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【例1】若关于$x$的方程$2x^2 + mx -4=0$的一个根为1，则另一个根为
【规律方法】
已知一元二次方程的一个根，利用根
与系数的关系求另一个根的方法
(1)当方程的二次项系数、一次项系数已知，常数项未知时，利用两根的和求另一个根；
(2)当方程的二次项系数、常数项已知，一次项系数未知时，利用两根的积求另一个根。
-2
。【规律方法】
已知一元二次方程的一个根，利用根
与系数的关系求另一个根的方法
(1)当方程的二次项系数、一次项系数已知，常数项未知时，利用两根的和求另一个根；
(2)当方程的二次项系数、常数项已知，一次项系数未知时，利用两根的积求另一个根。
答案
-2
变式训练
1.已知 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x - m = 0 $ 的两个实数根，其中 $ x_1 = 1 $，则 $ x_2 = $
1.已知 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x - m = 0 $ 的两个实数根，其中 $ x_1 = 1 $，则 $ x_2 = $
-3
。答案
1. -3
【例2】已知一元二次方程$x^2+3x-1=0$的两根分别是$x_1,x_2$,请利用根与系数的关系求下列各式的值:
(1)$x_1^2 + x_2^2$;
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
解:
【规律方法】
求由一元二次方程的两根组成的代数式的值时,关键是把待求值的代数式进行恒等变形,将代数式中含有两根的部分都转化为两根的和或两根的积的形式,然后整体代入求值.
(1)$x_1^2 + x_2^2$;
(2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
解:
【规律方法】
求由一元二次方程的两根组成的代数式的值时,关键是把待求值的代数式进行恒等变形,将代数式中含有两根的部分都转化为两根的和或两根的积的形式,然后整体代入求值.
答案
(1) 11.
(2) 3.
(2) 3.
变式训练
2.已知方程$5x^2 - 10x + 2 = 0$有两个实数根$x_1,x_2$.
（1）填空：$x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$；$x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_$.
（2）求$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2$的值.
（3）求$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2}$的值.
2.已知方程$5x^2 - 10x + 2 = 0$有两个实数根$x_1,x_2$.
（1）填空：$x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$；$x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_$.
（2）求$x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2$的值.
（3）求$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2}$的值.
答案
(1) $2$，$\dfrac{2}{5}$ (2) $\dfrac{18}{5}$ (3) $8$
【例3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k+1)x + k^2 -3=0$。
(1)若该方程有两个实数根，求$k$的取值范围。
(2)若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=11$，求$k$的值。
解：
【规律方法】
利用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系求字母的值或取值范围时，关键是列出不等式或方程，解不等式或方程即可求出字母的取值范围或值。这里要注意求出的字母的取值范围或值是满足$\Delta≥0$，还是满足$\Delta＞0$，应根据题意判断。
(1)若该方程有两个实数根，求$k$的取值范围。
(2)若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=11$，求$k$的值。
解：
【规律方法】
利用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系求字母的值或取值范围时，关键是列出不等式或方程，解不等式或方程即可求出字母的取值范围或值。这里要注意求出的字母的取值范围或值是满足$\Delta≥0$，还是满足$\Delta＞0$，应根据题意判断。
答案
(1) $k≥ -2$ (2) $k$的值为$5$
