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1. 若一个点到圆的最大距离为 9 cm,最小距离为 3 cm,则该圆的半径为（
A.3 cm 或 6 cm
B.6 cm
C.12 cm
D.12 cm 或 6 cm
A
）A.3 cm 或 6 cm
B.6 cm
C.12 cm
D.12 cm 或 6 cm
答案
1. A 解析:若点在圆外,圆的直径为 9-3=6(cm),半径为 3 cm;若点在圆内,圆的直径为 9+3=12(cm),半径为 6 cm.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确点与圆的位置关系（点在圆内、圆外），由于题目中点到圆的最大距离和最小距离不相等，说明点不在圆上，因此分两种情况讨论：点在圆外、点在圆内，分别计算对应圆的直径，再根据“半径=直径÷2”求出半径，最终结合选项得出答案。
【解析】
分两种情况分析：
1. 当点在圆外时：点到圆的最大距离是点到圆上最远点的距离，最小距离是点到圆上最近点的距离，此时圆的直径 = 最大距离 - 最小距离 = 9 - 3 = 6 cm，因此半径 = 6 ÷ 2 = 3 cm；
2. 当点在圆内时：过该点和圆心的直线与圆交于两点，点在两点之间，此时最大距离与最小距离的和等于圆的直径，即直径 = 9 + 3 = 12 cm，因此半径 = 12 ÷ 2 = 6 cm；
综上，圆的半径为3 cm或6 cm，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的半径计算
【点评】
本题考查点与圆的位置关系，核心是需分点在圆内、圆外两种情况讨论，避免漏解，体现了分类讨论的数学思想，属于初中数学基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确点与圆的位置关系（点在圆内、圆外），由于题目中点到圆的最大距离和最小距离不相等，说明点不在圆上，因此分两种情况讨论：点在圆外、点在圆内，分别计算对应圆的直径，再根据“半径=直径÷2”求出半径，最终结合选项得出答案。
【解析】
分两种情况分析：
1. 当点在圆外时：点到圆的最大距离是点到圆上最远点的距离，最小距离是点到圆上最近点的距离，此时圆的直径 = 最大距离 - 最小距离 = 9 - 3 = 6 cm，因此半径 = 6 ÷ 2 = 3 cm；
2. 当点在圆内时：过该点和圆心的直线与圆交于两点，点在两点之间，此时最大距离与最小距离的和等于圆的直径，即直径 = 9 + 3 = 12 cm，因此半径 = 12 ÷ 2 = 6 cm；
综上，圆的半径为3 cm或6 cm，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的半径计算
【点评】
本题考查点与圆的位置关系，核心是需分点在圆内、圆外两种情况讨论，避免漏解，体现了分类讨论的数学思想，属于初中数学基础题型。
【难度系数】
0.6
2. 若$\odot O$的半径为4，点$P$到$\odot O$的最短距离为2，则点$P$到$\odot O$的最长距离是
6或10
.答案
2. 6或10 解析:当点 P 在 $\odot O$ 内时,最长距离是 $4×2-2=6$;当点 P 在 $\odot O$ 外时,最长距离是 $4×2+2=10$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需考虑点P与⊙O的位置关系有两种：点在圆内或点在圆外，题目未明确点P的位置，需分情况讨论。点到圆的最短、最长距离与点到圆心的距离、圆的半径相关，需分别计算两种场景下的最长距离。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在⊙O内部时：
点P到⊙O的最短距离为半径减去点P到圆心O的距离，即 $ r - OP = 2 $，已知半径 $ r=4 $，代入得 $ 4 - OP =2 $，解得 $ OP=2 $。
此时点P到⊙O的最长距离为半径加上 $ OP $，即 $ 4 + 2 =6 $。
2. 当点P在⊙O外部时：
点P到⊙O的最短距离为点P到圆心O的距离减去半径，即 $ OP - r =2 $，代入 $ r=4 $ 得 $ OP -4=2 $，解得 $ OP=6 $。
此时点P到⊙O的最长距离为 $ OP + r =6 +4=10 $。
综上，点P到⊙O的最长距离是6或10。
【答案】
6或10
【知识点】
点与圆的位置关系；点到圆的距离
【点评】
本题考查点与圆的位置关系，核心是需全面考虑点在圆内、圆外两种情况，避免漏解，属于初中几何基础题，重点考查学生的分类讨论思想。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需考虑点P与⊙O的位置关系有两种：点在圆内或点在圆外，题目未明确点P的位置，需分情况讨论。点到圆的最短、最长距离与点到圆心的距离、圆的半径相关，需分别计算两种场景下的最长距离。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点P在⊙O内部时：
点P到⊙O的最短距离为半径减去点P到圆心O的距离，即 $ r - OP = 2 $，已知半径 $ r=4 $，代入得 $ 4 - OP =2 $，解得 $ OP=2 $。
此时点P到⊙O的最长距离为半径加上 $ OP $，即 $ 4 + 2 =6 $。
2. 当点P在⊙O外部时：
点P到⊙O的最短距离为点P到圆心O的距离减去半径，即 $ OP - r =2 $，代入 $ r=4 $ 得 $ OP -4=2 $，解得 $ OP=6 $。
此时点P到⊙O的最长距离为 $ OP + r =6 +4=10 $。
综上，点P到⊙O的最长距离是6或10。
【答案】
6或10
【知识点】
点与圆的位置关系；点到圆的距离
【点评】
本题考查点与圆的位置关系，核心是需全面考虑点在圆内、圆外两种情况，避免漏解，属于初中几何基础题，重点考查学生的分类讨论思想。
