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【典例1】求证：$∠ BDC=∠ B+∠ C+∠ A$. 
答案
方法1:延长BD交AC于E
二次运用外角定理
方法2:连接BC
二次运用内角和
方法3:连接AD并延长至E
二次运用外角定理
变式1.如图1，$∠ A=52°$，$∠ B=25°$，$∠ C=30°$，$∠ D=35°$，$∠ E=72°$，那么$∠ F$的度数是
70°
。答案
70°
变式2.如图，若$∠ AED=100°$，$∠ BFC=110°$，则$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=$
210°
。答案
210°
变式3.如图3是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CDF=20°，∠CEF=30°，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=135°，且∠CAB，∠CBA，∠E保持不变，则∠D应调整为(
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
C
)A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
答案
C
提示:$∠ DFE=∠ D+∠ E+∠ DCE,135°=∠ D+30°+70°,$
$∠ D=35°.$
提示:$∠ DFE=∠ D+∠ E+∠ DCE,135°=∠ D+30°+70°,$
$∠ D=35°.$
【典例2】如图，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，∠A＝80°，∠D＝160°.求∠P的度数. 
答案
解:延长BP交AC于E点，
设$∠ ABP=x,∠ ACP=y,$
则$∠ P=x+y+80°,$
$∠ D=x+y+∠ P=160°,$
$\therefore 2x+2y+80°=160°,\therefore x+y=40°,$
$\therefore ∠ P=40°+80°=120°.$
变式.如图，$∠ ABP=2∠ DBP$，$∠ ACP=2∠ PCD$.
(1)$∠ P=120°$，$∠ D=160°$，求$∠ A$的度数；
(2)直接写出$∠ A$，$∠ P$，$∠ D$间的数量关系
(1)$∠ P=120°$，$∠ D=160°$，求$∠ A$的度数；
(2)直接写出$∠ A$，$∠ P$，$∠ D$间的数量关系
2∠D=3∠P−∠A
.答案
解:(1)设$∠ PBD=α,∠ PCD=β,$
$\therefore α+β=40°,\therefore 2α+2β=80°,$
$120°=80°+∠ A,\therefore ∠ A=40°.$
(2)设$∠ PBD=x,∠ PCD=y,$
$\therefore \begin{cases}∠ D=∠ P+x+y,\\∠ D=∠ A+3x+3y,\end{cases}$
$\therefore 2∠ D=3∠ P-∠ A.$
$\therefore α+β=40°,\therefore 2α+2β=80°,$
$120°=80°+∠ A,\therefore ∠ A=40°.$
(2)设$∠ PBD=x,∠ PCD=y,$
$\therefore \begin{cases}∠ D=∠ P+x+y,\\∠ D=∠ A+3x+3y,\end{cases}$
$\therefore 2∠ D=3∠ P-∠ A.$
