【例1】小华在学习了用字母表示数的知识后，对用字母表示规律产生了浓厚的兴趣，他用长度完全相等的小木棒搭建了如图所示的四个图形.
(1)观察图形,其中图(1)用了根小木棒,图(2)用了根小木棒,图(3)用了根小木棒;
(2)若按小华的方式继续搭建,猜想图(n)中,小木棒的根数是多少?
(3)根据(2)中的猜想,当$n=300$时,用了多少根小木棒?

解：
(1) 观察图形可得，图(1)用了$\boldsymbol{12}$根小木棒，图(2)用了$\boldsymbol{28}$根小木棒，图(3)用了$\boldsymbol{44}$根小木棒。
(2) 分析已知数据：
图(1)：$12 = 16×1 - 4$
图(2)：$28 = 16×2 - 4$
图(3)：$44 = 16×3 - 4$
由此猜想，图$(n)$中，小木棒的根数是$16n-4$。
(3) 把$n=300$代入$16n-4$得：
$16×300 - 4 = 4800 - 4 = 4796$
答：当$n=300$时，用了4796根小木棒。

【分析】
解决这道题分三步：第一步解决第(1)问，直接逐个计数每个图形的小木棒数量即可；第二步解决第(2)问，先整理前3个图形的小木棒数，观察数量和图形序号的关系，发现每增加1个序号，小木棒数量增加16根，对比序号和对应数量，就能推导出通用的含n的表达式；第三步解决第(3)问，把n=300代入第(2)问得到的代数式，按运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 逐个数图中的小木棒：
图(1)共有12根小木棒，图(2)共有28根小木棒，图(3)共有44根小木棒。
(2) 观察前3个图形的小木棒数量和序号的关系：
当n=1时，$12=16×1-4$；
当n=2时，$28=16×2-4$；
当n=3时，$44=16×3-4$；
由此可猜想，图(n)中小木棒的根数为$16n-4$。
(3) 将$n=300$代入$16n-4$计算：
$16×300 - 4 = 4800 - 4 = 4796$
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{28}$，$\boldsymbol{44}$；
(2) $\boldsymbol{16n-4}$；
(3) $\boldsymbol{4796}$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，通过计数简单图形的数量，观察数量随序号的变化特征归纳通用规律，再代入数值计算，能够很好地锻炼观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

【例2】密码的使用在现代社会极其重要.现有一种密码的明文(真实文),其中的字母按计算机键盘顺序分别与26个自然数1,2,3,…,25,26对应(见表).设明文的任一字母所对应的自然数为$x$,且通过某种规定的对应运算把$x$转化为对应的自然数$x'$,$x'$对应的字母为密文.

例如,有一种译码方法按照以下变换实现:$x→x'$,其中$x'$是$(3x+2)$被26除所得余数与1之和$(1≤x≤26)$.若$x=1,x'=6$,即明文Q译为密文Y;若$x=10,x'=7$,即明文P译为密文U.
现有某种变换,将明文字母对应的自然数$x$变换为密文字母对应的自然数$x'$:$x→x'$,$x'$为$(3x+m)$被26除所得余数与1之和$(1≤x≤26,1≤m≤26)$.已知运用此变换,明文V译为密文M.
(1)求此变换中$m$的值;
(2)求明文VKHA对应的密文.

解：
(1) 由对应表可知，明文V对应的自然数$x=23$，密文M对应的自然数$x'=26$。
根据变换规则可得：$(3×23 + m)$被26除所得余数$+1=26$，
即$(69+m)$被26除所得余数为25。
因为$69=26×2+17$，所以$17+m$被26除所得余数为25。
又$1≤ m≤26$，因此$17+m=25$，解得$m=8$。
(2) 由(1)得变换规则为：$x'$是$(3x+8)$被26除所得余数与1之和。
分别计算明文VKHA中各字母对应的密文：
明文V对应$x=23$：$3×23+8=77$，$77=26×2+25$，余数为25，$x'=25+1=26$，对应字母M；
明文K对应$x=18$：$3×18+8=62$，$62=26×2+10$，余数为10，$x'=10+1=11$，对应字母A；
明文H对应$x=16$：$3×16+8=56$，$56=26×2+4$，余数为4，$x'=4+1=5$，对应字母T；
明文A对应$x=11$：$3×11+8=41$，$41=26×1+15$，余数为15，$x'=15+1=16$，对应字母H。
答：(1) $m$的值为8；(2) 明文VKHA对应的密文为MATH。

【分析】
解决第(1)问时，先根据表格找到明文V、密文M分别对应的自然数，代入给定的变换规则，结合带余除法的性质即可求出m的值。解决第(2)问时，先将求得的m代入变换规则得到完整的运算公式，再依次找出明文VKHA各字母对应的自然数，代入公式计算出对应的密文数字，最后查表得到对应的密文字母，组合即可得到结果。
【解析】
(1) 由对应表可知，明文V对应的自然数$x=23$，密文M对应的自然数$x'=26$。
根据变换规则可得：$(3×23 + m)$被26除所得余数$+1=26$，
即$(69+m)$被26除所得余数为25。
因为$69=26×2+17$，所以$17+m$被26除所得余数为25。
又$1≤ m≤26$，因此$17+m=25$，解得$m=8$。
(2) 由(1)得变换规则为：$x'$是$(3x+8)$被26除所得余数与1之和。
分别计算明文VKHA中各字母对应的密文：
① 明文V对应$x=23$：$3×23+8=77$，$77=26×2+25$，余数为25，$x'=25+1=26$，对应字母M；
② 明文K对应$x=18$：$3×18+8=62$，$62=26×2+10$，余数为10，$x'=10+1=11$，对应字母A；
③ 明文H对应$x=16$：$3×16+8=56$，$56=26×2+4$，余数为4，$x'=4+1=5$，对应字母T；
④ 明文A对应$x=11$：$3×11+8=41$，$41=26×1+15$，余数为15，$x'=15+1=16$，对应字母H。
【答案】
(1) $m=8$；(2) 明文VKHA对应的密文为MATH
【知识点】
新定义运算，带余除法计算，代数式求值
【点评】
本题以密码加密为背景，考查对新运算规则的理解与应用，解题关键是准确对应字母与数字的关系，按照规则正确完成带余除法运算，整体思路清晰，仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7