【难度系数】
0.5
3. 已知$P$为$\odot O$外一点，$PA$、$PB$分别切$\odot O$于点$A$、$B$，$∠ APB=70°$，$C$为$\odot O$上一点（不与点$A$、$B$重合），则$∠ ACB$的度数为
55°或125°
.答案
3. 55°或 125° 解析:如图,连接 OA、OB. $\because PA$、$PB$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A$、$B$,$\therefore OA⊥ PA,OB⊥ PB,\therefore ∠ PAO=∠ PBO=90°$. 又$\because ∠ APB=70°,\therefore ∠ AOB=360°-90°-90°-70°=110°$. 当点 $C$ 在$\widehat{AC_1B}$上时,$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×110°=55°$;当点$C$在$\widehat{AC_2B}$上时,$∠ ACB=180°-55°=125°$. 综上所述,$∠ ACB$ 的度数为 $55°$或 $125°$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需按以下思路思考：首先利用切线的性质得到OA与PA、OB与PB垂直，再通过四边形内角和算出圆心角∠AOB的度数；由于点C在⊙O上不与A、B重合，需分两种情况讨论点C的位置（在优弧AB或劣弧AB上），结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，分别计算对应的∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB。
∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°。
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠APB=70°，
∴ ∠AOB=360° - ∠PAO - ∠PBO - ∠APB = 360° - 90° - 90° -70°=110°。
接下来分两种情况：
① 当点C在优弧AC₁B上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠ACB = ½∠AOB = ½×110°=55°；
② 当点C在劣弧AC₂B上时，此时点C在圆的另一段弧上，∠ACB与①中的∠ACB是圆内接四边形的一组对角，根据圆内接四边形对角互补，
∴ ∠ACB=180° -55°=125°。
综上，∠ACB的度数为55°或125°。
【答案】
55°或 125°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查切线性质、圆周角定理的应用，核心是需对圆上点的位置进行分类讨论，避免漏解，属于易出错的中档题，需注意不同弧上圆周角的计算差异。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需按以下思路思考：首先利用切线的性质得到OA与PA、OB与PB垂直，再通过四边形内角和算出圆心角∠AOB的度数；由于点C在⊙O上不与A、B重合，需分两种情况讨论点C的位置（在优弧AB或劣弧AB上），结合圆周角定理和圆内接四边形的性质，分别计算对应的∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB。
∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°。
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠APB=70°，
∴ ∠AOB=360° - ∠PAO - ∠PBO - ∠APB = 360° - 90° - 90° -70°=110°。
接下来分两种情况：
① 当点C在优弧AC₁B上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠ACB = ½∠AOB = ½×110°=55°；
② 当点C在劣弧AC₂B上时，此时点C在圆的另一段弧上，∠ACB与①中的∠ACB是圆内接四边形的一组对角，根据圆内接四边形对角互补，
∴ ∠ACB=180° -55°=125°。
综上，∠ACB的度数为55°或125°。
【答案】
55°或 125°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查切线性质、圆周角定理的应用，核心是需对圆上点的位置进行分类讨论，避免漏解，属于易出错的中档题，需注意不同弧上圆周角的计算差异。
【难度系数】
0.5
4. 已知$\odot O$的半径为15,弦$AB$的长为18,点$P$在弦$AB$上且$OP=13$,则$AP$的长为（
A.4
B.14
C.4 或 14
D.6 或 14
C
）A.4
B.14
C.4 或 14
D.6 或 14
答案
4. C 解析:如图,过点 $O$ 作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$,则 $AC=\frac{1}{2}AB=9$.$\therefore OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{15^2-9^2}=$ 又 $\because OP=13,\therefore PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=5$. 当点 $P$ 在线段 $AC$ 上时,$AP=AC-PC=9-5=4$;当点 $P$ 在线段 $BC$ 上时,$AP=AC+PC=9+5=14$.
