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10. 如图，在正方形网格中，$△ ABC$的三个顶点都在格点上（正方形网格的交点称为格点），其中$A(4,3)$，$B(3,1)$，$C(1,2)$。将$△ ABC$先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到$△ A_1B_1C_1$，请解答下列问题：
(1) 画出平移后的$△ A_1B_1C_1$。
(2) 写出点$A_1$，$B_1$，$C_1$的坐标。
(3) 平移$△ ABC$，使点$A$，$B$分别落在$y$轴、$x$轴上，请直接写出$△ ABC$的平移过程。
(1) 画出平移后的$△ A_1B_1C_1$。
(2) 写出点$A_1$，$B_1$，$C_1$的坐标。
(3) 平移$△ ABC$，使点$A$，$B$分别落在$y$轴、$x$轴上，请直接写出$△ ABC$的平移过程。
答案
10.(1)如图，$△ A_1 B_1 C_1$即为所求。
(2)由图可知$A_1(-1,1)$，$B_1(-2,-1)$，$C_1(-4,0)$。
(3)将$△ ABC$向左平移4个单位长度，向下平移1个单位长度。
解析
【分析】
（1）平移图形的本质是平移图形的所有顶点，首先根据平移规则：向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，先算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到平移后的△A₁B₁C₁。
（2）直接运用坐标平移的变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，将A、B、C的原坐标分别代入计算，就能得到A₁、B₁、C₁的坐标。
（3）要让点A落在y轴上，y轴上点的横坐标为0，结合点A原横坐标是4，可推出横坐标的变化量；要让点B落在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，结合点B原纵坐标是1，可推出纵坐标的变化量，再根据平移规则就能得到整体的平移过程，注意图形平移时所有点的平移规律一致，需验证平移后A、B的位置符合要求。
【解析】
(1) 先计算三个顶点平移后的坐标：将点向左平移5个单位，横坐标减5，向下平移2个单位，纵坐标减2。得到对应点坐标后，在网格中描出A₁、B₁、C₁，再顺次连接三点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 计算各点坐标：
点A(4,3)平移后：横坐标4-5=-1，纵坐标3-2=1，即A₁(-1,1)；
点B(3,1)平移后：横坐标3-5=-2，纵坐标1-2=-1，即B₁(-2,-1)；
点C(1,2)平移后：横坐标1-5=-4，纵坐标2-2=0，即C₁(-4,0)。
(3) 点A落在y轴上时横坐标为0，原A横坐标为4，因此横坐标需减少4，即向左平移4个单位长度；
点B落在x轴上时纵坐标为0，原B纵坐标为1，因此纵坐标需减少1，即向下平移1个单位长度；
验证：平移后A坐标为(0,2)，在y轴上，B坐标为(-1,0)，在x轴上，符合要求，因此平移过程为向左平移4个单位长度，向下平移1个单位长度。
【答案】
(1)如图，$△ A_1 B_1 C_1$即为所求。
(2)$A_1(-1,1)$，$B_1(-2,-1)$，$C_1(-4,0)$
(3)将$△ ABC$向左平移4个单位长度，向下平移1个单位长度。
【知识点】
坐标平移规律；坐标轴上点的坐标特征；图形的平移作图
【点评】
本题是坐标平面内图形平移的基础题型，重点考查平移时坐标的变化规律和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握“左减右加、上加下减”的坐标变化规则即可快速解题，也为后续学习图形的变换打下基础。
【难度系数】
0.8
（1）平移图形的本质是平移图形的所有顶点，首先根据平移规则：向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，先算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到平移后的△A₁B₁C₁。
（2）直接运用坐标平移的变化规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，将A、B、C的原坐标分别代入计算，就能得到A₁、B₁、C₁的坐标。
