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9. 如图,从一块直径是 2 的圆形铁片上剪下一个圆心角为$90°$的扇形,将剪下来的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的底面圆的半径是（
A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
B
）A.$\frac{π}{4}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.1
答案
9. B 解析:连接$BC. ∵∠BAC=90°,∴BC$是$⊙O$的直径,$∴BC=2.$又$∵AB=AC,∴AB=\sqrt{2}$,即扇形的半径$R=\sqrt{2}$,弧长$l=\frac{90×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}.$设圆锥的底面圆半径为$r$,则有$2πr=\frac{\sqrt{2}π}{2}$,解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}.$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先确定剪下扇形的半径，再利用“扇形弧长等于圆锥底面圆周长”的关系计算底面半径。步骤如下：1. 利用圆周角定理确定BC为圆的直径，得到BC长度；2. 结合等腰直角三角形性质求出扇形半径；3. 计算扇形弧长；4. 根据圆锥底面周长等于扇形弧长，求出底面圆半径。
【解析】
连接BC，因为∠BAC=90°，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，所以BC是⊙O的直径，故BC=2。
又AB=AC，所以△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB² + AC² = BC²，即2AB²=2²，解得AB=√2，即扇形的半径R=√2。
根据弧长公式，圆心角为90°的扇形弧长为：$ l=\frac{nπR}{180}=\frac{90×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2} $。
设圆锥底面圆半径为r，圆锥底面周长等于扇形弧长，即$ 2πr=\frac{\sqrt{2}π}{2} $，两边同除以π得$ 2r=\frac{\sqrt{2}}{2} $，解得$ r=\frac{\sqrt{2}}{4} $。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理、弧长计算、圆锥底面半径
【点评】
本题结合圆周角定理与圆锥的性质，考查弧长公式的应用，关键是先求出扇形半径，再利用弧长与圆锥底面周长的关系求解，是几何与圆锥结合的典型题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先确定剪下扇形的半径，再利用“扇形弧长等于圆锥底面圆周长”的关系计算底面半径。步骤如下：1. 利用圆周角定理确定BC为圆的直径，得到BC长度；2. 结合等腰直角三角形性质求出扇形半径；3. 计算扇形弧长；4. 根据圆锥底面周长等于扇形弧长，求出底面圆半径。
【解析】
连接BC，因为∠BAC=90°，根据圆周角定理：90°的圆周角所对的弦是直径，所以BC是⊙O的直径，故BC=2。
又AB=AC，所以△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB² + AC² = BC²，即2AB²=2²，解得AB=√2，即扇形的半径R=√2。
根据弧长公式，圆心角为90°的扇形弧长为：$ l=\frac{nπR}{180}=\frac{90×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2} $。
设圆锥底面圆半径为r，圆锥底面周长等于扇形弧长，即$ 2πr=\frac{\sqrt{2}π}{2} $，两边同除以π得$ 2r=\frac{\sqrt{2}}{2} $，解得$ r=\frac{\sqrt{2}}{4} $。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理、弧长计算、圆锥底面半径
【点评】
本题结合圆周角定理与圆锥的性质，考查弧长公式的应用，关键是先求出扇形半径，再利用弧长与圆锥底面周长的关系求解，是几何与圆锥结合的典型题。
【难度系数】
0.5
10. 如图,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,恰好围成一个圆锥模型. 如果圆的半径为$r$,扇形的半径为$R$,那么$r:R=$
$1:4$
.答案
10. $1:4$ 解析:$∵$扇形的弧长等于圆锥的底面周长,即圆的周长,$∴\frac{1}{4}×2πR=2πr,∴r:R=1:4.$
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确圆锥的构成：圆锥的侧面是扇形，底面是圆形，因此扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。观察图形可知，扇形的圆心角为90°，即整个圆的$\frac{1}{4}$，所以先分别表示出扇形的弧长和底面圆的周长，再根据两者相等建立等式，进而求出$r$与$R$的比值。
【解析】
因为剪下的扇形恰好围成圆锥的侧面，圆形是圆锥的底面，所以扇形的弧长等于圆形的周长。由图可知，扇形的圆心角为90°，因此扇形的弧长为$\frac{90°}{360°}×2πR = \frac{1}{4}×2πR$；圆形的周长为$2πr$。根据弧长等于周长，可得：$\frac{1}{4}×2πR = 2πr$，两边同时除以$2π$，得到$\frac{1}{4}R = r$，所以$r:R = 1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题考查圆锥与其侧面展开图的关系，核心是利用“扇形弧长等于底面圆周长”这一性质，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确圆锥的构成：圆锥的侧面是扇形，底面是圆形，因此扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。观察图形可知，扇形的圆心角为90°，即整个圆的$\frac{1}{4}$，所以先分别表示出扇形的弧长和底面圆的周长，再根据两者相等建立等式，进而求出$r$与$R$的比值。