解析
【分析】
要确定AP的长度，需结合圆的性质与直角三角形的计算方法。首先过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到AB的一半长度；再结合圆的半径，用勾股定理求出该垂线的长度；接着结合OP的长度，再次用勾股定理求出点P到垂足的距离；最后根据点P在AB上的不同位置分情况计算AP，避免漏解。
【解析】
过点$O$作$OC⊥AB$于点$C$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9$。
在$Rt△AOC$中，$OA=15$（圆的半径），$AC=9$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{15^2 - 9^2}=\sqrt{144}=12$。
在$Rt△POC$中，$OP=13$，$OC=12$，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{OP^2 - OC^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{25}=5$。
分两种情况讨论点$P$的位置：
1. 当点$P$在线段$AC$上时，$AP=AC - PC=9 - 5=4$；
2. 当点$P$在线段$BC$上时，$AP=AC + PC=9 + 5=14$。
因此$AP$的长为4或14，对应选项C。
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【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，核心是垂径定理与勾股定理的结合，解题关键在于构造直角三角形，同时需注意点P在弦AB上有两种位置，需分类讨论防止漏解，整体难度适中，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.5
要确定AP的长度，需结合圆的性质与直角三角形的计算方法。首先过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理得到AB的一半长度；再结合圆的半径，用勾股定理求出该垂线的长度；接着结合OP的长度，再次用勾股定理求出点P到垂足的距离；最后根据点P在AB上的不同位置分情况计算AP，避免漏解。
【解析】
过点$O$作$OC⊥AB$于点$C$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×18=9$。
在$Rt△AOC$中，$OA=15$（圆的半径），$AC=9$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{15^2 - 9^2}=\sqrt{144}=12$。
在$Rt△POC$中，$OP=13$，$OC=12$，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{OP^2 - OC^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{25}=5$。
分两种情况讨论点$P$的位置：
1. 当点$P$在线段$AC$上时，$AP=AC - PC=9 - 5=4$；
2. 当点$P$在线段$BC$上时，$AP=AC + PC=9 + 5=14$。
因此$AP$的长为4或14，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，核心是垂径定理与勾股定理的结合，解题关键在于构造直角三角形，同时需注意点P在弦AB上有两种位置，需分类讨论防止漏解，整体难度适中，属于学生应掌握的基础题型。
【难度系数】
0.5
5. 已知在直径 $AB$ 为 13 的半圆上有一点 $C, CD ⊥ AB$ , 垂足为 $D$, 且 $CD=6$, 则 $AD$ 的长为
4或9
.答案
5. 4 或 9 解析:取 $AB$ 的中点 $O$, 连接 $OC$, 则 $OC=OA=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}$. 如图 1, 当点 $D$ 在线段 $OA$ 上时, $OD=\sqrt{(\frac{13}{2})^2-6^2}=\frac{5}{2}$, 则 $AD=OA-OD=\frac{13}{2}-\frac{5}{2}=4$; 如图 2, 当点 $D$ 在线段 $OB$ 上时, 同理可得 $OD=\frac{5}{2}$, 则 $AD=OA+OD=\frac{13}{2}+\frac{5}{2}=9$. 综上所述, $AD$ 的长为 4 或 9.
解析
【分析】首先，半圆的直径AB=13，故圆心O为AB中点，半径OC=OA=OB=13/2。由于CD⊥AB，△OCD是直角三角形，利用勾股定理可求出OD的长度。接下来需分两种情况讨论点D的位置：当D在线段OA上时，AD=OA - OD；当D在线段OB上时，AD=OA + OD，据此计算AD的两个可能值。
【解析】取AB的中点O，连接OC，则OC=OA=OB=1/2 AB=13/2。因为CD⊥AB，所以∠ODC=90°，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=√(OC² - CD²)=√[(13/2)² - 6²]=√[(169/4) - 36]=√[(169 - 144)/4]=√(25/4)=5/2。分两种情况：①当点D在线段OA上时，AD=OA - OD=13/2 - 5/2=4；②当点D在线段OB上时，AD=OA + OD=13/2 +5/2=9。综上，AD的长为4或9。
【答案】4或9
【知识点】圆的半径性质、勾股定理
【点评】本题结合圆的基本性质与勾股定理，重点考查分类讨论思想，需注意点D的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】0.6
【解析】取AB的中点O，连接OC，则OC=OA=OB=1/2 AB=13/2。因为CD⊥AB，所以∠ODC=90°，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=√(OC² - CD²)=√[(13/2)² - 6²]=√[(169/4) - 36]=√[(169 - 144)/4]=√(25/4)=5/2。分两种情况：①当点D在线段OA上时，AD=OA - OD=13/2 - 5/2=4；②当点D在线段OB上时，AD=OA + OD=13/2 +5/2=9。综上，AD的长为4或9。
【答案】4或9
【知识点】圆的半径性质、勾股定理
【点评】本题结合圆的基本性质与勾股定理，重点考查分类讨论思想，需注意点D的位置有两种情况，避免漏解。
【难度系数】0.6
6. 已知 A B 和 A C 是$\odot O$的两条弦，$∠ BAC=57°$，M、N 分别是 A B、A C 的中点，则$∠ MON$的度数为
123°或57°
.答案
6. $123°$或 $57°$ 解析:连接 $OM$、$ON$. $\because M$、$N$ 分别是 $AB$ 和 $AC$ 的中点, $\therefore OM⊥ AB,ON⊥ AC$, 即 $∠ OMA=∠ ONA=90°$. 如图 1, 当 $AB$、$AC$ 在圆心 $O$ 的两侧时, 在四边形 $AMON$ 中, $\because ∠ BAC=57°,\therefore ∠ MON=360°-90°-90°-57°=123°$; 如图 2, 当 $AB$、$AC$ 在圆心 $O$ 的同侧时, $\because ∠ ADM=∠ ODN,∠ AMD=∠ OND,\therefore ∠ MON=∠ BAC=57°$. 综上所述, $∠ MON$ 的度数为 $123°$ 或 $57°$.