（3）要让点A落在y轴上，y轴上点的横坐标为0，结合点A原横坐标是4，可推出横坐标的变化量；要让点B落在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，结合点B原纵坐标是1，可推出纵坐标的变化量，再根据平移规则就能得到整体的平移过程，注意图形平移时所有点的平移规律一致，需验证平移后A、B的位置符合要求。
【解析】
(1) 先计算三个顶点平移后的坐标：将点向左平移5个单位，横坐标减5，向下平移2个单位，纵坐标减2。得到对应点坐标后，在网格中描出A₁、B₁、C₁，再顺次连接三点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 计算各点坐标：
点A(4,3)平移后：横坐标4-5=-1，纵坐标3-2=1，即A₁(-1,1)；
点B(3,1)平移后：横坐标3-5=-2，纵坐标1-2=-1，即B₁(-2,-1)；
点C(1,2)平移后：横坐标1-5=-4，纵坐标2-2=0，即C₁(-4,0)。
(3) 点A落在y轴上时横坐标为0，原A横坐标为4，因此横坐标需减少4，即向左平移4个单位长度；
点B落在x轴上时纵坐标为0，原B纵坐标为1，因此纵坐标需减少1，即向下平移1个单位长度；
验证：平移后A坐标为(0,2)，在y轴上，B坐标为(-1,0)，在x轴上，符合要求，因此平移过程为向左平移4个单位长度，向下平移1个单位长度。
【答案】
(1)如图，$△ A_1 B_1 C_1$即为所求。
(2)$A_1(-1,1)$，$B_1(-2,-1)$，$C_1(-4,0)$
(3)将$△ ABC$向左平移4个单位长度，向下平移1个单位长度。
【知识点】
坐标平移规律；坐标轴上点的坐标特征；图形的平移作图
【点评】
本题是坐标平面内图形平移的基础题型，重点考查平移时坐标的变化规律和坐标轴上点的坐标特征，熟练掌握“左减右加、上加下减”的坐标变化规则即可快速解题，也为后续学习图形的变换打下基础。
【难度系数】
0.8
11. 如图,有$8×8$的正方形网格,按要求操作并计算。
(1)在$8×8$的正方形网格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为$(2,4)$,点B的坐标为$(4,2)$。
(2)将点A先向下平移5个单位长度,再关于y轴对称得到点C,求点C的坐标。
(3)画出$△ ABC$,并求其面积。
(1)在$8×8$的正方形网格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为$(2,4)$,点B的坐标为$(4,2)$。
(2)将点A先向下平移5个单位长度,再关于y轴对称得到点C,求点C的坐标。
(3)画出$△ ABC$,并求其面积。
答案
11.(1)如图所示。
(2)$C(-2,-1)$。
(3)$△ ABC$如图所示。
$S=5×6-6×3÷2-4×5÷2-2×2÷2=9$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知点A坐标为$(2,4)$，说明A在原点右侧2个单位、上方4个单位；点B坐标为$(4,2)$，说明B在原点右侧4个单位、上方2个单位，据此确定原点、x轴、y轴的位置即可建立符合要求的坐标系。
2. 第(2)问：先根据平移的坐标变化规律，向下平移时横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度，得到A平移后的坐标；再根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，计算即可得到C点坐标。
3. 第(3)问：描点连接得到$△ ABC$后，由于没有直接的底和高数据，采用割补法，将三角形放入覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 根据A、B的坐标，确定原点在A点左侧2格、下方4格的位置，画出水平向右的x轴和竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的建立。
(2) 点A$(2,4)$向下平移5个单位长度，横坐标不变，纵坐标减5，得到坐标为$(2,4-5)=(2,-1)$；
再将$(2,-1)$关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数，得到点C的坐标为$(-2,-1)$。
(3) 在坐标系中描出C点，依次连接A、B、C得到$△ ABC$。
用割补法计算面积：
作覆盖$△ ABC$的矩形，矩形的长为6，宽为5，面积为$5×6=30$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×6×3=9$，$\frac{1}{2}×4×5=10$，$\frac{1}{2}×2×2=2$；