【解析】
因为剪下的扇形恰好围成圆锥的侧面，圆形是圆锥的底面，所以扇形的弧长等于圆形的周长。由图可知，扇形的圆心角为90°，因此扇形的弧长为$\frac{90°}{360°}×2πR = \frac{1}{4}×2πR$；圆形的周长为$2πr$。根据弧长等于周长，可得：$\frac{1}{4}×2πR = 2πr$，两边同时除以$2π$，得到$\frac{1}{4}R = r$，所以$r:R = 1:4$。
【答案】
$1:4$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长计算、圆的周长
【点评】
本题考查圆锥与其侧面展开图的关系，核心是利用“扇形弧长等于底面圆周长”这一性质，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=2$,$∠ CAB=30^{ \circ }$,$∠ ACB=45^{ \circ }$,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转一定的角度至$△ ADE$. 若用扇形$ABD$围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为$r_{1}$,用扇形$ACE$围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为$r_{2}$,则$\dfrac{r_{1}}{r_{2}}=$
$\sqrt{3}-1$
.(结果保留根号)答案
11. $\sqrt{3}-1$ 解析:过点$B$作$BH⊥AC$于点$H.$在$\mathrm{Rt}△ABH$中,$∠CAB=30°,∴BH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1,∴AH=\sqrt{3}BH=\sqrt{3}.$在$\mathrm{Rt}△BCH$中,$∠ACB=45°,∴CH=BH=1,∴AC=AH+CH=\sqrt{3}+1. ∵△ABC$绕点$A$逆时针旋转一定的角度至$△ADE,∴∠CAE=∠BAD.$设$∠CAE=∠BAD=n°. ∵2πr_1=\frac{nπ×2}{180},2πr_2=\frac{nπ×(\sqrt{3}+1)}{180},∴\frac{r_1}{r_2}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1.$
解析
【分析】要解决这个问题，首先需通过作辅助线求出△ABC中AC的长度；再根据旋转的性质，确定扇形ABD和扇形ACE的圆心角相等；最后利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，分别表示出两个圆锥底面半径$r_1$、$r_2$，进而计算它们的比值。
【解析】过点$B$作$BH⊥AC$于点$H$。
在$\mathrm{Rt}△ABH$中，$∠CAB=30°$，$AB=2$，
∴$BH = AB·\sin30° = 2×\frac{1}{2}=1$，
$AH = AB·\cos30° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△BCH$中，$∠ACB=45°$，
∴$CH = BH =1$，
∴$AC = AH + CH = \sqrt{3}+1$。
∵$△ABC$绕点$A$逆时针旋转至$△ADE$，
∴旋转角$∠BAD = ∠CAE$，设为$n°$。
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，因此：
对于扇形$ABD$：$2πr_1 = \frac{nπ·AB}{180}$，化简得$r_1 = \frac{n·AB}{360}$；
对于扇形$ACE$：$2πr_2 = \frac{nπ·AC}{180}$，化简得$r_2 = \frac{n·AC}{360}$。
∴$\frac{r_1}{r_2} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \sqrt{3}-1$。
【答案】$\sqrt{3}-1$
【知识点】旋转的性质、圆锥的计算、弧长公式
【点评】本题结合旋转与圆锥的知识，解题关键是通过作辅助线求出AC的长度，再利用旋转角相等和弧长公式推导半径比，考查几何计算与转化能力。
【难度系数】0.5
【解析】过点$B$作$BH⊥AC$于点$H$。
在$\mathrm{Rt}△ABH$中，$∠CAB=30°$，$AB=2$，
∴$BH = AB·\sin30° = 2×\frac{1}{2}=1$，
$AH = AB·\cos30° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△BCH$中，$∠ACB=45°$，
∴$CH = BH =1$，
∴$AC = AH + CH = \sqrt{3}+1$。
∵$△ABC$绕点$A$逆时针旋转至$△ADE$，
∴旋转角$∠BAD = ∠CAE$，设为$n°$。
圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，因此：
对于扇形$ABD$：$2πr_1 = \frac{nπ·AB}{180}$，化简得$r_1 = \frac{n·AB}{360}$；
对于扇形$ACE$：$2πr_2 = \frac{nπ·AC}{180}$，化简得$r_2 = \frac{n·AC}{360}$。
∴$\frac{r_1}{r_2} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \sqrt{3}-1$。
【答案】$\sqrt{3}-1$
【知识点】旋转的性质、圆锥的计算、弧长公式
【点评】本题结合旋转与圆锥的知识，解题关键是通过作辅助线求出AC的长度，再利用旋转角相等和弧长公式推导半径比，考查几何计算与转化能力。
【难度系数】0.5
12. 如图,已知圆锥的底面半径为 10,母线长为 40.