解析
【分析】
要解决这道题，需利用垂径定理：弦的中点与圆心的连线垂直于弦，连接OM、ON后可得两个直角。接下来需分两种情况讨论AB、AC相对于圆心O的位置（在两侧或同侧），分别通过四边形内角和或三角形的角关系计算∠MON，避免漏解。
【解析】
连接OM、ON。
∵ M是AB的中点，N是AC的中点，根据垂径定理，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴ ∠OMA = ∠ONA = 90°。
情况1：当AB、AC在圆心O的两侧时，在四边形AMON中，内角和为360°，
∴ ∠MON = 360° - ∠OMA - ∠ONA - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 57° = 123°；
情况2：当AB、AC在圆心O的同侧时，设OM与AC交于点D，
在△AMD和△OND中，∠ADM = ∠ODN（对顶角相等），∠AMD = ∠OND = 90°，
∴ ∠MON = ∠BAC = 57°；
综上，∠MON的度数为123°或57°。
【答案】123°或57°
【知识点】垂径定理、多边形内角和、三角形内角和
【点评】本题考查垂径定理的应用，核心是分情况讨论弦与圆心的位置关系，易因忽略同侧情况漏解，需熟练掌握垂径定理及几何角的计算方法。
【难度系数】0.4
要解决这道题，需利用垂径定理：弦的中点与圆心的连线垂直于弦，连接OM、ON后可得两个直角。接下来需分两种情况讨论AB、AC相对于圆心O的位置（在两侧或同侧），分别通过四边形内角和或三角形的角关系计算∠MON，避免漏解。
【解析】
连接OM、ON。
∵ M是AB的中点，N是AC的中点，根据垂径定理，OM⊥AB，ON⊥AC，
∴ ∠OMA = ∠ONA = 90°。
情况1：当AB、AC在圆心O的两侧时，在四边形AMON中，内角和为360°，
∴ ∠MON = 360° - ∠OMA - ∠ONA - ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 57° = 123°；
情况2：当AB、AC在圆心O的同侧时，设OM与AC交于点D，
在△AMD和△OND中，∠ADM = ∠ODN（对顶角相等），∠AMD = ∠OND = 90°，
∴ ∠MON = ∠BAC = 57°；
综上，∠MON的度数为123°或57°。
【答案】123°或57°
【知识点】垂径定理、多边形内角和、三角形内角和
【点评】本题考查垂径定理的应用，核心是分情况讨论弦与圆心的位置关系，易因忽略同侧情况漏解，需熟练掌握垂径定理及几何角的计算方法。
【难度系数】0.4
7. 已知$\odot O$的半径为 5 cm, 弦$AB// CD$,且$AB=6\ \mathrm{cm}$,$CD=8\ \mathrm{cm}$,则$AB$、$CD$之间的距离为
7 cm或1 cm
.答案
7. 7 cm 或 1 cm 解析:过点 $O$ 作 $OE⊥ AB,OF⊥ CD$, 垂足分别为 $E$、$F$, 连接 $OB$、$OD$, 则 $BE=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{cm},DF=\frac{1}{2}CD=4\ \mathrm{cm}$. 又 $\because OB=OD=5\ \mathrm{cm},\therefore OE=4\ \mathrm{cm},OF=3\ \mathrm{cm}$. 如图 1, 当 $AB$、$CD$ 位于圆心 $O$ 的两侧时, $AB$、$CD$ 之间的距离为 $OE+OF=4+3=7(\mathrm{cm})$; 如图 2, 当 $AB$、$CD$ 位于圆心 $O$ 的同侧时, $AB$、$CD$ 之间的距离为 $OE-OF=4-3=1(\mathrm{cm})$. 综上所述, $AB$、$CD$ 之间的距离为 7 cm 或 1 cm.
