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15. (14分)如图,点$A(0,4)$,$C(-2,0)$在直线$l:y=kx+b$上,直线$l$和函数$y=-4x+a$的图象交于点$B$.
(1) 求直线$l$对应的函数表达式;
(2) 若点$B$的横坐标是1,求关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-4x+a \end{cases}$的解及$a$的值;
(3) 在(2)的条件下,若点$A$关于$x$轴的对称点为$P$,连结$PB$,$PC$,求$△ PBC$的面积.
(1) 求直线$l$对应的函数表达式;
(2) 若点$B$的横坐标是1,求关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-4x+a \end{cases}$的解及$a$的值;
(3) 在(2)的条件下,若点$A$关于$x$轴的对称点为$P$,连结$PB$,$PC$,求$△ PBC$的面积.
答案
15. (1) 因为点$A(0,4)$,$C(-2,0)$在直线$l$上,所以$\begin{cases}b=4, \\-2k+b=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2, \\b=4.\end{cases}$ 所以直线$l$对应的函数表达式为$y=2x+4$
(2) 因为点$B$在直线$l$上,所以当$x=1$时,$y=2+4=6$. 所以点$B$的坐标为$(1,6)$. 所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-4x+a \end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1, \\y=6.\end{cases}$ 根据题意,把$\begin{cases}x=1, \\y=6\end{cases}$代入$y=-4x+a$,得$6=-4+a$,解得$a=10$
(3) 图略. 因为点$A$与点$P$关于$x$轴对称,所以$P(0,-4)$. 所以$AP=4-(-4)=8$. 所以$S_{△PBC}=S_{△PAB}+S_{△PAC}=\frac{1}{2}×8×1+\frac{1}{2}×8×|-2|=4+8=12$
(2) 因为点$B$在直线$l$上,所以当$x=1$时,$y=2+4=6$. 所以点$B$的坐标为$(1,6)$. 所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=kx+b, \\ y=-4x+a \end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1, \\y=6.\end{cases}$ 根据题意,把$\begin{cases}x=1, \\y=6\end{cases}$代入$y=-4x+a$,得$6=-4+a$,解得$a=10$
(3) 图略. 因为点$A$与点$P$关于$x$轴对称,所以$P(0,-4)$. 所以$AP=4-(-4)=8$. 所以$S_{△PBC}=S_{△PAB}+S_{△PAC}=\frac{1}{2}×8×1+\frac{1}{2}×8×|-2|=4+8=12$
16. (16分)综合与实践:数学模型是数学应用的基本途径. 通过探究图形的变化规律,再结合其他数学知识的内在联系,最终可以获得宝贵的数学经验,并将其运用到更广阔的数学天地.
(1) 如图①,在$△ ABC$和$△ AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,$∠ BAC=∠ EAF=30°$,连结$BE$,$CF$,延长$BE$交$CF$于点$D$,则$BE$与$CF$之间的数量关系为
(2) 如图②,在$△ ABC$和$△ AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,$∠ BAC=∠ EAF=120°$,连结$BE$,$CF$,延长$BE$,$FC$交于点$D$. 请猜想$BE$与$CF$之间的数量关系及$∠ BDC$的度数,并说明理由.
(1) 如图①,在$△ ABC$和$△ AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,$∠ BAC=∠ EAF=30°$,连结$BE$,$CF$,延长$BE$交$CF$于点$D$,则$BE$与$CF$之间的数量关系为
$BE=CF$
, $∠ BDC=$30
°.(2) 如图②,在$△ ABC$和$△ AEF$中,$AB=AC$,$AE=AF$,$∠ BAC=∠ EAF=120°$,连结$BE$,$CF$,延长$BE$,$FC$交于点$D$. 请猜想$BE$与$CF$之间的数量关系及$∠ BDC$的度数,并说明理由.
答案
16. (1) $BE=CF$ 30
(2) $BE=CF$,$∠ BDC=60°$
理由: 因为$∠ BAC=∠ EAF=120°$,所以$∠ BAC-∠ EAC=∠ EAF-∠ EAC$,即$∠ BAE=∠ CAF$. 在$△ ABE$和$△ ACF$中,$\begin{cases}AB=AC, \\∠ BAE=∠ CAF, \\AE=AF,\end{cases}$所以$△ ABE≌△ ACF$(SAS). 所以$BE=CF$,$∠ AEB=∠ AFC$. 因为$∠ EAF=120°$,$AE=AF$,所以$∠ AEF=∠ AFE=30°$. 所以$∠ BDC=∠ BEF-∠ EFD=∠ AEB+30°-(∠ AFC-30°)=60°$.
(2) $BE=CF$,$∠ BDC=60°$
理由: 因为$∠ BAC=∠ EAF=120°$,所以$∠ BAC-∠ EAC=∠ EAF-∠ EAC$,即$∠ BAE=∠ CAF$. 在$△ ABE$和$△ ACF$中,$\begin{cases}AB=AC, \\∠ BAE=∠ CAF, \\AE=AF,\end{cases}$所以$△ ABE≌△ ACF$(SAS). 所以$BE=CF$,$∠ AEB=∠ AFC$. 因为$∠ EAF=120°$,$AE=AF$,所以$∠ AEF=∠ AFE=30°$. 所以$∠ BDC=∠ BEF-∠ EFD=∠ AEB+30°-(∠ AFC-30°)=60°$.
