3. 2025年初,中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球,于是某书店开始销售《哪吒2》绘本。已知现在每套售价定为30元时,平均每天可售出60套;根据以往同类绘本销售规律:在每套涨价小于10元时,如果每套书每涨价1元,那么少售出4套/天;在每套降价小于10元时,如果每套书每降价1元,那么多售出1套/天。
(1)若该书店计划每套书涨价5元,根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少;
(2)能否通过每套书降价$ x $元($ x $为整数,$ 0＜x＜10 $),根据以往同类绘本销售规律估计,使每天获得的总销售额刚好与题(1)中的总销售额相等?若能,求出$ x $的值;若不能,请说明理由;
(3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案:
书店方案一:每套书涨价$ m $元($ m $为整数,$ 0＜m＜10 $);
书店方案二:每套书降价$ n $元($ n $为整数,$ 0＜n＜10 $)。
是否存在这样的$ m,n $数值,使得两种方案总销售额相等?若存在,求$ m:n $的比值;若不存在,请说明理由。

(1)由题意得,$(30+5)(60-4×5)=1400$,所以书店每套书涨价5元,估计每天获得总销售额是1400元；
(2)不能,由题意可得,$(30-x)(60+x)=1400$,解得$x_1=-40$或$x_2=10$,因为$x$为整数且$0＜x＜10$,所以都不满足题意,都舍去,所以每套书降价$x$元($x$为整数,$0＜x＜10$)时,每天获得的销售额不能与题(1)中的总额相等；
(3)存在,由题意可得,$(30+m)(60-4m)=(30-n)(60+n)$,整理得,$(2m-n)(30+2m+n)=0$,解得$m:n=\frac{1}{2}$,使两种方案的销售额相等,此时$0＜m＜5,0＜n＜10$。

【分析】
本题是结合销售场景的一元二次方程应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先计算涨价后的售价，再根据“每涨价1元少售4套”算出对应销量，最后用“销售额=售价×销量”计算总销售额；
2. 第(2)问：设降价x元，分别表示降价后的售价和销量，根据“总销售额等于第(1)问的数值”列一元二次方程，求解后判断x是否满足0＜x＜10且为整数，不满足则说明不能；
3. 第(3)问：分别写出涨价m元、降价n元的总销售额表达式，令两者相等，整理方程后因式分解，结合m、n为正整数的条件，求出m与n的关系，进而得到比值。
【解析】
(1) 每套涨价5元后，售价为 $30 + 5 = 35$ 元；
销量为 $60 - 4×5 = 40$ 套；
总销售额为 $35×40 = 1400$ 元。
(2) 设每套降价 $x$ 元（$0 ＜ x ＜ 10$，$x$ 为整数），则售价为 $30 - x$ 元，销量为 $60 + x$ 套；
根据总销售额相等列方程：
$(30 - x)(60 + x) = 1400$
展开整理得：$x² + 30x - 400 = 0$
解方程得：$x_1 = 10$，$x_2 = -40$；
因 $0 ＜ x ＜ 10$，两个根均不满足条件，故不能使总销售额与(1)中相等。
(3) 方案一（涨价 $m$ 元，$0 ＜ m ＜ 10$，$m$ 为整数）的总销售额：
$S_1 = (30 + m)(60 - 4m)$
方案二（降价 $n$ 元，$0 ＜ n ＜ 10$，$n$ 为整数）的总销售额：
$S_2 = (30 - n)(60 + n)$
令 $S_1 = S_2$，展开并整理得：
$(2m - n)(2m + n + 30) = 0$
因 $m＞0$、$n＞0$，故 $2m + n + 30 ≠ 0$，得 $2m - n = 0$，即 $n = 2m$；
此时 $m:n = 1:2$，且满足 $0 ＜ m ＜5$、$0 ＜n ＜10$，符合条件。
【答案】
(1) 1400元；
(2) 不能；
(3) 存在，$m:n = 1:2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，整式的乘法
【点评】
本题结合实际销售场景，考查一元二次方程的建立与求解，核心是理解涨价、降价时销量的变化规律；第三问的因式分解是难点，需熟练掌握整式变形技巧，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5