解析
【分析】
要计算平行弦AB与CD之间的距离，需结合垂径定理和勾股定理，关键是考虑两条平行弦与圆心的两种位置关系：圆心在两弦之间、圆心在两弦同侧。解题步骤为：①过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理得到弦的一半长度；②连接半径，用勾股定理算出圆心到每条弦的距离；③根据两弦与圆心的位置关系，分别计算距离（相加或相减）。
【解析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
BE = ½AB = ½×6 = 3 cm，DF = ½CD = ½×8 = 4 cm。
已知⊙O半径OB = OD = 5 cm，在Rt△OBE中，由勾股定理得：
OE = √(OB² - BE²) = √(5² - 3²) = √16 = 4 cm；
在Rt△ODF中，由勾股定理得：
OF = √(OD² - DF²) = √(5² - 4²) = √9 = 3 cm。
分两种情况讨论：
① 当AB、CD在圆心O的两侧时，两弦距离为OE + OF = 4 + 3 = 7 cm；
② 当AB、CD在圆心O的同侧时，两弦距离为|OE - OF| = |4 - 3| = 1 cm。
【答案】
7 cm 或 1 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦长计算
【点评】
本题是圆的基础常考题型，核心考查垂径定理与勾股定理的应用，易错点是忽略两弦与圆心的位置关系，漏解其中一种情况，需全面考虑图形的多种可能性。
【难度系数】
0.5
要计算平行弦AB与CD之间的距离，需结合垂径定理和勾股定理，关键是考虑两条平行弦与圆心的两种位置关系：圆心在两弦之间、圆心在两弦同侧。解题步骤为：①过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理得到弦的一半长度；②连接半径，用勾股定理算出圆心到每条弦的距离；③根据两弦与圆心的位置关系，分别计算距离（相加或相减）。
【解析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
BE = ½AB = ½×6 = 3 cm，DF = ½CD = ½×8 = 4 cm。
已知⊙O半径OB = OD = 5 cm，在Rt△OBE中，由勾股定理得：
OE = √(OB² - BE²) = √(5² - 3²) = √16 = 4 cm；
在Rt△ODF中，由勾股定理得：
OF = √(OD² - DF²) = √(5² - 4²) = √9 = 3 cm。
分两种情况讨论：
① 当AB、CD在圆心O的两侧时，两弦距离为OE + OF = 4 + 3 = 7 cm；
② 当AB、CD在圆心O的同侧时，两弦距离为|OE - OF| = |4 - 3| = 1 cm。
【答案】
7 cm 或 1 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦长计算
【点评】
本题是圆的基础常考题型，核心考查垂径定理与勾股定理的应用，易错点是忽略两弦与圆心的位置关系，漏解其中一种情况，需全面考虑图形的多种可能性。
【难度系数】
0.5
8. 已知横断面是直径为 2 m 的圆形下水管道的水面宽 $AB = 1.2\ \mathrm{m}$，则下水管道中水的深度为
0.2 m或1.8 m
.答案
8. 0.2 m 或 1.8 m 解析:过点 $O$ 作 $OE⊥ AB$ 交 $AB$ 于点 $D$, 连接 $OB$, 则 $BD=AD=\frac{1}{2}AB=0.6\ \mathrm{m}$. $\because OB=1\ \mathrm{m},\therefore OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{1^2-0.6^2}=0.8(\mathrm{m})$. 如图 1, $DE=OE-OD=1-0.8=0.2(\mathrm{m})$; 如图 2, $DE=OE+OD=1+0.8=1.8(\mathrm{m})$. 综上所述, 下水管道中水的深度为 0.2 m 或 1.8 m.
解析
【分析】
本题是圆的实际应用问题，需结合垂径定理和勾股定理求解。解题思路：①水面是圆的弦AB，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理平分弦，得到弦长的一半；②利用半径和勾股定理算出圆心到弦的距离；③分两种情况（水在弦下方、水在弦上方）计算水深，避免漏解。
【解析】
已知圆形管道直径为2m，故半径OB=OE=1m。过点O作OD⊥AB于D，根据垂径定理，AD=BD=½AB=½×1.2=0.6m。在Rt△ODB中，由勾股定理得：
OD=√(OB² - BD²)=√(1² - 0.6²)=√0.64=0.8(m)。
分两种情况计算水深：
1. 当水在弦AB下方时（如图1），水深DE=OE - OD=1 - 0.8=0.2(m)；
2. 当水在弦AB上方时（如图2），水深DE=OE + OD=1 + 0.8=1.8(m)。
综上，下水管道中水的深度为0.2m或1.8m。
【答案】
0.2 m 或 1.8 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦长计算
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关性质，核心是垂径定理与勾股定理的结合应用，需注意分类讨论水的位置，避免漏解，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
本题是圆的实际应用问题，需结合垂径定理和勾股定理求解。解题思路：①水面是圆的弦AB，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理平分弦，得到弦长的一半；②利用半径和勾股定理算出圆心到弦的距离；③分两种情况（水在弦下方、水在弦上方）计算水深，避免漏解。
【解析】
已知圆形管道直径为2m，故半径OB=OE=1m。过点O作OD⊥AB于D，根据垂径定理，AD=BD=½AB=½×1.2=0.6m。在Rt△ODB中，由勾股定理得：
OD=√(OB² - BD²)=√(1² - 0.6²)=√0.64=0.8(m)。
分两种情况计算水深：
1. 当水在弦AB下方时（如图1），水深DE=OE - OD=1 - 0.8=0.2(m)；
2. 当水在弦AB上方时（如图2），水深DE=OE + OD=1 + 0.8=1.8(m)。
综上，下水管道中水的深度为0.2m或1.8m。
【答案】
0.2 m 或 1.8 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦长计算