因此$△ ABC$的面积$S=30-9-10-2=9$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $C(-2,-1)$
(3) $△ ABC$如图所示，面积为$\boxed{9}$
【知识点】
平面直角坐标系建立；坐标平移与对称变换；格点图形面积计算
【点评】
本题综合考查坐标系基础操作、坐标变化规律以及格点图形面积的计算，解题核心是熟练掌握平移、轴对称的坐标变化规则，以及割补法求不规则图形面积的思路，属于坐标系相关知识的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：已知点A坐标为$(2,4)$，说明A在原点右侧2个单位、上方4个单位；点B坐标为$(4,2)$，说明B在原点右侧4个单位、上方2个单位，据此确定原点、x轴、y轴的位置即可建立符合要求的坐标系。
2. 第(2)问：先根据平移的坐标变化规律，向下平移时横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度，得到A平移后的坐标；再根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，计算即可得到C点坐标。
3. 第(3)问：描点连接得到$△ ABC$后，由于没有直接的底和高数据，采用割补法，将三角形放入覆盖它的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 根据A、B的坐标，确定原点在A点左侧2格、下方4格的位置，画出水平向右的x轴和竖直向上的y轴，完成平面直角坐标系的建立。
(2) 点A$(2,4)$向下平移5个单位长度，横坐标不变，纵坐标减5，得到坐标为$(2,4-5)=(2,-1)$；
再将$(2,-1)$关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数，得到点C的坐标为$(-2,-1)$。
(3) 在坐标系中描出C点，依次连接A、B、C得到$△ ABC$。
用割补法计算面积：
作覆盖$△ ABC$的矩形，矩形的长为6，宽为5，面积为$5×6=30$；
周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×6×3=9$，$\frac{1}{2}×4×5=10$，$\frac{1}{2}×2×2=2$；
因此$△ ABC$的面积$S=30-9-10-2=9$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $C(-2,-1)$
(3) $△ ABC$如图所示，面积为$\boxed{9}$
【知识点】
平面直角坐标系建立；坐标平移与对称变换；格点图形面积计算
【点评】
本题综合考查坐标系基础操作、坐标变化规律以及格点图形面积的计算，解题核心是熟练掌握平移、轴对称的坐标变化规则，以及割补法求不规则图形面积的思路，属于坐标系相关知识的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,2),C(-1,2)。
(1)将△ABC经过一次平移得到△A₁B₁C₁,顶点A的对应点A₁的坐标为(2,3),点B,C的对应点分别为B₁,C₁,请画出平移后的三角形,并求出平移距离。
(2)以原点O为对称中心,画出与△A₁B₁C₁成中心对称的△A₂B₂C₂,并直接写出点A₁的对应点A₂的坐标。
(1)将△ABC经过一次平移得到△A₁B₁C₁,顶点A的对应点A₁的坐标为(2,3),点B,C的对应点分别为B₁,C₁,请画出平移后的三角形,并求出平移距离。
(2)以原点O为对称中心,画出与△A₁B₁C₁成中心对称的△A₂B₂C₂,并直接写出点A₁的对应点A₂的坐标。
答案
12.(1)如图，$△ A_1 B_1 C_1$即为所求作，所以平移距离$=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$。
(2)如图，$△ A_2 B_2 C_2$即为所求作，所以点$A_2$的坐标为$(-2,-3)$。
解析
【分析】
(1) 解决平移问题首先要确定平移规律：平移时图形上所有点的横、纵坐标变化量完全相同，因此先对比A和A₁的坐标，算出横坐标、纵坐标的变化值，即可得到B、C平移后的坐标，描点连线就能画出平移后的三角形；平移距离是对应点连线的长度，结合勾股定理，用横、纵坐标的变化量计算即可。
