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1.「2026湖南长沙期中」下列各式是完全平方式的是（
A.$1+x^2$
B.$x^2+x+\frac{1}{4}$
C.$x+xy+1$
D.$x^2+2x-1$
B
）A.$1+x^2$
B.$x^2+x+\frac{1}{4}$
C.$x+xy+1$
D.$x^2+2x-1$
答案
1.B 完全平方式有两种形式:$a^{2}+2ab+b^{2}$ 和 $a^{2}-2ab+b^{2}$,根据以上内容可判断选项中只有 $x^{2}+x+\frac{1}{4}=x^{2}+2 · x · \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}$ 是完全平方式.
2.「2026广东佛山期中改编」若$x^2$
$9y^2$是完全平方式，则是（
A.$6xy$
B.$-3xy$
C.$\pm6xy$
D.$\pm3xy$
$9y^2$是完全平方式，则是（C
）A.$6xy$
B.$-3xy$
C.$\pm6xy$
D.$\pm3xy$
答案
2.C $\because x^{2}
9y^{2}$是完全平方式,$9y^{2}=(3y)^{2}$,$\therefore 
=\pm 2 · x · 3y=\pm 6xy$.故选 C.3.多项式$x^2 -4x +4$因式分解的结果是 （
A.$x(x-4)+4$
B.$(x+2)(x-2)$
C.$(x+2)^2$
D.$(x-2)^2$
D
）A.$x(x-4)+4$
B.$(x+2)(x-2)$
C.$(x+2)^2$
D.$(x-2)^2$
答案
3.D
4.「2026江西南昌月考」下列因式分解正确的是（
A.$3a^2 -6a +1 = 3a(a-2)+1$
B.$a^2 -4a +4 = (a-2)^2$
C.$a^2 -9a +6 = (a-3)^2$
D.$a^2 +b^2 = (a+b)^2$
B
）A.$3a^2 -6a +1 = 3a(a-2)+1$
B.$a^2 -4a +4 = (a-2)^2$
C.$a^2 -9a +6 = (a-3)^2$
D.$a^2 +b^2 = (a+b)^2$
答案
4.B A 不是因式分解,故 A 错误；B.$a^{2}-4a+4=(a-2)^{2}$,故 B 正确；C.$(a-3)^{2}=a^{2}-6a+9 ≠ a^{2}-9a+6$,故 C 错误；D.$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ≠ a^{2}+b^{2}$,故 D 错误.
5.将下列多项式因式分解：
(1)$9a^2 -12ab +4b^2$.
(2)$-m^2 +8mn -16n^2$.
(3)学科特色整体思想$(y-3)^2 -2(y-3)+1$.
(1)$9a^2 -12ab +4b^2$.
(2)$-m^2 +8mn -16n^2$.
(3)学科特色整体思想$(y-3)^2 -2(y-3)+1$.
答案
5.解析 (1)$9a^{2}-12ab+4b^{2}=(3a)^{2}-2 · 3a · 2b+(2b)^{2}=(3a-2b)^{2}$.
(2)$-m^{2}+8mn-16n^{2}=-(m^{2}-8mn+16n^{2})=-(m-4n)^{2}$.
(3)$(y-3)^{2}-2(y-3)+1=(y-3)^{2}-2(y-3) × 1+1^{2}=(y-3-1)^{2}=(y-4)^{2}$.
(2)$-m^{2}+8mn-16n^{2}=-(m^{2}-8mn+16n^{2})=-(m-4n)^{2}$.
(3)$(y-3)^{2}-2(y-3)+1=(y-3)^{2}-2(y-3) × 1+1^{2}=(y-3-1)^{2}=(y-4)^{2}$.
6.「2026河南商丘月考」如果$a-b=3$，$b-c=4$，那么代数式$a^2+c^2-2ac$的值为
49
。答案
6.答案 49
解析 $\because a-b=3,b-c=4,\therefore a-b+b-c=7,\therefore a-c=7$,$\therefore a^{2}+c^{2}-2ac=(a-c)^{2}=7^{2}=49$.故答案为 49.
解析 $\because a-b=3,b-c=4,\therefore a-b+b-c=7,\therefore a-c=7$,$\therefore a^{2}+c^{2}-2ac=(a-c)^{2}=7^{2}=49$.故答案为 49.
7.用简便方法计算 $9.5^2 - 9.5 × 15 + 7.5^2 =$
4
.答案
7.答案 4
解析 原式$=9.5^{2}-2 × 9.5 × 7.5+7.5^{2}=(9.5-7.5)^{2}=4$.
解析 原式$=9.5^{2}-2 × 9.5 × 7.5+7.5^{2}=(9.5-7.5)^{2}=4$.
8. 学科特色
作差法
「2026湖南永州期中，★☆」已知$M=3x^2 -x +3$，$N=2x^2 +3x -1$，则$M$，$N$的大小关系是（
A.$M≥ N$
B.$M＞N$
C.$M≤ N$
D.$M＜N$
作差法
「2026湖南永州期中，★☆」已知$M=3x^2 -x +3$，$N=2x^2 +3x -1$，则$M$，$N$的大小关系是（
A
）A.$M≥ N$
B.$M＞N$
C.$M≤ N$
D.$M＜N$
答案
8.A $\because M=3x^{2}-x+3,N=2x^{2}+3x-1,\therefore M-N=(3x^{2}-x+3)-(2x^{2}+3x-1)=3x^{2}-x+3-2x^{2}-3x+1=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2} ≥ 0,\therefore M ≥ N$.故选 A.
