[背景引入]
生活中,你一定发现过许多雅致和谐的画面.芭蕾舞演员踮起脚尖翩翩起舞时,身段优雅;古希腊帕特农神庙、上海的东方明珠等著名建筑轮廓比例庄重匀称;卢浮宫三宝之一的《蒙娜丽莎》,其人物面部比例自然流畅. 这是因为符合黄金分割比例的画面很容易使人产生视觉上的美感.
[观察感知]
将如图(1)的一条线段 AB 分割成两条线段 AP,PB,若短线段 PB 与长线段 AP 的长度之比等于长线段 AP 的长度与全长 AB 之比,即$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,则我们称这种分割为黄金分割,这个比值称为黄金比,P 叫作线段 AB 的黄金分割点.
[类比迁移]
如图(2)所示的五角星中,$AD=BC$,且 C,D 两点都是 AB 的黄金分割点,若$CD=1$,则 AB 的长是.
[实践应用]
在一次趣味运动会中,某数学项目小组利用黄金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$设计了一个掷飞镖的游戏.如图(3),在$△ ABC$“靶”中,点 M,N 分别是线段 BC 的两个黄金分割点,我们把$△ AMN$的内部称为“黄金区域”(图中阴影部分).游戏规定:投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜.假设投掷的飞镖都能落在“靶”内,现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖,求小明获胜的概率.
[拓展探究]
我们把宽与长的比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1$的矩形叫黄金矩形,按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目,它给我们协调、匀称的美感! 如图(4),是小明为自家设计的子母窗户结构示意图,在一个黄金矩形 ABCD 里分割出一个正方形 AMND,那么右边窗户 BCNM 还是黄金矩形吗? 如果是,请证明你的结论;如果不是,请说明理由.

[类比迁移] $2+\sqrt{5}$
解析：
∵C,D 两点都是 AB 的黄金分割点,$CD=1$,
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$,
∴$AC+BD=(\sqrt{5}-1)AB$,即$AB+CD=(\sqrt{5}-1)AB$,
∴$AB=\sqrt{5}+2$.
[实践应用]
∵M,N 分别是线段 BC 的两个黄金分割点,
∴$BN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC$,$CM=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC$,
∴$MN=BN+CM-BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC+\frac{\sqrt{5}-1}{2}BC-BC=(\sqrt{5}-2)BC$,
∴$\frac{MN}{BC}=\sqrt{5}-2$,
∴小明获胜的概率$=\frac{S_{△ AMN}}{S_{△ ABC}}=\frac{MN}{BC}=\sqrt{5}-2$.
[拓展探究]
右边窗户 BCNM 是黄金矩形.证明如下:
∵矩形 ABCD 是黄金矩形,
∴设$AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$,$AB=x$.
∵四边形 AMND 是正方形,
∴$AD=AM=MN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$,
$MB=AB-AM=x-\frac{\sqrt{5}-1}{2}x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$,
∴$\frac{MB}{MN}=\frac{\frac{3-\sqrt{5}}{2}x}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}x}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴$MB:MN=\frac{\sqrt{5}-1}{2}:1$,
∴矩形 BCNM 是黄金矩形.