13[2025山西中考]项目学习
项目背景:“源池泉涌”为我省某景区的一个景点,主体设计包括外栏墙与内栏墙,外栏墙高于内栏墙,两栏中间为步道,内栏墙内为泉池,池内泉水清澈见底.从正上方看,外栏墙呈正八边形,内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动,形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 方案说明：图(1)为该景点俯视图的示意图,点A,D是正八边形中一组平行边的中点,BC为圆的直径,图中点A,B,C,D在同一条直线上.图(2)为测量方案示意图,直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E,F,外栏墙AE与DF均与水平地面垂直,且$AE=DF$.$BE,CF$均表示步道的宽,$BE=CF$.图中各点都在同一竖直平面内

数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为$∠ DAB=37°$,$∠ DAC=8.5°$,$AD=26$米.图中墙的厚度均忽略不计
计算 $\dots$
交流展示 $\dots$
请根据上述数据,计算内栏墙围成泉池的直径$BC$的长(结果精确到1米.参考数据:$\sin 8.5°\approx0.15$,$\cos 8.5°\approx0.99$,$\tan 8.5°\approx0.15$,$\sin 37°\approx0.60$,$\cos 37°\approx0.80$,$\tan 37°\approx0.75$).

13.【解】
∵AD=26,
∴$CF=BE=\frac{AD-BC}{2}=\frac{26-BC}{2}$.
∵∠DAB=37°,∠DAC=8.5°,AD//EF,
∴∠ABE=37°,∠ACB=8.5°.
在Rt△ABE中,$AE=BE · \tan 37°≈\frac{26-BC}{2}×0.75$,
在Rt△ACE中,$AE=CE · \tan 8.5°≈(BC+\frac{26-BC}{2})×0.15$,
∴$\frac{26-BC}{2}×0.75=(BC+\frac{26-BC}{2})×0.15$,
∴$BC≈17$,
∴内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17 m.

【分析】
要计算内栏墙围成泉池的直径BC，首先根据A、B、C、D共线及BE=CF的条件，将BE用BC表示；再利用俯角的定义，在两个直角三角形中通过公共边AE的两种三角函数表达式建立等量关系，进而求解BC的长度。
【解析】
解：
∵点A、B、C、D在同一直线上，AD=26米，且BE=CF，AE=DF，
∴AB=CD，因此AD=AB+BC+CD=2AB+BC，即AB=(AD-BC)/2=(26-BC)/2，故BE=AB=(26-BC)/2。
由俯角定义可知，在Rt△ABE中，∠ABE=∠DAB=37°，
∴tan∠DAB = AE/BE，即AE = BE·tan37°≈(26-BC)/2 × 0.75。
在Rt△ACE中，∠ACE=∠DAC=8.5°，CE=BC + BE=BC + (26-BC)/2=(BC+26)/2，
∴tan∠DAC = AE/CE，即AE = CE·tan8.5°≈(BC+26)/2 × 0.15。
∵AE为公共边，
∴(26-BC)/2 × 0.75 = (BC+26)/2 × 0.15，
两边同乘2得：0.75(26 - BC) = 0.15(BC + 26)，
展开得：19.5 - 0.75BC = 0.15BC + 3.9，
移项合并得：15.6 = 0.9BC，
解得BC≈17（米）。
【答案】
17米
【知识点】
解直角三角形，三角函数应用，俯角
【点评】
本题是利用解直角三角形解决实际测量问题的典型题，核心是找到公共边AE建立等量关系，将实际问题转化为数学方程求解，考查学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，体现了数学建模思想。
【难度系数】
0.6