与直角三角形三条边长对应的3个正整数$(a,b,c)$，称为勾股数.《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”的“3,4,5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的正整数倍，如:$(6,8,10),(9,12,15),(12,16,20)$等都是勾股数.当然，勾股数远远不止这些，如:$(5,12,13),(8,15,17)$等也都是勾股数.怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数$(a,b,c)$才能满足关系式$a^2 + b^2 = c^2$？设$(a,b,c)$为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1
| $a$ | $b$ | $c$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | | 13 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
表2
| $a$ | $b$ | $c$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 6 | 8 | 10 |
| 8 | | 17 |
| 10 | 24 | 26 |
| 12 | 35 | 37 |
(1) 根据表1的规律写出勾股数:$(11,$$, $$)$,观察可得:表1中$b$、$c$与$a^2$之间的关系是；
(2) 根据表2的规律写出勾股数:$(16,$$, $$)$,观察可得:表2中$b$、$c$与$a^2$之间的关系是；
(3) 老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗(请用勾股定理的形式直接写出一种结果即可，例如:$3^2 + 4^2 =5^2$)?

(1) 60 61 $a^2 = b + c$
解析: 由题表1,得 $3^2=4+5$,5=4+1;$5^2=12+13$,13=12+1……所以 $a^2 = b + c$ 且$c=b+1$,即 $a^2=2b+1$. 将 $a=11$ 代入 $a^2=2b+1$ 中,得$11^2=2b+1$,解得 $b=60$. 则 $c=61$.
(2) 63 65 $\frac{1}{2}a^2 = b + c$
解析: 由题表2,得 $\frac{1}{2}×6^2=8+10,10=8+2$;$\frac{1}{2}×8^2=15+17,17=15+2$……所以 $\frac{1}{2}a^2 = b + c$ 且$c=b+2$,即 $\frac{1}{2}a^2=2b+2$. 将 $a=16$ 代入 $\frac{1}{2}a^2=2b+2$ 中,得 $\frac{1}{2}×16^2=2b+2$,解得 $b=63$. 则$c=65$.
(3) 答案不唯一,如:$17^2 + 144^2 =145^2$.