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2. 如图,把$\mathrm{Rt}△ ABC$放在直角坐标系内,其中$∠ CAB=90°$,$BC=5$,点$A,B$的坐标分别为$(1,0),(4,0)$。
(1)点$C$的坐标是
(2)将$△ ABC$沿$x$轴向右平移,当点$C$落在直线$y=2x-6$上时,线段$AC$扫过的面积为
(1)点$C$的坐标是
$(1,4)$
。(2)将$△ ABC$沿$x$轴向右平移,当点$C$落在直线$y=2x-6$上时,线段$AC$扫过的面积为
16
。答案
2.(1)$(1,4)$ (2)16
解析
【分析】
(1) 先计算AB的长度，由∠CAB=90°可知AC垂直x轴，因此点C的横坐标与点A相同，再结合勾股定理计算AC的长度，即可得到点C的纵坐标，确定C的坐标。
(2) 三角形沿x轴平移时，点C的纵坐标保持不变，将y=4代入直线解析式求出平移后点C的横坐标，得到水平平移的距离；线段AC扫过的图形是平行四边形，底为平移距离，高为AC的长度，根据平行四边形面积公式即可求出扫过的面积。
【解析】
(1)
∵点A、B的坐标分别为$(1,0)$、$(4,0)$，
∴$AB=4-1=3$。
∵$∠ CAB=90°$，$BC=5$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
又
∵$AC⊥ x$轴，
∴点C的横坐标与A相同为1，纵坐标为4，即$C(1,4)$。
(2) 设$△ABC$沿x轴向右平移了$a$个单位，平移后点C的坐标为$(1+a,4)$。
∵平移后点C落在直线$y=2x-6$上，将$y=4$代入解析式得：
$4=2(1+a)-6$，
解得$a=4$。
线段AC扫过的图形为平行四边形，底为平移距离4，高为AC的长度4，
∴扫过的面积$=4×4=16$。
【答案】
(1) $(1,4)$ (2) $16$
【知识点】
勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质
【点评】
本题是直角三角形、一次函数与平移的综合题，解题关键是掌握平移时点的坐标变化规律，明确扫过图形的形状，是基础的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 先计算AB的长度，由∠CAB=90°可知AC垂直x轴，因此点C的横坐标与点A相同，再结合勾股定理计算AC的长度，即可得到点C的纵坐标，确定C的坐标。
(2) 三角形沿x轴平移时，点C的纵坐标保持不变，将y=4代入直线解析式求出平移后点C的横坐标，得到水平平移的距离；线段AC扫过的图形是平行四边形，底为平移距离，高为AC的长度，根据平行四边形面积公式即可求出扫过的面积。
【解析】
(1)
∵点A、B的坐标分别为$(1,0)$、$(4,0)$，
∴$AB=4-1=3$。
∵$∠ CAB=90°$，$BC=5$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
又
∵$AC⊥ x$轴，
∴点C的横坐标与A相同为1，纵坐标为4，即$C(1,4)$。
(2) 设$△ABC$沿x轴向右平移了$a$个单位，平移后点C的坐标为$(1+a,4)$。
∵平移后点C落在直线$y=2x-6$上，将$y=4$代入解析式得：
$4=2(1+a)-6$，
解得$a=4$。
线段AC扫过的图形为平行四边形，底为平移距离4，高为AC的长度4，
∴扫过的面积$=4×4=16$。
【答案】
(1) $(1,4)$ (2) $16$
【知识点】
勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质
【点评】
本题是直角三角形、一次函数与平移的综合题，解题关键是掌握平移时点的坐标变化规律，明确扫过图形的形状，是基础的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 已知一次函数 $y=(4m+1)x-(m+1)$，
(1) $m$ 为何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小？
(2) $m$ 为何值时，直线位于第二，三，四象限？
(3) $m$ 为何值时，直线不经过第一象限？
(1) $m$ 为何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小？
(2) $m$ 为何值时，直线位于第二，三，四象限？
(3) $m$ 为何值时，直线不经过第一象限？
答案
3.(1)$m＜-\frac{1}{4}$。
(2)$-1＜m＜-\frac{1}{4}$。
(3)$-1≤m＜-\frac{1}{4}$。
(2)$-1＜m＜-\frac{1}{4}$。
(3)$-1≤m＜-\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
本题考查一次函数的图象与系数的关系，解题时先明确一次函数$y=kx+b(k≠0)$中$k$、$b$的作用：①$k$决定函数的增减性：$k＞0$时$y$随$x$增大而增大，$k＜0$时$y$随$x$增大而减小；②$k$、$b$共同决定图象经过的象限。
(1) 要使$y$随$x$增大而减小，只需令一次项系数$k＜0$，列不等式求解即可；
(2) 直线位于第二、三、四象限时，需同时满足$k＜0$（倾斜向下）、$b＜0$（与$y$轴交于负半轴），联立两个不等式求解即可；
(3) 直线不经过第一象限，包含两种情况：一是过第二、三、四象限，二是过第二、四象限（即过原点），因此需满足$k＜0$且$b≤0$，联立不等式求解即可，注意不要遗漏$b=0$的情况。
【解析】
对于一次函数$y=(4m+1)x-(m+1)$，其中一次项系数$k=4m+1$，常数项$b=-(m+1)$。
