(10k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
B选项：由$∠C=∠A-∠B$可得$∠A=∠B+∠C$，结合三角形内角和为180°，即$∠A+∠B+∠C=180°$，代入得$2∠A=180°$，解得$∠A=90°$，是直角三角形，不符合题意。
C选项：对$AC^2=BC^2-AB^2$移项得$AB^2+AC^2=BC^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
D选项：设$∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=5x$，结合内角和180°可得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，则三个内角分别为45°、60°、75°，没有直角，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.勾股定理逆定理 2.三角形内角和定理 3.直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练运用直角三角形的边、角两类判定方法，解题时需逐个验证选项，同时注意题干要求选出“不是直角三角形”的选项，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，可从两类判定依据入手分析：一是边的关系，即勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足两短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形；二是角的关系，结合三角形内角和为180°，若存在一个内角为90°，或两个内角的和等于第三个内角，则为直角三角形。我们只需逐个验证选项是否满足直角三角形的条件，选出不满足的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：设$BC=6k$，$AC=8k$，$AB=10k$（$k＞0$），计算得$(6k)^2+(8k)^2=36k^2+64k^2=100k^2=(10k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
B选项：由$∠C=∠A-∠B$可得$∠A=∠B+∠C$，结合三角形内角和为180°，即$∠A+∠B+∠C=180°$，代入得$2∠A=180°$，解得$∠A=90°$，是直角三角形，不符合题意。
C选项：对$AC^2=BC^2-AB^2$移项得$AB^2+AC^2=BC^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
D选项：设$∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=5x$，结合内角和180°可得$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，则三个内角分别为45°、60°、75°，没有直角，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.勾股定理逆定理 2.三角形内角和定理 3.直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是熟练运用直角三角形的边、角两类判定方法，解题时需逐个验证选项，同时注意题干要求选出“不是直角三角形”的选项，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8
④ 已知$x^2 -7xy +12y^2=0$，那么$\frac{x -5y}{x +5y}$的值为（
A.$-\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{9}$
C.$-\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{9}$
C
）。A.$-\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{9}$
C.$-\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{9}$
D.$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{9}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题给出二元二次齐次方程，要求对应分式的值，解题思路如下：第一步，观察已知等式左侧的二次三项式，可通过十字相乘法因式分解，得到x与y的倍数关系；第二步，将得到的两种x和y的关系分别代入所求分式，计算时要注意保证分式分母不为0，排除无意义的情况，最终得到两个可能的结果。
【解析】
首先对已知方程$x^2 -7xy +12y^2=0$左侧因式分解：
利用十字相乘法，将$12y^2$拆为$-3y$和$-4y$，满足$-3y + (-4y) = -7y$，因此：
$x^2 -7xy +12y^2=(x-3y)(x-4y)=0$
由此可得$x-3y=0$或$x-4y=0$，即$x=3y$或$x=4y$。
接下来考虑分式$\frac{x -5y}{x +5y}$有意义的条件：分母$x+5y≠0$。
若$y=0$，则代入原方程得$x^2=0$即$x=0$，此时分母$x+5y=0$，分式无意义，因此$y≠0$。
① 当$x=3y$时，代入分式得：
$\frac{x -5y}{x +5y}=\frac{3y -5y}{3y +5y}=\frac{-2y}{8y}=-\frac{1}{4}$
② 当$x=4y$时，代入分式得：
$\frac{x -5y}{x +5y}=\frac{4y -5y}{4y +5y}=\frac{-y}{9y}=-\frac{1}{9}$
因此$\frac{x -5y}{x +5y}$的值为$-\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
十字相乘法因式分解；分式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题解题核心是通过因式分解将二元二次方程转化为x与y的一次关系，代入求值时需注意检验分母不为0的前提，同时不要遗漏任意一种x与y的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题给出二元二次齐次方程，要求对应分式的值，解题思路如下：第一步，观察已知等式左侧的二次三项式，可通过十字相乘法因式分解，得到x与y的倍数关系；第二步，将得到的两种x和y的关系分别代入所求分式，计算时要注意保证分式分母不为0，排除无意义的情况，最终得到两个可能的结果。
【解析】
首先对已知方程$x^2 -7xy +12y^2=0$左侧因式分解：
利用十字相乘法，将$12y^2$拆为$-3y$和$-4y$，满足$-3y + (-4y) = -7y$，因此：
$x^2 -7xy +12y^2=(x-3y)(x-4y)=0$