9. 学科特色易错题「2026上海徐汇月考改编，★☆」已知一个等腰三角形的两边长分别为$a,b$，其中$a,b$满足$|a - 7| + b^2 - 6b + 9 = 0$，那么这个等腰三角形的周长是 (
A.13
B.17
C.13或17
D.16
B
)A.13
B.17
C.13或17
D.16
答案
9.B $\because |a-7|+b^{2}-6b+9=0,\therefore |a-7|+(b-3)^{2}=0$,$\therefore a=7,b=3$,
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7,底边长为3时,满足三角形的三边关系,$\therefore$ 这个等腰三角形的周长是 $7+7+3=17$;
当等腰三角形的腰长为3,底边长为7时,
$\because 3+3=6＜7,\therefore$ 不能组成三角形.
综上所述,这个等腰三角形的周长为 17.
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7,底边长为3时,满足三角形的三边关系,$\therefore$ 这个等腰三角形的周长是 $7+7+3=17$;
当等腰三角形的腰长为3,底边长为7时,
$\because 3+3=6＜7,\therefore$ 不能组成三角形.
综上所述,这个等腰三角形的周长为 17.
10.「2025江苏泰州三模，★☆」如果$2^m ÷ 4^n = 8$，那么$(m+2n)^2 -8mn=$
9
.答案
10.答案 9
解析 $\because 2^{m} ÷ 4^{n}=8,\therefore 2^{m} ÷ 2^{2n}=2^{m-2n}=2^{3},\therefore m-2n=3$,$\therefore (m+2n)^{2}-8mn=m^{2}+4mn+4n^{2}-8mn=m^{2}-4mn+4n^{2}=(m-2n)^{2}=3^{2}=9$.
解析 $\because 2^{m} ÷ 4^{n}=8,\therefore 2^{m} ÷ 2^{2n}=2^{m-2n}=2^{3},\therefore m-2n=3$,$\therefore (m+2n)^{2}-8mn=m^{2}+4mn+4n^{2}-8mn=m^{2}-4mn+4n^{2}=(m-2n)^{2}=3^{2}=9$.
11.「2026河南鹤壁月考，★★」已知$a,b,c$满足$a^2+2b=7$，$b^2-2c=-1$，$c^2-6a=-17$，则$a+2b-3c$的值为
-2
。答案
11.答案 -2
解析 将条件中的三个式子相加,可得 $a^{2}+2b+b^{2}-2c+c^{2}-6a=-11,\therefore a^{2}+2b+b^{2}-2c+c^{2}-6a+11=0$,$\therefore (a^{2}-6a+9)+(b^{2}+2b+1)+(c^{2}-2c+1)=0,\therefore (a-3)^{2}+(b+1)^{2}+(c-1)^{2}=0,\because (a-3)^{2} ≥ 0,(b+1)^{2} ≥ 0$,$(c-1)^{2} ≥ 0,\therefore a=3,b=-1,c=1,\therefore a+2b-3c=3+2 × (-1)-3 × 1=-2$.故答案为-2.
解析 将条件中的三个式子相加,可得 $a^{2}+2b+b^{2}-2c+c^{2}-6a=-11,\therefore a^{2}+2b+b^{2}-2c+c^{2}-6a+11=0$,$\therefore (a^{2}-6a+9)+(b^{2}+2b+1)+(c^{2}-2c+1)=0,\therefore (a-3)^{2}+(b+1)^{2}+(c-1)^{2}=0,\because (a-3)^{2} ≥ 0,(b+1)^{2} ≥ 0$,$(c-1)^{2} ≥ 0,\therefore a=3,b=-1,c=1,\therefore a+2b-3c=3+2 × (-1)-3 × 1=-2$.故答案为-2.
12.聚焦中考过程性学习「2026江西赣州期中，★☆」阅读并完成下列问题：
(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
$x^2 -10x +25 =$
$4x^2 -12x +9 =$
(2)观察以上三个多项式的系数：$(-10)^2 =4×1×25$；$6^2=4×9×1$；$(-12)^2=4×4×9$.于是小聪猜测：若多项式$ax^2 +bx +c(a＞0)$是完全平方式，则实系数$a,b,c$一定存在某种关系，请你用数学式子表示$a,b,c$之间的数量关系：
(3)解决问题：若多项式$x^2 -2(m-1)x +(5-2m)$是一个完全平方式，求$m$的值.
(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：
$x^2 -10x +25 =$
$(x-5)^2$
；$9x^2 +6x +1 =$ $(3x+1)^2$
；$4x^2 -12x +9 =$
$(2x-3)^2$
.(2)观察以上三个多项式的系数：$(-10)^2 =4×1×25$；$6^2=4×9×1$；$(-12)^2=4×4×9$.于是小聪猜测：若多项式$ax^2 +bx +c(a＞0)$是完全平方式，则实系数$a,b,c$一定存在某种关系，请你用数学式子表示$a,b,c$之间的数量关系：
$b^2=4ac$
.(3)解决问题：若多项式$x^2 -2(m-1)x +(5-2m)$是一个完全平方式，求$m$的值.
答案
12.解析 (1)$(x-5)^{2};(3x+1)^{2};(2x-3)^{2}$.
(2)$b^{2}=4ac$.
(3)由条件可知$[-2(m-1)]^{2}=4(5-2m)$,$\therefore 4(m^{2}-2m+1)=4(5-2m)$,$\therefore m^{2}-2m+1=5-2m,\therefore m^{2}=4,\therefore m= \pm 2$.
(2)$b^{2}=4ac$.
(3)由条件可知$[-2(m-1)]^{2}=4(5-2m)$,$\therefore 4(m^{2}-2m+1)=4(5-2m)$,$\therefore m^{2}-2m+1=5-2m,\therefore m^{2}=4,\therefore m= \pm 2$.
