24.(8分)含有公共顶点A的正方形ABCD和正方形AEFG按如图1所示的方式放置,连结BE,DG。
(1)求证:$△ AEB ≌ △ AGD$。
(2)如图2,把图1中的正方形AEFG绕点A旋转,边EF刚好经过点B,此时对角线EG与正方形ABCD的对角线BD交于点O,与边AB交于点H。
①求证:$BO=DO$。
②若$AE=3$,$AB=\sqrt{10}$,请直接写出OE和OH的长。

24.(1)因为四边形$ABCD$和四边形$AEFG$都是正方形，所以$AB=AD$，$AE=AG$，$∠ EAG=∠ BAD=90°$。所以$∠ EAG-∠ BAG=∠ BAD-∠ BAG$，即$∠ EAB=∠ GAD$。所以$△ AEB≌△ AGD(\mathrm{SAS})$。
(2)①由(1)可知$△ AEB≌△ AGD$，所以$DG=BE$，$∠ AGD=∠ AEB=90°$。所以点$F,G,D$共线。如图，过点$D$作$DK⊥ DG$交$EG$延长线于点$K$。因为$∠ DGK=∠ FGE=45°$，所以$△ DGK$是等腰直角三角形。所以$∠ K=∠ BEO=45°$，$DK=DG=BE$。又因为$∠ BOE=∠ DOK$，所以$△ OBE≌△ ODK(\mathrm{AAS})$。所以$BO=DO$。
②因为$AE=3$，$△ AEG$为等腰直角三角形，所以$EG=3\sqrt{2}$。因为$AB=\sqrt{10}$，所以在$\mathrm{Rt}△ AEB$中，由勾股定理可得$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=1$。所以$DK=BE=1$。所以$GK=\sqrt{2}$。所以$EK=4\sqrt{2}$。由①知$△ OBE≌△ ODK$，所以$OE=OK=\frac{1}{2}EK=2\sqrt{2}$。如图，过点$H$作$HM⊥ AE$于点$M$，作$HN⊥ BE$于点$N$。因为$∠ BEH=∠ AEH=45°$，所以$HM=HN$。因为$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AE· BE=\frac{1}{2}AE· HM+\frac{1}{2}BE· HN$，所以$3×1=3HM+HM$，解得$HM=\frac{3}{4}$。所以$EH=\sqrt{2}HM=\frac{3\sqrt{2}}{4}$。所以$OH=OE-EH=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。