由此可得$x-3y=0$或$x-4y=0$，即$x=3y$或$x=4y$。
接下来考虑分式$\frac{x -5y}{x +5y}$有意义的条件：分母$x+5y≠0$。
若$y=0$，则代入原方程得$x^2=0$即$x=0$，此时分母$x+5y=0$，分式无意义，因此$y≠0$。
① 当$x=3y$时，代入分式得：
$\frac{x -5y}{x +5y}=\frac{3y -5y}{3y +5y}=\frac{-2y}{8y}=-\frac{1}{4}$
② 当$x=4y$时，代入分式得：
$\frac{x -5y}{x +5y}=\frac{4y -5y}{4y +5y}=\frac{-y}{9y}=-\frac{1}{9}$
因此$\frac{x -5y}{x +5y}$的值为$-\frac{1}{4}$或$-\frac{1}{9}$。
【答案】
C
【知识点】
十字相乘法因式分解；分式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题解题核心是通过因式分解将二元二次方程转化为x与y的一次关系，代入求值时需注意检验分母不为0的前提，同时不要遗漏任意一种x与y的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$DE ⊥ AB$，垂足为$E$，$BC=BE$。若$AB=14$，$BC=6$，则$DE$的长是（
A.$\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$
B.$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$
C.4
D.6
A
）。A.$\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$
B.$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$
C.4
D.6
答案
5.A
解析
【分析】
解题首先观察图形特征：已知∠C=∠DEB=90°，BC=BE，BD为公共边，可先通过HL判定Rt△BCD≌Rt△BED，得到DE=CD的等量关系。接下来先利用勾股定理求出Rt△ABC的直角边AC的长度，再求出AE的长度，最后设DE=x，将AD用含x的式子表示，在Rt△ADE中用勾股定理列方程求解即可得到DE的长度。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ ∠C=90°，DE⊥AB，
∴ ∠C=∠DEB=90°
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BC=BE\\ BD=BD\end{array} $
∴ Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴ CD=DE
2. 计算AC和AE的长度：
在Rt△ABC中，AB=14，BC=6，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{14^2-6^2}=\sqrt{196-36}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$
∵ BE=BC=6，AB=14，
∴ AE=AB-BE=14-6=8
3. 设未知数列方程求解：
设DE=x，则CD=x，AD=AC-CD=$4\sqrt{10}-x$
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2$
代入得：$(4\sqrt{10}-x)^2=8^2+x^2$
展开得：$160-8\sqrt{10}x+x^2=64+x^2$
消去$x^2$整理得：$8\sqrt{10}x=96$
解得：$x=\frac{96}{8\sqrt{10}}=\frac{12}{\sqrt{10}}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$
即DE的长为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
HL判定全等三角形，全等三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是常见的几何计算类题型，解题核心是先通过全等三角形转化得到相等的线段，再结合勾股定理列方程求解，很好地考查了几何推理和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题首先观察图形特征：已知∠C=∠DEB=90°，BC=BE，BD为公共边，可先通过HL判定Rt△BCD≌Rt△BED，得到DE=CD的等量关系。接下来先利用勾股定理求出Rt△ABC的直角边AC的长度，再求出AE的长度，最后设DE=x，将AD用含x的式子表示，在Rt△ADE中用勾股定理列方程求解即可得到DE的长度。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ ∠C=90°，DE⊥AB，
∴ ∠C=∠DEB=90°
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l}BC=BE\\ BD=BD\end{array} $
∴ Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴ CD=DE
2. 计算AC和AE的长度：
在Rt△ABC中，AB=14，BC=6，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{14^2-6^2}=\sqrt{196-36}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$
∵ BE=BC=6，AB=14，
∴ AE=AB-BE=14-6=8
3. 设未知数列方程求解：
设DE=x，则CD=x，AD=AC-CD=$4\sqrt{10}-x$
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2=AE^2+DE^2$
代入得：$(4\sqrt{10}-x)^2=8^2+x^2$
展开得：$160-8\sqrt{10}x+x^2=64+x^2$
消去$x^2$整理得：$8\sqrt{10}x=96$
解得：$x=\frac{96}{8\sqrt{10}}=\frac{12}{\sqrt{10}}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$
即DE的长为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
A
【知识点】
HL判定全等三角形，全等三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是常见的几何计算类题型，解题核心是先通过全等三角形转化得到相等的线段，再结合勾股定理列方程求解，很好地考查了几何推理和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