【点评】
本题结合实际场景考查圆的相关性质，核心是垂径定理与勾股定理的结合应用，需注意分类讨论水的位置，避免漏解，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
9. 已知$\odot O$的直径$AB=2\ \mathrm{cm}$，过点$A$的两条弦$AC=\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$AD=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，则$∠ CAD$的度数为
75°或15°
.答案
9. $75°$或 $15°$ 解析:连接 $BC$、$BD$、$OC$、$OD$. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ACB=∠ ADB=90°$. $\because OC=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm}),AC=\sqrt{2}\ \mathrm{cm},\therefore OA^2+OC^2=AC^2,\therefore ∠ AOC=90°,\therefore ∠ CAO=45°$. 在 $△ ABD$ 中, 根据勾股定理得 $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=1(\mathrm{cm}),\therefore OB=OD=BD=1\ \mathrm{cm},\therefore ∠ ABD=60°,\therefore ∠ BAD=30°$. 如图 1, 当弦 $AC$、$AD$ 位于直径 $AB$ 的两侧时, $∠ CAD=∠ CAO+∠ BAD=45°+30°=75°$; 如图 2, 当弦 $AC$、$AD$ 位于直径 $AB$ 的同侧时, $∠ CAD=∠ CAO-∠ BAD=45°-30°=15°$. 综上所述, $∠ CAD$ 的度数为 $75°$ 或 $15°$.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用“直径所对的圆周角为直角”构造直角三角形，通过勾股定理和特殊三角形的性质求出相关角度；由于两条弦AC、AD相对于直径AB的位置有两种情况（同侧或两侧），需分类讨论，避免漏解。
【解析】
1. 连接BC、BD、OC、OD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）。
已知AB=2cm，
∴⊙O的半径OA=OC=OD=OB=1cm。
2. 求∠CAO的度数：
在Rt△ACB中，AC=√2 cm，OA=OC=1cm，
∵OA² + OC² =1²+1²=2，AC²=(√2)²=2，
∴OA² + OC²=AC²，
∴△AOC是等腰直角三角形，∠AOC=90°，故∠CAO=45°。
3. 求∠BAD的度数：
在Rt△ADB中，AD=√3 cm，AB=2cm，由勾股定理得：
BD=√(AB² - AD²)=√(4-3)=1cm，
∵OB=OD=BD=1cm，
∴△OBD是等边三角形，∠ABD=60°，
∴在Rt△ADB中，∠BAD=90°-60°=30°。
4. 分类讨论∠CAD的度数：
当AC、AD在AB两侧时：∠CAD=∠CAO + ∠BAD=45°+30°=75°；
当AC、AD在AB同侧时：∠CAD=∠CAO - ∠BAD=45°-30°=15°。
【答案】75°或15°
【知识点】圆周角定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】本题需结合圆的性质构造直角三角形，利用特殊三角形角度求解，关键是分类讨论弦的位置，易因漏解出错，是圆章节的典型易错题。
【难度系数】0.5
要解决本题，首先利用“直径所对的圆周角为直角”构造直角三角形，通过勾股定理和特殊三角形的性质求出相关角度；由于两条弦AC、AD相对于直径AB的位置有两种情况（同侧或两侧），需分类讨论，避免漏解。
【解析】
1. 连接BC、BD、OC、OD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角）。
已知AB=2cm，
∴⊙O的半径OA=OC=OD=OB=1cm。
2. 求∠CAO的度数：
在Rt△ACB中，AC=√2 cm，OA=OC=1cm，
∵OA² + OC² =1²+1²=2，AC²=(√2)²=2，
∴OA² + OC²=AC²，
∴△AOC是等腰直角三角形，∠AOC=90°，故∠CAO=45°。
3. 求∠BAD的度数：
在Rt△ADB中，AD=√3 cm，AB=2cm，由勾股定理得：
BD=√(AB² - AD²)=√(4-3)=1cm，
∵OB=OD=BD=1cm，
∴△OBD是等边三角形，∠ABD=60°，
∴在Rt△ADB中，∠BAD=90°-60°=30°。
4. 分类讨论∠CAD的度数：
当AC、AD在AB两侧时：∠CAD=∠CAO + ∠BAD=45°+30°=75°；
当AC、AD在AB同侧时：∠CAD=∠CAO - ∠BAD=45°-30°=15°。
【答案】75°或15°
【知识点】圆周角定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】本题需结合圆的性质构造直角三角形，利用特殊三角形角度求解，关键是分类讨论弦的位置，易因漏解出错，是圆章节的典型易错题。
【难度系数】0.5
10. 已知$\odot O$的直径为2,弦$AB=1$,则弦AB所对的圆周角的度数为 （
A.$30^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$30^{\circ }$或$150^{\circ }$
D.$60^{\circ }$或$120^{\circ }$
C
）A.$30^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$30^{\circ }$或$150^{\circ }$
D.$60^{\circ }$或$120^{\circ }$
答案
10. C
解析
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为2，因此$\odot O$的半径$r=1$。
连接$OA$、$OB$，可得$OA=OB=1$，又已知弦$AB=1$，因此$OA=OB=AB$，$△ AOB$为等边三角形，由此得圆心角$∠ AOB=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得弦$AB$所对的其中一个圆周角为$\frac{1}{2}∠ AOB=30°$。