(2) 关于原点O成中心对称的点，横、纵坐标均互为相反数，根据这个规律可以直接写出A₁、B₁、C₁的对称点坐标，描点连线就能画出中心对称的三角形，同时得到A₂的坐标。
【解析】
(1) 由点A(-2,4)平移后得到对应点A₁(2,3)，可得平移规律为：横坐标加4，纵坐标减1。
因此点B(-4,2)平移后对应点B₁的坐标为(-4+4,2-1)即(0,1)，点C(-1,2)平移后对应点C₁的坐标为(-1+4,2-1)即(3,1)。
描出点B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
平移距离为线段AA₁的长度，横坐标差为2-(-2)=4，纵坐标差为3-4=-1，由勾股定理得：
平移距离$=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
(2) 关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此：
A₁(2,3)的对应点A₂坐标为(-2,-3)，B₁(0,1)的对应点B₂坐标为(0,-1)，C₁(3,1)的对应点C₂坐标为(-3,-1)。
描出点A₂、B₂、C₂，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
【答案】
(1) 如图，平移距离为$\sqrt{17}$；
(2) 如图，点$A_2$的坐标为$(-2,-3)$。
【知识点】
坐标与平移变换；中心对称的坐标特征；勾股定理
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的平移、中心对称作图及相关坐标规律的应用，核心是掌握两种变换下的坐标变化规则，作图时需准确找到对应点的位置。
【难度系数】
0.8
(1) 解决平移问题首先要确定平移规律：平移时图形上所有点的横、纵坐标变化量完全相同，因此先对比A和A₁的坐标，算出横坐标、纵坐标的变化值，即可得到B、C平移后的坐标，描点连线就能画出平移后的三角形；平移距离是对应点连线的长度，结合勾股定理，用横、纵坐标的变化量计算即可。
(2) 关于原点O成中心对称的点，横、纵坐标均互为相反数，根据这个规律可以直接写出A₁、B₁、C₁的对称点坐标，描点连线就能画出中心对称的三角形，同时得到A₂的坐标。
【解析】
(1) 由点A(-2,4)平移后得到对应点A₁(2,3)，可得平移规律为：横坐标加4，纵坐标减1。
因此点B(-4,2)平移后对应点B₁的坐标为(-4+4,2-1)即(0,1)，点C(-1,2)平移后对应点C₁的坐标为(-1+4,2-1)即(3,1)。
描出点B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁，即可得到△A₁B₁C₁。
平移距离为线段AA₁的长度，横坐标差为2-(-2)=4，纵坐标差为3-4=-1，由勾股定理得：
平移距离$=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
(2) 关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此：
A₁(2,3)的对应点A₂坐标为(-2,-3)，B₁(0,1)的对应点B₂坐标为(0,-1)，C₁(3,1)的对应点C₂坐标为(-3,-1)。
描出点A₂、B₂、C₂，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
【答案】
(1) 如图
，平移距离为$\sqrt{17}$；(2) 如图
，点$A_2$的坐标为$(-2,-3)$。【知识点】
坐标与平移变换；中心对称的坐标特征；勾股定理
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的平移、中心对称作图及相关坐标规律的应用，核心是掌握两种变换下的坐标变化规则，作图时需准确找到对应点的位置。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知点A的坐标是$(2,5)$,点P的坐标是$(x,y)$。
(1)将该直角坐标系$xOy$的$x$轴向上平移2个单位长度,$y$轴向左平移1个单位长度,得到新的平面直角坐标系$x'O'y'$。原点$O'$在直角坐标系$xOy$中的坐标是
(2)若将原坐标系的$x$轴向上或向下平移$a$个单位长度,并将$y$轴向左或向右平移$b$个单位长度,从而得到新的坐标系,请用含$a,b$的式子来表示点P在新坐标系中所有可能的坐标:
(1)将该直角坐标系$xOy$的$x$轴向上平移2个单位长度,$y$轴向左平移1个单位长度,得到新的平面直角坐标系$x'O'y'$。原点$O'$在直角坐标系$xOy$中的坐标是