6 如图，在三角形ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F。若DG=GE，AF=6，BF= 
答案
6.C
[提示:因为 DG=GE,所以 $S_{△ ADG}=S_{△ AEG}=8$,所以 $S_{△ ADE}=16$。由翻折的性质,可知
$△ ADB ≌ △ ADE, BE ⊥ AD$,所以 $S_{△ ABD}=S_{△ ADE}=16, ∠ BFD=90°$,所以 $\frac{1}{2} · (AF+DF) ·$
$BF=16$,所以 $\frac{1}{2} × (6+DF) × 4 = 16$,所以 $DF=2$,所以 $DB=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。设点 F 到 BD 的距离为 h,则有 $S_{△ BDF}=\frac{1}{2} · BD · h = \frac{1}{2} · BF · DF$,所以 $2\sqrt{5}h=4 × 2$,所以 $h=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。]
[提示:因为 DG=GE,所以 $S_{△ ADG}=S_{△ AEG}=8$,所以 $S_{△ ADE}=16$。由翻折的性质,可知
$△ ADB ≌ △ ADE, BE ⊥ AD$,所以 $S_{△ ABD}=S_{△ ADE}=16, ∠ BFD=90°$,所以 $\frac{1}{2} · (AF+DF) ·$
$BF=16$,所以 $\frac{1}{2} × (6+DF) × 4 = 16$,所以 $DF=2$,所以 $DB=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。设点 F 到 BD 的距离为 h,则有 $S_{△ BDF}=\frac{1}{2} · BD · h = \frac{1}{2} · BF · DF$,所以 $2\sqrt{5}h=4 × 2$,所以 $h=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。]
解析
【分析】
解题首先从已知DG=GE入手，根据同高三角形底相等则面积相等，可求出△ADE的面积；再结合翻折的性质，得到△ABD与△ADE全等、AD垂直BE，进而得到△ABD的面积；接下来利用三角形面积公式列方程求出DF的长度，再通过勾股定理算出BD的长；最后利用等面积法，通过△BDF的两种面积计算方式，即可求出点F到BD的距离。
【解析】
1. 计算△ADE的面积：
已知DG=GE，△ADG和△AEG以DG、GE为底时高相同，因此$S_{△ ADG}=S_{△ AEG}=8$，故$S_{△ ADE}=S_{△ ADG}+S_{△ AEG}=8+8=16$。
2. 结合翻折性质推导结论：
由翻折的性质可得$△ ABD ≌ △ AED$，且AD垂直BE，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ADE}=16$，$∠ BFD=90°$。
3. 求解DF的长度：
△ABD的面积可表示为$\frac{1}{2} · AD · BF$，其中$AD=AF+DF=6+DF$，已知$BF=4$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2} × (6+DF) × 4 = 16$
化简得$2(6+DF)=16$，解得$DF=2$。
4. 求解BD的长度：
在$Rt△ BFD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
5. 求解点F到BD的距离：
设点F到BD的距离为h，△BDF的面积有两种表示方式：$\frac{1}{2} · BD · h$和$\frac{1}{2} · BF · DF$，因此：
$\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × h = \frac{1}{2} × 4 × 2$
化简得$2\sqrt{5}h=8$，解得$h=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）
【知识点】
翻折的性质；三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题综合考查了翻折变换、三角形面积计算以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折的性质，灵活运用等面积法求解未知线段，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题首先从已知DG=GE入手，根据同高三角形底相等则面积相等，可求出△ADE的面积；再结合翻折的性质，得到△ABD与△ADE全等、AD垂直BE，进而得到△ABD的面积；接下来利用三角形面积公式列方程求出DF的长度，再通过勾股定理算出BD的长；最后利用等面积法，通过△BDF的两种面积计算方式，即可求出点F到BD的距离。
【解析】
1. 计算△ADE的面积：
已知DG=GE，△ADG和△AEG以DG、GE为底时高相同，因此$S_{△ ADG}=S_{△ AEG}=8$，故$S_{△ ADE}=S_{△ ADG}+S_{△ AEG}=8+8=16$。
2. 结合翻折性质推导结论：
由翻折的性质可得$△ ABD ≌ △ AED$，且AD垂直BE，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ADE}=16$，$∠ BFD=90°$。
3. 求解DF的长度：
△ABD的面积可表示为$\frac{1}{2} · AD · BF$，其中$AD=AF+DF=6+DF$，已知$BF=4$，代入面积公式得：
$\frac{1}{2} × (6+DF) × 4 = 16$
化简得$2(6+DF)=16$，解得$DF=2$。
4. 求解BD的长度：
在$Rt△ BFD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BF^2+DF^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$
5. 求解点F到BD的距离：
设点F到BD的距离为h，△BDF的面积有两种表示方式：$\frac{1}{2} · BD · h$和$\frac{1}{2} · BF · DF$，因此：
$\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × h = \frac{1}{2} × 4 × 2$
化简得$2\sqrt{5}h=8$，解得$h=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）
【知识点】
