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2.【问题情境】如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6。点 F 是射线 BC 上的一点,将矩形 ABCD 沿直线 AF 折叠,点 B 的对应点为点 E。
【猜想证明】
(1)当点 E 落在边 AD 上时,四边形 ABFE 的形状为
(2)当 AE 平分∠BAD 时,连结 DE,求 $S_{△ ADE}$。
【能力提升】
(3)在【问题情境】的条件下,是否存在点 F,使点 F,E,D 三点共线。若存在,请直接写出 BF 的长;若不存在,请说明理由。
【猜想证明】
(1)当点 E 落在边 AD 上时,四边形 ABFE 的形状为
正方形
;(2)当 AE 平分∠BAD 时,连结 DE,求 $S_{△ ADE}$。
【能力提升】
(3)在【问题情境】的条件下,是否存在点 F,使点 F,E,D 三点共线。若存在,请直接写出 BF 的长;若不存在,请说明理由。
答案
(1)正方形 解析:如图1,因为四边形 ABCD 是矩形,所以$AD// BC,∠ B=∠ BAD=90°$,所以此时$AE// BF$。由翻折的性质可知:$∠ 1=∠ 2,AB=AE$。因为$AE// BF$,所以$∠ 2=∠ 3$,即$∠ 1=∠ 3$,所以$AB=BF$,所以$AE=BF$,所以四边形ABFE 是平行四边形。因为$AB=AE$,所以四边形 ABFE 是菱形。因为$∠ B=90°$,所以四边形 ABFE 是正方形；
(2)过点 E 作$EG⊥ AD$于点 G,如图 2,则$∠ AGE=90°$。因为$∠ BAD=90°$,AE 平分$∠ BAD$,所以$∠ EAG=45°$,所以$∠ AEG=45°$,所以$∠ EAG=∠ AEG$,所以$GA=GE$。设$GA=GE=x$。由翻折的性质可知:$AE=AB=4$。在$\mathrm{Rt}△ AEG$中,由勾股定理,得$x^2+x^2=4^2$,解得$x=2\sqrt{2}$(负值已舍去),即$GE=2\sqrt{2}$,所以$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× AD× GE=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$；
(3)存在点 F,使点 F,E,D 三点共线,理由如下:①点 F 在线段 BC 上,当 F,E,D 三点共线时,如图 3,由翻折的性质可知:$∠ AFB=∠ AFE$。因为$AD// BC$,$∠ AFB=∠ DAF$,所以$∠ DAF=∠ AFE$,所以$DA=DF=6$。因为四边形 ABCD 是矩形,所以$CD=AB=4$,$∠ C=90°$,$AD=BC=6$,所以在$\mathrm{Rt}△ DCF$中,由勾股定理得$CF=2\sqrt{5}$,所以$BF=6-2\sqrt{5}$;②点 F 在线段 BC 延长线上,当 F,E,D 三点共线时,如图 4,同理可得$CF=2\sqrt{5}$,所以$BF=6+2\sqrt{5}$。综上所述,$BF=6+2\sqrt{5}$或$BF=6-2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题是矩形折叠的综合问题，核心利用折叠的性质（对应边、对应角相等）和矩形的性质（对边平行且相等，四个角为直角）解题。第(1)问通过矩形对边平行推导角的关系，结合折叠性质判断四边形形状；第(2)问利用角平分线构造等腰直角三角形，用勾股定理求高后计算面积；第(3)问需分点F在线段BC上和BC延长线上两种情况，结合平行线性质和勾股定理求解BF的长度。
【解析】
(1) 如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=∠BAD=90°，
∴AE//BF。由折叠性质得：∠1=∠2，AB=AE。
∵AE//BF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB=BF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形。又
∵AB=AE，∠B=90°，
∴四边形ABFE是正方形。
(2) 如图2，过点E作EG⊥AD于点G，则∠AGE=90°。
∵∠BAD=90°，AE平分∠BAD，
∴∠EAG=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴GA=GE。设GA=GE=x，由折叠性质得AE=AB=4，在Rt△AEG中，由勾股定理得：$x^2+x^2=4^2$，解得$x=2\sqrt{2}$（负值舍去），即$GE=2\sqrt{2}$。
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}×AD×GE=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。
(3) 存在，分两种情况：
① 当点F在线段BC上时，如图3，由折叠性质得∠AFB=∠AFE。
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠DAF=∠AFE，
∴DA=DF=6。
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，∠C=90°，在Rt△DCF中，$CF=\sqrt{DF^2-CD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$，
∴$BF=BC-CF=6-2\sqrt{5}$；
② 当点F在线段BC的延长线上时，如图4，同理得∠DAF=∠AFE，
∴DA=DF=6，在Rt△DCF中，$CF=2\sqrt{5}$，
∴$BF=BC+CF=6+2\sqrt{5}$。
综上，BF的长为$6+2\sqrt{5}$或$6-2\sqrt{5}$。
【答案】(1)正方形；(2)$6\sqrt{2}$；(3)$6+2\sqrt{5}$或$6-2\sqrt{5}$
【知识点】矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】本题以矩形折叠为载体，综合考查特殊四边形判定、等腰三角形性质、勾股定理应用，需运用分类讨论思想，是一道综合性较强的几何题，能有效考查学生的逻辑推理与计算能力。
【难度系数】0.4
本题是矩形折叠的综合问题，核心利用折叠的性质（对应边、对应角相等）和矩形的性质（对边平行且相等，四个角为直角）解题。第(1)问通过矩形对边平行推导角的关系，结合折叠性质判断四边形形状；第(2)问利用角平分线构造等腰直角三角形，用勾股定理求高后计算面积；第(3)问需分点F在线段BC上和BC延长线上两种情况，结合平行线性质和勾股定理求解BF的长度。
【解析】
(1) 如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=∠BAD=90°，
∴AE//BF。由折叠性质得：∠1=∠2，AB=AE。
∵AE//BF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB=BF，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形。又
∵AB=AE，∠B=90°，
∴四边形ABFE是正方形。
(2) 如图2，过点E作EG⊥AD于点G，则∠AGE=90°。
∵∠BAD=90°，AE平分∠BAD，
∴∠EAG=45°，
∴△AEG是等腰直角三角形，
∴GA=GE。设GA=GE=x，由折叠性质得AE=AB=4，在Rt△AEG中，由勾股定理得：$x^2+x^2=4^2$，解得$x=2\sqrt{2}$（负值舍去），即$GE=2\sqrt{2}$。
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}×AD×GE=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。
(3) 存在，分两种情况：
① 当点F在线段BC上时，如图3，由折叠性质得∠AFB=∠AFE。
∵AD//BC，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠DAF=∠AFE，
∴DA=DF=6。
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，∠C=90°，在Rt△DCF中，$CF=\sqrt{DF^2-CD^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$，
∴$BF=BC-CF=6-2\sqrt{5}$；
② 当点F在线段BC的延长线上时，如图4，同理得∠DAF=∠AFE，
∴DA=DF=6，在Rt△DCF中，$CF=2\sqrt{5}$，
∴$BF=BC+CF=6+2\sqrt{5}$。
综上，BF的长为$6+2\sqrt{5}$或$6-2\sqrt{5}$。
【答案】(1)正方形；(2)$6\sqrt{2}$；(3)$6+2\sqrt{5}$或$6-2\sqrt{5}$
【知识点】矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】本题以矩形折叠为载体，综合考查特殊四边形判定、等腰三角形性质、勾股定理应用，需运用分类讨论思想，是一道综合性较强的几何题，能有效考查学生的逻辑推理与计算能力。
【难度系数】0.4
