1. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,$D,E$ 分别是边 $BC$,$AB$ 上的点,$∠ ADC=∠ EDB$.过点 $E$ 作 $EF⊥ AD$,垂足为 $F$,交 $AC$ 于点 $G$.求证:$AG=2CD$.

过点A作AM⊥AC交DE的延长线于点M,过点M作MN⊥BC于点N,
∴ MN=AC,AM=CN,在△ADC和△MDN中,
$\begin{cases} ∠ADC=∠MDN, \\ ∠C=∠MND, \\ AC=MN, \end{cases}$
∴ △ADC≌ △MDN(AAS),
∴ CD = DN,即 AM = CN = 2CD.
∵ EF⊥AD,
∴ ∠AFG=∠C=90°,
∴ ∠AGF=∠ADC.
∵ ∠ADC=∠EDB,
∴ ∠AGF=∠BDE.
∵ ∠CAB=∠B=45°,
∴ ∠AEG=∠BED,
∴ ∠AEG=∠AEM.
∵ AM ⊥ AC,∠CAB=∠B=45°,
∴ ∠EAG=∠EAM=45°,在△AEG和△AEM中, $\begin{cases} ∠EAG=∠EAM, \\ AE=AE, \\ ∠AEG=∠AEM, \end{cases}$
∴ △AEG≌△AEM(ASA),
∴ AG=AM=2CD.

2. 如图，$OA=OB=6$，$∠ AOB=90°$，点$P$是线段$AB$上(含端点)的一点，连接$OP$.
(1) 如图①，过点$A$作$AQ ⊥ OA$($Q$在$OA$上方)，且满足$∠ OPQ=90°$，求证:$OP=PQ$；
(2) 如图②，$C,D$分别为$OA,OB$上的两点，且$OC=OD$，点$P$满足$OP ⊥ AD$，过点$P$作$PE ⊥ BC$交$AD$的延长线于点$E$，试探究$AE,OP,PE$之间的数量关系，并说明理由.

(1)过点P作PF⊥OA于点F,PE⊥AQ交AQ的延长线于点E,又
∵ AQ ⊥ OA,
∴ PF // AE,PE // AF,∠FPE = ∠OPQ = 90°,
∴ PF = AE,PE = AF.
∵ OA = OB,∠AOB = 90°,
∴ ∠BAO = ∠ABO = 45°.
∵ PF ⊥ OA,
∴ ∠FAP = ∠APF = 45°,
∴ PF = AF,
∴ PE = PF.
∵ ∠FPE = ∠OPQ = 90°,
∴ ∠OPF = ∠QPE.在△OPF和△QPE中, $\begin{cases} ∠OPF=∠QPE, \\ PF=PE, \\ ∠PFO=∠PEQ=90°, \end{cases}$
∴ △OPF≌△QPE(ASA),
∴ OP = PQ.
(2)AE=PE+OP.理由如下:如图②,延长EP至点H,使OP=PH,连接 AH,在△AOD 和△BOC 中, $\begin{cases} AO=BO, \\ ∠AOD=∠BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$
∴ △AOD≌△BOC (SAS),
∴ ∠OBC = ∠OAD,
∴ ∠OBA - ∠OBC=∠OAB-∠OAD,
∴ ∠BAE=∠CBA.
∵ BC⊥EP,PO⊥AE,
∴ ∠CBA + ∠BPE = 90°,∠BAE + ∠OPA = 90°,
∴ ∠BPE = ∠OPA,
∴ ∠BPE = ∠APH = ∠OPA.在△AOP 和△AHP 中,
$\begin{cases} OP=HP, \\ ∠OPA=∠HPA, \\ AP=AP, \end{cases}$
∴ △AOP≌△AHP(SAS),
∴ ∠H = ∠POA,
∠HAB=∠BAO=45°,
∴ ∠HAO = 90°,
∴ ∠HAE+∠OAD=90°.
∵ ∠POA+∠OAE=90°,
∴ ∠HAE = ∠POA,
∴ ∠HAE = ∠H,
∴ HE=AE,
∴ AE=PE+PH=PE+OP.