翻折的性质；三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题综合考查了翻折变换、三角形面积计算以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握翻折的性质，灵活运用等面积法求解未知线段，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为(
A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
C
)。A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
答案
6.C
解析
【分析】
解题思路：首先结合图形已知的正方形边长条件，通过△ADG的面积求出对应边的高，确定相关点的位置，再利用勾股定理求出关键线段的长度，最后结合平行线间距离的关系，即可求出点F到BC的距离。解题步骤：1. 根据已知正方形边长得到AD的长度，结合△ADG的面积求出AD边上的高，确定点G的位置；2. 用勾股定理算出相关线段的长度；3. 利用相似三角形或坐标法求出点F到AD的距离；4. 结合AD与BC的总间距，换算得到点F到BC的距离。
【解析】
设正方形ABCD的边长为4，可知AD=4，且AD与BC互相平行，两组对边的间距为4。
已知△ADG的面积为8，以AD为底，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得AD边上的高为：
$h=\frac{2S}{AD}=\frac{2×8}{4}=4$，可推出点G在BC边上。
设E为AB中点，连接DE，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
通过联立直线DE和AG的解析式，或利用相似三角形的性质，可求得点F到AD的距离为$4-\frac{4\sqrt{5}}{5}$，因此点F到BC的距离为$4-(4-\frac{4\sqrt{5}}{5})=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题属于几何综合题，考查了多个基础几何知识点的结合应用，解题的关键是理清点和边的位置关系，选择简便的方法完成距离的换算。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先结合图形已知的正方形边长条件，通过△ADG的面积求出对应边的高，确定相关点的位置，再利用勾股定理求出关键线段的长度，最后结合平行线间距离的关系，即可求出点F到BC的距离。解题步骤：1. 根据已知正方形边长得到AD的长度，结合△ADG的面积求出AD边上的高，确定点G的位置；2. 用勾股定理算出相关线段的长度；3. 利用相似三角形或坐标法求出点F到AD的距离；4. 结合AD与BC的总间距，换算得到点F到BC的距离。
【解析】
设正方形ABCD的边长为4，可知AD=4，且AD与BC互相平行，两组对边的间距为4。
已知△ADG的面积为8，以AD为底，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得AD边上的高为：
$h=\frac{2S}{AD}=\frac{2×8}{4}=4$，可推出点G在BC边上。
设E为AB中点，连接DE，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
通过联立直线DE和AG的解析式，或利用相似三角形的性质，可求得点F到AD的距离为$4-\frac{4\sqrt{5}}{5}$，因此点F到BC的距离为$4-(4-\frac{4\sqrt{5}}{5})=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，点到直线的距离
【点评】
本题属于几何综合题，考查了多个基础几何知识点的结合应用，解题的关键是理清点和边的位置关系，选择简便的方法完成距离的换算。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每题3分,共36分)
7 若$m$、$n$是方程$x^2 -4x -2025=0$的两个实数根,则代数式$m -2mn +n$的值等于
7 若$m$、$n$是方程$x^2 -4x -2025=0$的两个实数根,则代数式$m -2mn +n$的值等于
4054
。答案
7.4054
解析
【分析】
已知m、n是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值，首先想到利用一元二次方程根与系数的关系求解。解题思路为：1. 先将所求代数式变形为含两根之和(m+n)、两根之积(mn)的形式；2. 根据给定的一元二次方程，求出m+n和mn的值；3. 将数值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m、n是方程$x^2 -4x -2025=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 -4x -2025=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-2025$，
∴$m+n=-\frac{-4}{1}=4$，$mn=\frac{-2025}{1}=-2025$。
对所求代数式变形可得：$m -2mn +n=(m+n)-2mn$，
将$m+n=4$，$mn=-2025$代入式子得：
原式$=4 - 2×(-2025)=4 + 4050=4054$。
【答案】
4054
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的组合形式，无需单独求解方程的根即可快速算出结果，解题时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.8
已知m、n是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值，首先想到利用一元二次方程根与系数的关系求解。解题思路为：1. 先将所求代数式变形为含两根之和(m+n)、两根之积(mn)的形式；2. 根据给定的一元二次方程，求出m+n和mn的值；3. 将数值代入变形后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m、n是方程$x^2 -4x -2025=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 -4x -2025=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-2025$，
∴$m+n=-\frac{-4}{1}=4$，$mn=\frac{-2025}{1}=-2025$。
对所求代数式变形可得：$m -2mn +n=(m+n)-2mn$，
将$m+n=4$，$mn=-2025$代入式子得：
原式$=4 - 2×(-2025)=4 + 4050=4054$。
【答案】
4054
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的组合形式，无需单独求解方程的根即可快速算出结果，解题时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.8
