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1.「2026山东青岛月考」因式分解 $81x^4 -1$ 的结果为（
A.$(9x^2+1)^2$
B.$(9x^2+1)(3x+1)(3x-1)$
C.$(9x^2-1)^2$
D.$(9x^2+1)^2(9x^2-1)^2$
B
）A.$(9x^2+1)^2$
B.$(9x^2+1)(3x+1)(3x-1)$
C.$(9x^2-1)^2$
D.$(9x^2+1)^2(9x^2-1)^2$
答案
$81x^4 -1 = (9x^2)^2 -1^2 = (9x^2 +1)(9x^2 -1) = (9x^2 +1)(3x+1)(3x-1)$.故选B.
2. 学科特色教材变式 设$a,b,c$是三角形的三边长，则多项式$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$的值（
A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.无法确定
C
）A.等于0
B.大于0
C.小于0
D.无法确定
答案
$a^2 -b^2 -c^2 -2bc = a^2 -(b^2 +c^2 +2bc)$
$= a^2 -(b+c)^2 = (a+b+c)[a-(b+c)]$,
$\because a,b,c$ 是三角形的三边长,$\therefore a+b+c＞0,a＜b+c,\therefore a-(b+c)＜0,\therefore (a+b+c)[a-(b+c)]＜0,\therefore a^2 -b^2 -c^2 -2bc＜0.$
$= a^2 -(b+c)^2 = (a+b+c)[a-(b+c)]$,
$\because a,b,c$ 是三角形的三边长,$\therefore a+b+c＞0,a＜b+c,\therefore a-(b+c)＜0,\therefore (a+b+c)[a-(b+c)]＜0,\therefore a^2 -b^2 -c^2 -2bc＜0.$
3.分解因式:
(1)$(x^2+1)^2 -4x^2$.
(2)$(m^2-11)^2 -10(m^2-11)+25$.
(3)$(x^2-x)^2 -(1-x)^2$.
(1)$(x^2+1)^2 -4x^2$.
(2)$(m^2-11)^2 -10(m^2-11)+25$.
(3)$(x^2-x)^2 -(1-x)^2$.
答案
(1)原式$=(x^2+1+2x)(x^2+1-2x)=(x+1)^2(x-1)^2$.
(2)原式$=(m^2 -11 -5)^2$
$=(m^2 -16)^2=(m+4)^2(m-4)^2$.
(3)原式$=[(x^2 -x)+(1-x)][(x^2 -x)-(1-x)]$
$=(x^2 -2x +1)(x^2 -1)=(x-1)^2(x+1)(x-1)$
$=(x-1)^3(x+1)$.
(2)原式$=(m^2 -11 -5)^2$
$=(m^2 -16)^2=(m+4)^2(m-4)^2$.
(3)原式$=[(x^2 -x)+(1-x)][(x^2 -x)-(1-x)]$
$=(x^2 -2x +1)(x^2 -1)=(x-1)^2(x+1)(x-1)$
$=(x-1)^3(x+1)$.
4.下列因式分解正确的是（
A.$3ax^2 -6ax =3(ax^2 -2ax)$
B.$x^2 + y^2 = (-x + y)(-x - y)$
C.$a^2 +2ab -4b^2 = (a +2b)^2$
D.$-ax^2 +2ax -a = -a(x -1)^2$
D
）A.$3ax^2 -6ax =3(ax^2 -2ax)$
B.$x^2 + y^2 = (-x + y)(-x - y)$
C.$a^2 +2ab -4b^2 = (a +2b)^2$
D.$-ax^2 +2ax -a = -a(x -1)^2$
答案
$3ax^2 -6ax = 3ax(x-2)$,故选项A错误;$x^2 + y^2$无法因式分解,故选项B错误;$a^2 +2ab -4b^2$无法因式分解,故选项C错误;$-ax^2 +2ax -a = -a(x-1)^2$,故选项D正确.故选D.
5.「2025青海西宁中考」分解因式：$8ab^2 - 2a =$
$2a(2b+1)(2b-1)$
答案
答案 $2a(2b+1)(2b-1)$
解析 $8ab^2 -2a = 2a(4b^2 -1) = 2a(2b+1)(2b-1)$.
解析 $8ab^2 -2a = 2a(4b^2 -1) = 2a(2b+1)(2b-1)$.
6.「2025山东东营中考」分解因式：$2x^2y - 4xy^2 + 2y^3 =$
$2y(x-y)^2$
.答案
答案 $2y(x-y)^2$
解析 $2x^2y -4xy^2 +2y^3 = 2y(x^2 -2xy + y^2) = 2y(x-y)^2$.
解析 $2x^2y -4xy^2 +2y^3 = 2y(x^2 -2xy + y^2) = 2y(x-y)^2$.
7.「2026 海南海口期末」分解因式：
(1)$9x^2(a-b)+(b-a)$.