(1)求它的侧面展开图的圆心角.
(2)若一小虫从点 A 出发沿圆锥侧面绕行到母线 CA 的中点 B,它所走的最短路程是多少?
(1)求它的侧面展开图的圆心角.
(2)若一小虫从点 A 出发沿圆锥侧面绕行到母线 CA 的中点 B,它所走的最短路程是多少?
答案
12. (1)$∵$圆锥的底面半径为$10$,母线长为$40,∴$底面圆的周长为$2π×10=20π.$设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为$n°$,根据题意,得$\frac{nπ×40}{180}=20π,∴n=90$,即圆锥侧面展开图的圆心角为$90°.$
(2)如图,由圆锥的侧面展开图可知,小虫从点$A$出发沿着圆锥侧面绕行到母线$CA'$的中点$B$所走的最短路线是线段$AB.$在$\mathrm{Rt}△ACB$中,$CA=40,CB=20,∴AB=20\sqrt{5}$,即小虫走的最短路程是$20\sqrt{5}.$
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆周长的关系，结合弧长公式求圆心角；第(2)问将圆锥侧面展开为平面扇形，小虫的最短路径是展开图中两点间的线段，利用勾股定理计算即可，核心是将曲面问题转化为平面问题求解。
【解析】
(1) 圆锥底面圆的周长为 $2π r = 2π × 10 = 20π$。
设侧面展开图的圆心角为 $n°$，根据扇形弧长公式 $l = \frac{nπ l_{\mathrm{母线}}}{180}$，其中弧长等于底面周长，代入得：
$\frac{nπ × 40}{180} = 20π$，
两边约去$π$，解得 $n = 90$，即侧面展开图的圆心角为$90°$。
(2) 将圆锥侧面展开为扇形，由(1)知扇形圆心角$∠ ACA' = 90°$，母线长$CA = CA' = 40$，因为B是$CA'$的中点，所以$CB = \frac{1}{2}CA' = 20$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5}$，即小虫走的最短路程为$20\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $90°$；(2) $20\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题是圆锥侧面展开图的典型应用，将曲面的最短路径问题转化为平面内两点间线段最短的问题，结合弧长公式和勾股定理求解，考查学生的空间想象能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆周长的关系，结合弧长公式求圆心角；第(2)问将圆锥侧面展开为平面扇形，小虫的最短路径是展开图中两点间的线段，利用勾股定理计算即可，核心是将曲面问题转化为平面问题求解。
【解析】
(1) 圆锥底面圆的周长为 $2π r = 2π × 10 = 20π$。
设侧面展开图的圆心角为 $n°$，根据扇形弧长公式 $l = \frac{nπ l_{\mathrm{母线}}}{180}$，其中弧长等于底面周长，代入得：
$\frac{nπ × 40}{180} = 20π$，
两边约去$π$，解得 $n = 90$，即侧面展开图的圆心角为$90°$。
(2) 将圆锥侧面展开为扇形，由(1)知扇形圆心角$∠ ACA' = 90°$，母线长$CA = CA' = 40$，因为B是$CA'$的中点，所以$CB = \frac{1}{2}CA' = 20$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，根据勾股定理：
$AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{40^2 + 20^2} = \sqrt{1600 + 400} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5}$，即小虫走的最短路程为$20\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $90°$；(2) $20\sqrt{5}$
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题是圆锥侧面展开图的典型应用，将曲面的最短路径问题转化为平面内两点间线段最短的问题，结合弧长公式和勾股定理求解，考查学生的空间想象能力和公式应用能力。
【难度系数】
0.6
13.【新情境】某种冰激凌(如图1)的外包装可以视为圆锥(如图2)，它的底面圆直径$ED$与母线$AD$长之比为$1:2$.制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中$AB=AC,AD⊥ BC$.将扇形$AEF$围成圆锥时，$AE$、$AF$恰好重合.
(1)求这种等腰三角形材料的顶角$∠ BAC$的大小.
(2)若圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ \mathrm{cm}$，求等腰三角形材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.
(1)求这种等腰三角形材料的顶角$∠ BAC$的大小.
(2)若圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ \mathrm{cm}$，求等腰三角形材料剩余部分(图中阴影部分)的面积.