(1) 若$y$随$x$的增大而减小，则$k＜0$，即：
$4m+1＜0$
解得$m＜-\frac{1}{4}$。
(2) 若直线位于第二、三、四象限，则需满足$\begin{cases}k＜0 \\ b＜0 \end{cases}$，即：
$\begin{cases}4m+1＜0 \\ -(m+1)＜0 \end{cases}$
解第一个不等式得$m＜-\frac{1}{4}$，解第二个不等式得$m＞-1$，
因此不等式组的解集为$-1＜m＜-\frac{1}{4}$。
(3) 若直线不经过第一象限，则需满足$\begin{cases}k＜0 \\ b≤0 \end{cases}$，即：
$\begin{cases}4m+1＜0 \\ -(m+1)≤0 \end{cases}$
解第一个不等式得$m＜-\frac{1}{4}$，解第二个不等式得$m≥-1$，
因此不等式组的解集为$-1≤ m＜-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)$m＜-\frac{1}{4}$；
(2)$-1＜m＜-\frac{1}{4}$；
(3)$-1≤m＜-\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 一次函数图象与系数的关系
3. 一元一次不等式（组）的解法
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心是掌握一次函数中$k$、$b$分别对函数增减性、图象象限的影响，解题时要注意“不经过第一象限”包含过原点的情况，避免遗漏等号导致出错。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的图象与系数的关系，解题时先明确一次函数$y=kx+b(k≠0)$中$k$、$b$的作用：①$k$决定函数的增减性：$k＞0$时$y$随$x$增大而增大，$k＜0$时$y$随$x$增大而减小；②$k$、$b$共同决定图象经过的象限。
(1) 要使$y$随$x$增大而减小，只需令一次项系数$k＜0$，列不等式求解即可；
(2) 直线位于第二、三、四象限时，需同时满足$k＜0$（倾斜向下）、$b＜0$（与$y$轴交于负半轴），联立两个不等式求解即可；
(3) 直线不经过第一象限，包含两种情况：一是过第二、三、四象限，二是过第二、四象限（即过原点），因此需满足$k＜0$且$b≤0$，联立不等式求解即可，注意不要遗漏$b=0$的情况。
【解析】
对于一次函数$y=(4m+1)x-(m+1)$，其中一次项系数$k=4m+1$，常数项$b=-(m+1)$。
(1) 若$y$随$x$的增大而减小，则$k＜0$，即：
$4m+1＜0$
解得$m＜-\frac{1}{4}$。
(2) 若直线位于第二、三、四象限，则需满足$\begin{cases}k＜0 \\ b＜0 \end{cases}$，即：
$\begin{cases}4m+1＜0 \\ -(m+1)＜0 \end{cases}$
解第一个不等式得$m＜-\frac{1}{4}$，解第二个不等式得$m＞-1$，
因此不等式组的解集为$-1＜m＜-\frac{1}{4}$。
(3) 若直线不经过第一象限，则需满足$\begin{cases}k＜0 \\ b≤0 \end{cases}$，即：
$\begin{cases}4m+1＜0 \\ -(m+1)≤0 \end{cases}$
解第一个不等式得$m＜-\frac{1}{4}$，解第二个不等式得$m≥-1$，
因此不等式组的解集为$-1≤ m＜-\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)$m＜-\frac{1}{4}$；
(2)$-1＜m＜-\frac{1}{4}$；
(3)$-1≤m＜-\frac{1}{4}$。
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 一次函数图象与系数的关系
3. 一元一次不等式（组）的解法
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心是掌握一次函数中$k$、$b$分别对函数增减性、图象象限的影响，解题时要注意“不经过第一象限”包含过原点的情况，避免遗漏等号导致出错。
【难度系数】
0.7
4.已知甲、乙两地相距120km，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
(1)求小红离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式。
(2)当时间t(h)为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20km。
(1)求小红离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式。
(2)当时间t(h)为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20km。
答案
4.(1)由题意,设 $OC$ 为 $s=kt$,又过点$(3,80)$,所以 $80=3k$。所以 $k=\frac{80}{3}$。所以 $s=\frac{80}{3}t(0≤t≤3)$。
(2)由题意,设小明的路程为 $s'=k't+b(k'≠0$,$k',b$ 为常数),把$(1,0)$,$(3,120)$代入得$\begin{cases} k'+b=0, \\ 3k'+b=120, \end{cases}$所以 $\begin{cases} k'=60, \\ b=-60, \end{cases}$所以 $s'=60t-60$。所以相遇前,$\frac{80}{3}t-(60t-60)=20$,解得 $t=1.2$;相遇后,$(60t-60)-\frac{80}{3}t=20$,解得 $t=2.4$。所以小红出发 1.2h 或 2.4h 时两人相距 20km,即当 $t$ 值为 1.2 或 2.4 时,都在行驶中的两人恰好相距 20km。