由于弦将圆分为两段弧，弦$AB$所对的另一段是优弧，优弧对应的圆心角为$360°-60°=300°$，因此优弧所对的圆周角为$\frac{1}{2}×300°=150°$。
综上，弦$AB$所对的圆周角的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题的易错点是容易忽略弦对应两类不同的弧，漏解只得到单个圆周角的度数，解题时要注意同一条弦对应的圆周角有两个互补的结果，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
解：已知$\odot O$的直径为2，因此$\odot O$的半径$r=1$。
连接$OA$、$OB$，可得$OA=OB=1$，又已知弦$AB=1$，因此$OA=OB=AB$，$△ AOB$为等边三角形，由此得圆心角$∠ AOB=60°$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得弦$AB$所对的其中一个圆周角为$\frac{1}{2}∠ AOB=30°$。
由于弦将圆分为两段弧，弦$AB$所对的另一段是优弧，优弧对应的圆心角为$360°-60°=300°$，因此优弧所对的圆周角为$\frac{1}{2}×300°=150°$。
综上，弦$AB$所对的圆周角的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题的易错点是容易忽略弦对应两类不同的弧，漏解只得到单个圆周角的度数，解题时要注意同一条弦对应的圆周角有两个互补的结果，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
11. 若圆被弦所分成的两条弧长之比为$2:7$，则这条弦所对的圆周角的度数为
40°或140°
.答案
11. $40°$ 或 $140°$ 解析:如图, $\because$ 弦 $AB$ 把 $\odot O$ 分成 $2:7$ 的两部分, $\therefore ∠ AOB=360°×\frac{2}{9}=80°,\therefore ∠ AMB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×80°=40°,\therefore ∠ ANB=180°-∠ AMB=180°-40°=140°$.
解析
【分析】
要解决该问题，需先利用弧长与圆心角的关系求出弦所对应两段弧的圆心角，再结合圆周角定理计算圆周角度数，注意弦所对的圆周角有两个，需考虑两种情况。步骤如下：
1. 由弧长比确定两段弧对应的圆心角：整个圆周的圆心角为360°，弧长比为2:7，总份数为9，据此计算两段弧的圆心角；
2. 利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，计算一段弧对应的圆周角；
3. 根据圆内接四边形对角互补，求出另一段弧对应的圆周角，得到最终结果。
【解析】
已知圆被弦分成的两条弧长之比为$2:7$，整个圆周对应的圆心角为$360°$，总份数为$2+7=9$份。
1. 计算两段弧对应的圆心角：
劣弧对应的圆心角为：$360° × \frac{2}{9}=80°$，
优弧对应的圆心角为：$360° × \frac{7}{9}=280°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
则劣弧所对的圆周角为：$\frac{1}{2} × 80°=40°$，
优弧所对的圆周角为：$\frac{1}{2} × 280°=140°$。
因此这条弦所对的圆周角的度数为$40°$或$140°$。
【答案】
$40°$ 或 $140°$
【知识点】
圆心角与弧的关系，圆周角定理
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是明确弦所对的圆周角有两个，分别位于弦的两侧且度数互补，解题时需注意避免漏解，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先利用弧长与圆心角的关系求出弦所对应两段弧的圆心角，再结合圆周角定理计算圆周角度数，注意弦所对的圆周角有两个，需考虑两种情况。步骤如下：
1. 由弧长比确定两段弧对应的圆心角：整个圆周的圆心角为360°，弧长比为2:7，总份数为9，据此计算两段弧的圆心角；
2. 利用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，计算一段弧对应的圆周角；
3. 根据圆内接四边形对角互补，求出另一段弧对应的圆周角，得到最终结果。
【解析】
已知圆被弦分成的两条弧长之比为$2:7$，整个圆周对应的圆心角为$360°$，总份数为$2+7=9$份。
1. 计算两段弧对应的圆心角：
劣弧对应的圆心角为：$360° × \frac{2}{9}=80°$，
优弧对应的圆心角为：$360° × \frac{7}{9}=280°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
则劣弧所对的圆周角为：$\frac{1}{2} × 80°=40°$，
优弧所对的圆周角为：$\frac{1}{2} × 280°=140°$。
因此这条弦所对的圆周角的度数为$40°$或$140°$。
【答案】
$40°$ 或 $140°$
【知识点】
圆心角与弧的关系，圆周角定理
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，核心是明确弦所对的圆周角有两个，分别位于弦的两侧且度数互补，解题时需注意避免漏解，属于基础几何应用题。
【难度系数】
0.5
12. 已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,若$\odot O$的半径为4 cm,弦AB的长为$4\sqrt{3}$ cm,则$∠ ACB$的度数为
60°或120°
.答案
12. $60°$ 或 $120°$ 解析:如图, 连接 $OA$、$OB$, 过点 $O$ 作 $OD⊥ AB$ 于点 $D$, 则 $AD=BD=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm},\therefore OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=2\ \mathrm{cm},\therefore OD=\frac{1}{2}OA,\therefore ∠ OAD=30°=∠ OBA,\therefore ∠ AOB=120°$. 当点 $C$ 在 $\widehat{AC_1B}$ 上时, $∠ ACB=60°$; 当点 $C$ 在 $\widehat{AC_2B}$ 上时, $∠ ACB=120°$.
