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9.「2026江苏无锡宜兴期末，★☆」如图，已知$∠ AOB = 130°$，$OC$是$∠ AOB$内的一条线段，且$OC ⊥ OB$，过点$C$作$CM // OA$，交$OB$于点$M$。
(1)求$∠ MCO$的度数。
(2)过点$O$作射线$OD$，若$∠ AOD = 45°$，求$∠ COD$的度数。
(1)求$∠ MCO$的度数。
(2)过点$O$作射线$OD$，若$∠ AOD = 45°$，求$∠ COD$的度数。
答案
9.解析 (1)因为OC⊥OB,所以∠BOC=90°,
因为∠AOB=130°,
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=40°,
因为CM//OA,所以∠MCO=∠AOC=40°.
(2)当OD在∠AOB内部时,如图1,
因为∠AOD=45°,∠AOC=40°,
所以∠COD=∠AOD-∠AOC=5°;
当OD在∠AOB外部时,如图2,
因为∠AOD=45°,∠AOC=40°,
所以∠COD=∠AOD+∠AOC=85°.
综上所述,∠COD的度数为5°或85°.
10. 核心素养 几何直观 「2026江苏南京期末」如图，将长方形ABCD沿EF折叠，点C,D分别落在C',D'的位置，C'F的延长线交CD于点G，∠EFG=2∠AED'，则∠BHD'的度数为
54°
。答案
10.答案 54°
解析 如图,延长D'E到点P,过点D'作D'M//AD,
因为四边形ABCD是长方形,所以AD//BC,∠D=90°,
所以D'M//AD//BC,
所以∠AED'=∠ED'M,∠BHD'=∠MD'H,
所以∠AED'+∠BHD'=∠ED'M+∠MD'H=∠ED'C',
由翻折可得∠ED'C'=∠D=90°,
设∠AED'=x,则∠EFG=2x,
由题意可得D'P//C'G,所以∠PEF+∠EFG=180°,
所以∠PEF=180°-2x,所以∠D'EF=180°-∠PEF=2x,
由折叠可得∠DEF=∠D'EF=2x,
因为∠AED'+∠D'EF+∠DEF=180°,
所以x+2x+2x=180°,解得x=36°,即∠AED'=36°,
所以∠BHD'=∠ED'C'-∠AED'=54°.
11.核心素养 推理能力 如图,已知$∠ α$,点$P$为直线$AB$外一点,在直线$AB$上求作点$C$,使得$∠ PCB=∠ α$.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,写出必要的文字说明.)
答案
11.解析 如图,在直线AB上任取一点D,连接PD,在PD的右侧作∠DPN=∠ADP,延长NP到点M,则MN//AB,在直线MN的下方作∠MPC=∠α,交AB于点C,则∠PCB=∠α,此时点C即为所求.
1.「2025湖北襄阳三模」如图,平行于主光轴的光线m经凹透镜折射后与经过光心的光线n平行.若∠1=32°,则∠2的度数为 (
A.122°
B.58°
C.158°
D.148°
D
)A.122°
B.58°
C.158°
D.148°
答案
1.D 如图,
因为光线m平行于主光轴,所以∠3=∠1=32°,
因为光线m折射后与经过光心的光线n平行,
所以∠4=∠3=32°,
所以∠2=180°-∠4=148°.故选D.
2.「2025江苏扬州中考」如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G.若∠ABE = 130°，∠CDF = 150°，则∠EGF的度数是（
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
C
）A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
答案
2.C 由题意可知AB//PQ//CD,
因为AB//PQ,所以∠ABE+∠BGP=180°,
因为∠ABE=130°,所以∠BGP=50°,
因为PQ//CD,所以∠PGD+∠CDF=180°,
因为∠CDF=150°,所以∠PGD=30°,
所以∠BGD=∠BGP+∠PGD=80°,
所以∠EGF=∠BGD=80°.故选C.
因为AB//PQ,所以∠ABE+∠BGP=180°,
因为∠ABE=130°,所以∠BGP=50°,
因为PQ//CD,所以∠PGD+∠CDF=180°,
因为∠CDF=150°,所以∠PGD=30°,
所以∠BGD=∠BGP+∠PGD=80°,
所以∠EGF=∠BGD=80°.故选C.
3.「2026江苏南京求真中学期末」如图
，当光线从空气斜射入某种透明的液体时，发生了折射，且满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3：2.如图
，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α,β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α,β,γ三者之间的数量关系为（
A.$\frac{2}{3}(α+β)=\gamma$
B.$\frac{2}{3}(α+β)=120°-\gamma$
C.$α+β=\gamma$
D.$α+β+\gamma=180°$
，当光线从空气斜射入某种透明的液体时，发生了折射，且满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3：2.如图，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α,β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α,β,γ三者之间的数量关系为（B
）A.$\frac{2}{3}(α+β)=\gamma$
B.$\frac{2}{3}(α+β)=120°-\gamma$
C.$α+β=\gamma$
D.$α+β+\gamma=180°$
答案
3.B 如图,过点B,D,F分别作水平线的垂线,所以PC//DE//QG,
所以 ∠BDF = ∠BDE + ∠FDE = ∠DBC+∠DFG,
由题意知∠DBC=$\frac{2}{3}$∠ABP=$\frac{2}{3}(90°-α)$,
∠DFG=$\frac{2}{3}$∠HFQ=$\frac{2}{3}(90°-β)$,
所以∠BDF=$\frac{2}{3}(90°-α)+\frac{2}{3}(90°-β)=\frac{2}{3}(180°-α-β)$,
即γ=120°-$\frac{2}{3}(α+β)$,
即$\frac{2}{3}(α+β)=120°-γ$.故选B.