(2)$x^2(y^2-1)+2x(y^2-1)+(y^2-1)$.
(1)$9x^2(a-b)+(b-a)$.
(2)$x^2(y^2-1)+2x(y^2-1)+(y^2-1)$.
答案
(1)原式$=9x^2(a-b)-(a-b)=(a-b)(9x^2 -1)=(a-b)(3x+1)(3x-1)$.
(2)原式$=(y^2 -1)(x^2 +2x +1)=(y+1)(y-1)(x+1)^2$.
(2)原式$=(y^2 -1)(x^2 +2x +1)=(y+1)(y-1)(x+1)^2$.
8.「2026甘肃定西月考，★☆」已知$5^{32}-1$可以被20至30之间的某两个整数整除，则这两个整数是（
A.26,24
B.26,25
C.24,25
D.23,24
A
）A.26,24
B.26,25
C.24,25
D.23,24
答案
$5^{32} -1 = (5^{16} +1)(5^{16} -1) = (5^{16} +1)(5^8 +1)(5^8 -1)=(5^{16} +1)(5^8 +1)(5^4 +1)(5^4 -1)=(5^{16} +1)(5^8 +1)(5^4 +1)(5^2 +1)(5^2 -1)$,其中$5^2 +1=26,5^2 -1=24$,这两个数在20至30之间,所以这两个整数是26,24.故选A.
9.「2026山东济宁月考，★☆」一个长方形的长与宽分别为$a,b$,若这个长方形的周长为10,面积为5,则$ab^3+2a^2b^2+a^3b$的值为
125
.答案
答案 125
解析 由题意得$2(a+b)=10,ab=5,\therefore a+b=5$,
$\therefore ab^3 +2a^2b^2 +a^3b = ab(b^2 +2ab +a^2) = ab(a+b)^2 = 5×5^2 = 125.$
解析 由题意得$2(a+b)=10,ab=5,\therefore a+b=5$,
$\therefore ab^3 +2a^2b^2 +a^3b = ab(b^2 +2ab +a^2) = ab(a+b)^2 = 5×5^2 = 125.$
10.「2025福建泉州期中，★☆」设$681× 2019 - 681× 2018 = a$，$2015× 2016 - 2013× 2018 = b$，$\sqrt{678^2 + 1358 + 690 + 678} = c$，则$a,b,c$的大小关系是
$b＜c＜a$
。答案
答案 $b＜c＜a$
解析 $a=681×(2019-2018)=681$,
$b=2015×(2015+1)-(2015-2)×(2015+3)$
$=2015^2 +2015 -(2015^2 +2015 -6)=6$,
$c=\sqrt{678^2 +2×678 +1^2 +690 +679}$
$=\sqrt{(678+1)^2 +679×2 +1 +10}$
$=\sqrt{(679+1)^2 +10}=\sqrt{680^2 +10}$,
$\because 6＜\sqrt{680^2 +10}＜681,\therefore b＜c＜a.$
解析 $a=681×(2019-2018)=681$,
$b=2015×(2015+1)-(2015-2)×(2015+3)$
$=2015^2 +2015 -(2015^2 +2015 -6)=6$,
$c=\sqrt{678^2 +2×678 +1^2 +690 +679}$
$=\sqrt{(678+1)^2 +679×2 +1 +10}$
$=\sqrt{(679+1)^2 +10}=\sqrt{680^2 +10}$,
$\because 6＜\sqrt{680^2 +10}＜681,\therefore b＜c＜a.$
11. 情境 现实生活 社会发展 「2026 辽宁大连期末，★☆」当代生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，利用“因式分解”可以生成密码：先将确定的多项式因式分解，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.例如多项式$x^2y -4y$因式分解的结果是$y(x+2)(x-2)$，若取$x=15,y=12$，则有$y=12,x+2=17,x-2=13$，其中12,17,13分别为因式码，将这些值按从小到大的顺序排列就形成密码121317.对于多项式$16x^4 - y^4$，当取$x=10,y=2$时，请你写出用上述方法生成的密码为
1822404
.答案
答案 1822404
解析 $16x^4 -y^4 = (4x^2 +y^2)(4x^2 -y^2) = (4x^2 +y^2)(2x+y)(2x-y)$,
当取$x=10,y=2$时,$4x^2 +y^2 =4×10^2 +2^2 =404,2x+y=2×10+2=22,2x-y=2×10-2=18$,将这些值按从小到大的顺序排列为18,22,404,$\therefore$ 密码为1822404.
解析 $16x^4 -y^4 = (4x^2 +y^2)(4x^2 -y^2) = (4x^2 +y^2)(2x+y)(2x-y)$,
当取$x=10,y=2$时,$4x^2 +y^2 =4×10^2 +2^2 =404,2x+y=2×10+2=22,2x-y=2×10-2=18$,将这些值按从小到大的顺序排列为18,22,404,$\therefore$ 密码为1822404.