$(-1,2)$
,点A在新坐标系$x'O'y'$中的坐标是$(3,3)$
。(2)若将原坐标系的$x$轴向上或向下平移$a$个单位长度,并将$y$轴向左或向右平移$b$个单位长度,从而得到新的坐标系,请用含$a,b$的式子来表示点P在新坐标系中所有可能的坐标:
$(x\pm b,y\pm a)$
($a,b$均是正数)。答案
13.(1)将该直角坐标系$xOy$的$x$轴向上平移2个单位长度，$y$轴向左平移1个单位长度，得到新的平面直角坐标系$x'O'y'$。原点$O'$在直角坐标系$xOy$中的坐标是$(-1,2)$，点A在新坐标系$x'O'y'$中的坐标是$(2+1,5-2)$，即$(3,3)$，故答案为$(-1,2)$；$(3,3)$。
(2)$(x\pm b,y\pm a)$
(2)$(x\pm b,y\pm a)$
解析
【分析】
解决坐标系平移问题的核心规律是：坐标轴的平移等价于点向相反方向平移。
对于(1)问，先确定新原点位置：y轴向左平移1个单位，说明新y轴对应原坐标系x=-1的直线；x轴向上平移2个单位，说明新x轴对应原坐标系y=2的直线，两直线交点就是新原点O'在原坐标系的位置。求点A的新坐标时，用点的原坐标减去新原点的原坐标即可得到对应新坐标。
对于(2)问，需考虑坐标轴平移的所有方向：y轴可左、右平移b个单位，x轴可上、下平移a个单位，分别对应不同的坐标变换，组合所有情况即可得到结果。
【解析】
(1) 新原点O'是新x轴与新y轴的交点：
y轴向左平移1个单位后，新y轴对应原坐标系中$x=-1$的直线；x轴向上平移2个单位后，新x轴对应原坐标系中$y=2$的直线，因此O'在原坐标系的坐标为$(-1,2)$。
点A原坐标为$(2,5)$，在新坐标系中的横坐标为$2-(-1)=3$，纵坐标为$5-2=3$，即新坐标为$(3,3)$。
(2) 分所有平移情况讨论：
若y轴向左平移b个单位，点P新横坐标为$x+b$；若y轴向右平移b个单位，点P新横坐标为$x-b$；
若x轴向上平移a个单位，点P新纵坐标为$y-a$；若x轴向下平移a个单位，点P新纵坐标为$y+a$；
组合所有平移情况，点P的新坐标所有可能为$(x\pm b,y\pm a)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,2)}$；$\boldsymbol{(3,3)}$
(2) $\boldsymbol{(x\pm b,y\pm a)}$
【知识点】
坐标系平移规律
坐标变换
【点评】
本题考查坐标系平移与点坐标变换的对应关系，解题关键是理解坐标轴平移和点平移方向相反的规律，第二问需要考虑坐标轴平移的所有方向，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决坐标系平移问题的核心规律是：坐标轴的平移等价于点向相反方向平移。
对于(1)问，先确定新原点位置：y轴向左平移1个单位，说明新y轴对应原坐标系x=-1的直线；x轴向上平移2个单位，说明新x轴对应原坐标系y=2的直线，两直线交点就是新原点O'在原坐标系的位置。求点A的新坐标时，用点的原坐标减去新原点的原坐标即可得到对应新坐标。
对于(2)问，需考虑坐标轴平移的所有方向：y轴可左、右平移b个单位，x轴可上、下平移a个单位，分别对应不同的坐标变换，组合所有情况即可得到结果。
【解析】
(1) 新原点O'是新x轴与新y轴的交点：
y轴向左平移1个单位后，新y轴对应原坐标系中$x=-1$的直线；x轴向上平移2个单位后，新x轴对应原坐标系中$y=2$的直线，因此O'在原坐标系的坐标为$(-1,2)$。
点A原坐标为$(2,5)$，在新坐标系中的横坐标为$2-(-1)=3$，纵坐标为$5-2=3$，即新坐标为$(3,3)$。
(2) 分所有平移情况讨论：
若y轴向左平移b个单位，点P新横坐标为$x+b$；若y轴向右平移b个单位，点P新横坐标为$x-b$；
若x轴向上平移a个单位，点P新纵坐标为$y-a$；若x轴向下平移a个单位，点P新纵坐标为$y+a$；
组合所有平移情况，点P的新坐标所有可能为$(x\pm b,y\pm a)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,2)}$；$\boldsymbol{(3,3)}$
(2) $\boldsymbol{(x\pm b,y\pm a)}$
【知识点】
坐标系平移规律
坐标变换
【点评】
本题考查坐标系平移与点坐标变换的对应关系，解题关键是理解坐标轴平移和点平移方向相反的规律，第二问需要考虑坐标轴平移的所有方向，避免漏解。
【难度系数】
0.7
