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8.（2025·江苏镇江二模）如图，$△ DAB$和$△ CAB$都是等腰三角形，$CA=CB$，$DA=DB$，$AB$为公共底边，$∠ CBD=∠ PBD$，且$PB=CB$，$∠ ABC=∠ BAC=75°$，则$∠ P + ∠ ACB$的度数为
45°
。答案
8. 45° 解析:连接CD. 因为∠ABC=∠BAC=75°,所以∠ACB=180°−∠ABC−∠BAC=30°. 又CA=CB,DA=DB,CD=CD,所以△CAD≌△CBD(SSS). 所以∠ACD=∠BCD. 所以∠BCD=1/2∠ACB=15°. 又PB=CB,∠PBD=∠CBD,BD=BD,所以△BPD≌△BCD(SAS). 所以∠P=∠BCD=15°. 所以∠P+∠ACB=45°.
9. 如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形ABCDE的面积为
4
。答案
9. 4 解析:延长DE至点F,使EF=BC,连接AC,AD,AF. 因为∠AED=90°,所以∠AEF=180°−∠AED=90°. 又∠ABC=90°,所以∠AEF=∠ABC. 又AE=AB,所以△AEF≌△ABC(SAS). 所以AF=AC,S△AEF=S△ABC. 又CD=AE=BC+DE=2,所以EF+DE=CD,即FD=CD=2. 又AD=AD,所以△ACD≌△AFD(SSS). 所以S△ACD=S△AFD. 所以S五边形ABCDE=S△ABC+S四边形ACDE=S△AEF+S四边形ACDE=S四边形ACDF=2S△AFD. 又S△AFD=1/2FD·AE=2,所以S五边形ABCDE=4.
10. 已知$AB=AC$，$AD=AE$，$BD=CE$，且$B$，$D$，$E$三点在一条直线上.
（1）如图①，点$B$在线段$DE$上. 求证：$∠ DAE=∠ BAC$；
（2）如图②，点$B$在$ED$的延长线上，请直接写出$∠ ADE$与$∠ AEC$之间的数量关系；
（3）若点$B$在线段$DE$的延长线上（$A$，$D$，$E$三点按逆时针方向排列），则$∠ ADE$与$∠ AEC$之间的数量关系为
（1）如图①，点$B$在线段$DE$上. 求证：$∠ DAE=∠ BAC$；
（2）如图②，点$B$在$ED$的延长线上，请直接写出$∠ ADE$与$∠ AEC$之间的数量关系；
（3）若点$B$在线段$DE$的延长线上（$A$，$D$，$E$三点按逆时针方向排列），则$∠ ADE$与$∠ AEC$之间的数量关系为
∠ADE=∠AEC
.答案
10. (1) 因为AB=AC,AD=AE,BD=CE,所以△ADB≌△AEC(SSS). 所以∠DAB=∠EAC. 所以∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE,即∠DAE=∠BAC.
(2) ∠ADE+∠AEC=180°. 解析:同(1),得△ADB≌△AEC(SSS),所以∠ADB=∠AEC. 因为∠ADB+∠ADE=180°,所以∠AEC+∠ADE=180°.
(3) ∠ADE=∠AEC 解析:因为AB=AC,AD=AE,BD=CE,所以△ADB≌△AEC(SSS). 所以∠ADB=∠AEC,即∠ADE=∠AEC.
(2) ∠ADE+∠AEC=180°. 解析:同(1),得△ADB≌△AEC(SSS),所以∠ADB=∠AEC. 因为∠ADB+∠ADE=180°,所以∠AEC+∠ADE=180°.
(3) ∠ADE=∠AEC 解析:因为AB=AC,AD=AE,BD=CE,所以△ADB≌△AEC(SSS). 所以∠ADB=∠AEC,即∠ADE=∠AEC.
11. 新素养 几何直观 已知在$△ ABC$中，$AB=BC≠AC$，作与$△ ABC$只有一条公共边，且与$△ ABC$全等的三角形，则能作出这样的三角形一共有（
A.3个
B.5个
C.7个
D.9个
C
）A.3个
B.5个
C.7个
D.9个
答案
11. C 解析:如图,作出的三角形一共有7个.
12. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC=12,AB=CD,BD=15.点E从点D出发,以每秒4个单位长度的速度沿D→A→D匀速运动;点F从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿CB方向向点B匀速运动;点G从点B出发,沿BD方向向点D匀速运动.三个点同时出发,当点E到达终点时,其余两点也随之停止运动,设运动时间为t s.
(1) 求证:AD//BC;
(2) 在运动过程中,小明发现△DEG和△BFG有全等的情况出现.请你探究这样的情况,并求全等出现时t的值和对应的BG长.
类题精讲
(1) 求证:AD//BC;
(2) 在运动过程中,小明发现△DEG和△BFG有全等的情况出现.请你探究这样的情况,并求全等出现时t的值和对应的BG长.
类题精讲
答案
12. (1) 因为AD=CB,AB=CD,BD=DB,所以△ABD≌△CDB(SSS). 所以∠ADB=∠CBD. 所以AD//BC.
(2) 由(1),得AD//BC,所以∠EDG=∠FBG. 情况1:当点E沿D→A(0≤t≤3)运动时,DE=4t,CF=t. 又AD=BC=12,所以BF=12−t. ① 若△DEG≌△BFG,则DE=BF,DG=BG. 所以4t=12−t,解得t=2.4. 又BD=15,所以此时BG=1/2BD=7.5;② 若△DEG≌△BGF,则DE=BG,DG=BF. 所以DE+BF=BG+DG=BD,即4t+12−t=15,解得t=1.此时BG=DE=4×1=4;情况2:当点E沿A→D(3＜t≤6)运动时,DE=12×2−4t=24−4t,CF=t,则BF=12−t. ① 若△DEG≌△BFG,则DE=BF,DG=BG. 所以24−4t=12−t,解得t=4.此时BG=1/2BD=7.5;② 若△DEG≌△BGF,则DE=BG,DG=BF. 所以DE+BF=BD,即24−4t+12−t=15,解得t=4.2.此时BG=DE=24−4×4.2=7.2.综上,△DEG和△BFG全等时的情况如下:当t=2.4,BG=7.5或t=4,BG=7.5时,△DEG≌△BFG;当t=1,BG=4或t=4.2,BG=7.2时,△DEG≌△BGF.
(2) 由(1),得AD//BC,所以∠EDG=∠FBG. 情况1:当点E沿D→A(0≤t≤3)运动时,DE=4t,CF=t. 又AD=BC=12,所以BF=12−t. ① 若△DEG≌△BFG,则DE=BF,DG=BG. 所以4t=12−t,解得t=2.4. 又BD=15,所以此时BG=1/2BD=7.5;② 若△DEG≌△BGF,则DE=BG,DG=BF. 所以DE+BF=BG+DG=BD,即4t+12−t=15,解得t=1.此时BG=DE=4×1=4;情况2:当点E沿A→D(3＜t≤6)运动时,DE=12×2−4t=24−4t,CF=t,则BF=12−t. ① 若△DEG≌△BFG,则DE=BF,DG=BG. 所以24−4t=12−t,解得t=4.此时BG=1/2BD=7.5;② 若△DEG≌△BGF,则DE=BG,DG=BF. 所以DE+BF=BD,即24−4t+12−t=15,解得t=4.2.此时BG=DE=24−4×4.2=7.2.综上,△DEG和△BFG全等时的情况如下:当t=2.4,BG=7.5或t=4,BG=7.5时,△DEG≌△BFG;当t=1,BG=4或t=4.2,BG=7.2时,△DEG≌△BGF.