答案
13. (1)设$∠BAC=n°.$根据题意,得$π·ED=\frac{nπ·AD}{180}. ∵ED:AD=1:2,∴n=90$,即$∠BAC=90°.$
(2)由(1),得$AD=2ED=10 \ \mathrm{cm}. ∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=90°,∴BD=CD=AD,∴BC=2AD=20 \ \mathrm{cm}. ∴S_{\mathrm{阴影部分}}=\frac{1}{2}BC·AD - S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}×20×10 - \frac{90}{360}×π×10^2=(100-25π)(\mathrm{cm}^2).$
(2)由(1),得$AD=2ED=10 \ \mathrm{cm}. ∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=90°,∴BD=CD=AD,∴BC=2AD=20 \ \mathrm{cm}. ∴S_{\mathrm{阴影部分}}=\frac{1}{2}BC·AD - S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{1}{2}×20×10 - \frac{90}{360}×π×10^2=(100-25π)(\mathrm{cm}^2).$
解析
【分析】
本题是结合圆锥展开图的几何题，解题思路如下：
(1) 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此建立等式求解顶角∠BAC。已知底面直径ED与母线AD的比为1:2，设∠BAC为n°，分别写出扇形弧长和底面圆周长，令二者相等，代入比例即可算出n的值。
(2) 先根据ED的长度求出AD的长度，再利用等腰三角形和直角三角形的性质，得出等腰三角形ABC的边长，计算其面积；再计算扇形AEF的面积，阴影部分面积为三角形ABC面积减去扇形AEF的面积。
【解析】
(1) 设∠BAC = n°。
因为扇形AEF围成圆锥时，弧EF的长等于圆锥底面圆的周长，所以：
π·ED = $\frac{nπ·AD}{180}$
已知ED:AD = 1:2，即AD = 2ED，代入上式得：
π·ED = $\frac{nπ·2ED}{180}$
两边约去π·ED（ED≠0），化简得：1 = $\frac{2n}{180}$，解得n=90，故∠BAC=90°。
(2) 由(1)知AD=2ED，已知ED=5cm，所以AD=2×5=10cm。
因为AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边BC上的高，因此BD=CD=AD=10cm，BC=BD+CD=20cm。
等腰三角形ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$。
扇形AEF的面积：$S_{扇形AEF}=\frac{90}{360}×π×AD^2=\frac{1}{4}×π×10^2=25π\ \mathrm{cm}^2$。
因此阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) ∠BAC=90°；(2) (100-25π) cm²
【知识点】
圆锥侧面展开、扇形面积、等腰三角形性质
【点评】
本题以冰激凌外包装为新情境，将圆锥的几何特性与等腰三角形、扇形面积结合，核心是理解圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，考查几何图形转化能力，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
本题是结合圆锥展开图的几何题，解题思路如下：
(1) 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此建立等式求解顶角∠BAC。已知底面直径ED与母线AD的比为1:2，设∠BAC为n°，分别写出扇形弧长和底面圆周长，令二者相等，代入比例即可算出n的值。
(2) 先根据ED的长度求出AD的长度，再利用等腰三角形和直角三角形的性质，得出等腰三角形ABC的边长，计算其面积；再计算扇形AEF的面积，阴影部分面积为三角形ABC面积减去扇形AEF的面积。
【解析】
(1) 设∠BAC = n°。
因为扇形AEF围成圆锥时，弧EF的长等于圆锥底面圆的周长，所以：
π·ED = $\frac{nπ·AD}{180}$
已知ED:AD = 1:2，即AD = 2ED，代入上式得：
π·ED = $\frac{nπ·2ED}{180}$
两边约去π·ED（ED≠0），化简得：1 = $\frac{2n}{180}$，解得n=90，故∠BAC=90°。
(2) 由(1)知AD=2ED，已知ED=5cm，所以AD=2×5=10cm。
因为AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边BC上的高，因此BD=CD=AD=10cm，BC=BD+CD=20cm。
等腰三角形ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×20×10=100\ \mathrm{cm}^2$。
扇形AEF的面积：$S_{扇形AEF}=\frac{90}{360}×π×AD^2=\frac{1}{4}×π×10^2=25π\ \mathrm{cm}^2$。
因此阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=(100-25π)\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) ∠BAC=90°；(2) (100-25π) cm²
【知识点】
圆锥侧面展开、扇形面积、等腰三角形性质
【点评】
本题以冰激凌外包装为新情境，将圆锥的几何特性与等腰三角形、扇形面积结合，核心是理解圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，考查几何图形转化能力，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