(2)由题意,设小明的路程为 $s'=k't+b(k'≠0$,$k',b$ 为常数),把$(1,0)$,$(3,120)$代入得$\begin{cases} k'+b=0, \\ 3k'+b=120, \end{cases}$所以 $\begin{cases} k'=60, \\ b=-60, \end{cases}$所以 $s'=60t-60$。所以相遇前,$\frac{80}{3}t-(60t-60)=20$,解得 $t=1.2$;相遇后,$(60t-60)-\frac{80}{3}t=20$,解得 $t=2.4$。所以小红出发 1.2h 或 2.4h 时两人相距 20km,即当 $t$ 值为 1.2 或 2.4 时,都在行驶中的两人恰好相距 20km。
解析
【分析】
(1) 观察小红的路程s与时间t的函数图象OC过原点，属于正比例函数，因此设解析式为$s=kt$，只需代入图象上已知点的坐标即可求出k，再结合实际意义写出自变量t的取值范围。
(2) 先根据小明的函数图象DE上的两个已知点，利用待定系数法求出小明的路程与时间的函数解析式；两人都在行驶时，即t的取值范围为$1＜t＜3$，此时两人相距20km需分两种情况讨论：相遇前小红路程比小明多20km，相遇后小明路程比小红多20km，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 设小红的路程与时间的函数表达式为$s=kt$（$k≠0$），
由图象可知函数过点$(3,80)$，将坐标代入得：$80=3k$，
解得$k=\frac{80}{3}$，
结合实际意义，t的取值范围是$0≤ t≤3$，
因此小红的函数表达式为$s=\frac{80}{3}t(0≤ t≤3)$。
(2) 设小明的路程与时间的函数表达式为$s'=k't+b$（$k'≠0$），
由图象可知函数过点$(1,0)$和$(3,120)$，将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases} k'+b=0 \\ 3k'+b=120 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$2k'=120$，解得$k'=60$，
将$k'=60$代入$k'+b=0$，得$b=-60$，
因此小明的函数表达式为$s'=60t-60$。
两人都在行驶时，$1＜t＜3$，分两种情况：
① 相遇前，小红路程比小明多20km：
$\frac{80}{3}t-(60t-60)=20$
解得$t=1.2$，符合$1＜t＜3$；
② 相遇后，小明路程比小红多20km：
$(60t-60)-\frac{80}{3}t=20$
解得$t=2.4$，符合$1＜t＜3$。
【答案】
(1) $s=\frac{80}{3}t(0≤ t≤3)$
(2) $t=1.2$或$t=2.4$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是准确利用待定系数法求出两个函数的解析式，再结合两人的位置关系分情况讨论，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
(1) 观察小红的路程s与时间t的函数图象OC过原点，属于正比例函数，因此设解析式为$s=kt$，只需代入图象上已知点的坐标即可求出k，再结合实际意义写出自变量t的取值范围。
(2) 先根据小明的函数图象DE上的两个已知点，利用待定系数法求出小明的路程与时间的函数解析式；两人都在行驶时，即t的取值范围为$1＜t＜3$，此时两人相距20km需分两种情况讨论：相遇前小红路程比小明多20km，相遇后小明路程比小红多20km，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 设小红的路程与时间的函数表达式为$s=kt$（$k≠0$），
由图象可知函数过点$(3,80)$，将坐标代入得：$80=3k$，
解得$k=\frac{80}{3}$，
结合实际意义，t的取值范围是$0≤ t≤3$，
因此小红的函数表达式为$s=\frac{80}{3}t(0≤ t≤3)$。
(2) 设小明的路程与时间的函数表达式为$s'=k't+b$（$k'≠0$），
由图象可知函数过点$(1,0)$和$(3,120)$，将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases} k'+b=0 \\ 3k'+b=120 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$2k'=120$，解得$k'=60$，
将$k'=60$代入$k'+b=0$，得$b=-60$，
因此小明的函数表达式为$s'=60t-60$。
两人都在行驶时，$1＜t＜3$，分两种情况：
① 相遇前，小红路程比小明多20km：
$\frac{80}{3}t-(60t-60)=20$
解得$t=1.2$，符合$1＜t＜3$；
② 相遇后，小明路程比小红多20km：
$(60t-60)-\frac{80}{3}t=20$
解得$t=2.4$，符合$1＜t＜3$。
【答案】
(1) $s=\frac{80}{3}t(0≤ t≤3)$
(2) $t=1.2$或$t=2.4$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题核心是准确利用待定系数法求出两个函数的解析式，再结合两人的位置关系分情况讨论，解题时要注意自变量的实际取值范围，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