解析
【分析】
要确定∠ACB的度数，需先求弦AB对应的圆心角∠AOB。解题思路：①连接OA、OB，过O作OD⊥AB，利用垂径定理得到AD的长度；②在Rt△AOD中，用勾股定理计算OD，进而求出圆心角∠AOB；③由于点C在圆上，AB对应两条弧（优弧、劣弧），需分类讨论点C的位置，结合圆周角定理计算∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
根据垂径定理，得AD = BD = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm。
在Rt△AOD中，OA = 4 cm，由勾股定理得：
OD = $\sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$ cm，
∴ OD = $\frac{1}{2}OA$，
∴ ∠OAD = 30°，同理∠OBD = 30°，
∴ ∠AOB = 180° - 30° - 30° = 120°。
∵ 点C在⊙O上，分两种情况：
① 当点C在优弧AB上时，∠ACB是劣弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：
∠ACB = $\frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{2}×120° = 60°$；
② 当点C在劣弧AB上时，∠ACB是优弧AB所对的圆周角，优弧AB的圆心角为360° - 120° = 240°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}×240° = 120°$。
综上，∠ACB的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质考查圆周角定理与垂径定理的应用，核心是利用垂径定理求圆心角，需注意点C在圆上的两种位置，避免漏解，是易错题，需强化分类讨论思想。
【难度系数】
0.4
要确定∠ACB的度数，需先求弦AB对应的圆心角∠AOB。解题思路：①连接OA、OB，过O作OD⊥AB，利用垂径定理得到AD的长度；②在Rt△AOD中，用勾股定理计算OD，进而求出圆心角∠AOB；③由于点C在圆上，AB对应两条弧（优弧、劣弧），需分类讨论点C的位置，结合圆周角定理计算∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
根据垂径定理，得AD = BD = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm。
在Rt△AOD中，OA = 4 cm，由勾股定理得：
OD = $\sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2$ cm，
∴ OD = $\frac{1}{2}OA$，
∴ ∠OAD = 30°，同理∠OBD = 30°，
∴ ∠AOB = 180° - 30° - 30° = 120°。
∵ 点C在⊙O上，分两种情况：
① 当点C在优弧AB上时，∠ACB是劣弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：
∠ACB = $\frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{2}×120° = 60°$；
② 当点C在劣弧AB上时，∠ACB是优弧AB所对的圆周角，优弧AB的圆心角为360° - 120° = 240°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}×240° = 120°$。
综上，∠ACB的度数为60°或120°。
【答案】
60°或120°
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质考查圆周角定理与垂径定理的应用，核心是利用垂径定理求圆心角，需注意点C在圆上的两种位置，避免漏解，是易错题，需强化分类讨论思想。
【难度系数】
0.4
13. 已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$OD ⊥ BC$，垂足为$D$，且$∠ BOD=32^{ \circ }$，则$∠ BAC$的度数为
32°或148°
.答案
13. $32°$ 或 $148°$ 解析: $\because OD⊥ BC,OB=OC,\therefore ∠ COD=∠ BOD=32°,\therefore ∠ BOC=64°,\therefore ∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=32°$ 或 $∠ BAC=180°-\frac{1}{2}∠ BOC=148°$.
解析
【分析】首先，根据垂径定理，结合OD⊥BC及OB=OC（⊙O半径），可求出圆心角∠BOC的度数；接着，∠BAC是弧BC所对的圆周角，需考虑圆周角在弧BC的两侧（优弧、劣弧），根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，且另一侧圆周角与它互补，因此需分类讨论得出结果。
【解析】因为OD⊥BC，OB=OC（⊙O的半径），根据垂径定理，OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOD=32°，则∠BOC=∠BOD+∠COD=32°+32°=64°。
∠BAC是弧BC所对的圆周角，分两种情况：
1. 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故∠BAC=½∠BOC=½×64°=32°；
2. 当点A在劣弧BC上时，该位置的圆周角与优弧BC所对的圆周角互补，因此∠BAC=180°−½∠BOC=180°−32°=148°。
综上，∠BAC的度数为32°或148°。
【答案】32°或148°
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【点评】本题结合垂径定理与圆周角定理，重点考查分类讨论思想，需注意圆周角的位置不同会导致结果不同，避免漏解。
【难度系数】0.5
【解析】因为OD⊥BC，OB=OC（⊙O的半径），根据垂径定理，OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOD=32°，则∠BOC=∠BOD+∠COD=32°+32°=64°。
∠BAC是弧BC所对的圆周角，分两种情况：
1. 当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故∠BAC=½∠BOC=½×64°=32°；
2. 当点A在劣弧BC上时，该位置的圆周角与优弧BC所对的圆周角互补，因此∠BAC=180°−½∠BOC=180°−32°=148°。
综上，∠BAC的度数为32°或148°。
【答案】32°或148°
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【点评】本题结合垂径定理与圆周角定理，重点考查分类讨论思想，需注意圆周角的位置不同会导致结果不同，避免漏解。
【难度系数】0.5
