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12.「2026江苏徐州月考，★☆」抛物线$y_1$和抛物线$y_2=-x^2$的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是$(-3,-2)$，则抛物线$y_1$的表达式为________。
答案
答案 $y_1=-(x+3)^2-2$
解析
∵ 抛物线 $y_1$ 和抛物线 $y_2=-x^2$ 的形状和开口方向完全相同,
∴ $y_1$ 的二次项系数 $a=-1$,
又
∵ 抛物线 $y_1$ 的顶点坐标为 $(-3,-2)$,
∴ $y_1=-(x+3)^2-2$.
故答案为 $y_1=-(x+3)^2-2$.
解析
∵ 抛物线 $y_1$ 和抛物线 $y_2=-x^2$ 的形状和开口方向完全相同,
∴ $y_1$ 的二次项系数 $a=-1$,
又
∵ 抛物线 $y_1$ 的顶点坐标为 $(-3,-2)$,
∴ $y_1=-(x+3)^2-2$.
故答案为 $y_1=-(x+3)^2-2$.
13.「2026甘肃酒泉期中，★☆」如图，已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=kx+m$交于$A(-3,-1),B(0,3)$两点，则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c≥kx+m$的解集是
$-3≤x≤0$
。答案
答案 $-3≤x≤0$
解析
∵ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与直线 $y=kx+m$ 交于 $A(-3,-1),B(0,3)$ 两点,
∴ 不等式 $ax^2+bx+c≥kx+m$ 的解集是 $-3≤x≤0$.
解析
∵ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 与直线 $y=kx+m$ 交于 $A(-3,-1),B(0,3)$ 两点,
∴ 不等式 $ax^2+bx+c≥kx+m$ 的解集是 $-3≤x≤0$.
14.「2026新疆乌鲁木齐期中，★★☆」已知二次函数$y=2x^2 +8x +11$，当$-3≤ x≤0$时，$y$的取值范围是
$3≤y≤11$
。答案
答案 $3≤y≤11$
解析 $y=2x^2+8x+11=2(x^2+4x+4)+3=2(x+2)^2+3$,
∴ 其图象的开口向上,对称轴为直线 $x=-2$.
∴ 当 $x＜-2$ 时,$y$ 随着 $x$ 的增大而减小,
当 $x＞-2$ 时,$y$ 随着 $x$ 的增大而增大,
∴ 当 $x=-2$ 时,$y$ 取得最小值,最小值为 3,
又
∵ 当 $x=0$ 时,$y=11$;当 $x=-3$ 时,$y=5$,
∴ 当 $-3≤x≤0$ 时,$y$ 的取值范围是 $3≤y≤11$.故答案为 $3≤y≤11$.
解析 $y=2x^2+8x+11=2(x^2+4x+4)+3=2(x+2)^2+3$,
∴ 其图象的开口向上,对称轴为直线 $x=-2$.
∴ 当 $x＜-2$ 时,$y$ 随着 $x$ 的增大而减小,
当 $x＞-2$ 时,$y$ 随着 $x$ 的增大而增大,
∴ 当 $x=-2$ 时,$y$ 取得最小值,最小值为 3,
又
∵ 当 $x=0$ 时,$y=11$;当 $x=-3$ 时,$y=5$,
∴ 当 $-3≤x≤0$ 时,$y$ 的取值范围是 $3≤y≤11$.故答案为 $3≤y≤11$.
15.「2026湖南花垣期中，★★☆」如图所示的是一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在AB处，此时桥洞中水面宽度AB仅为4米，桥洞顶部点O到水面AB的距离仅为1米；旱季最低水位线在CD处，此时桥洞中水面宽度CD为12米。那么最低水位CD与最高水位AB之间的距离为
8
米。答案
答案 8
解析 如图,以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系,
设抛物线的函数表达式为 $y=ax^2(a≠0)$,
由题意可得 $B(2,-1)$,
将 $B(2,-1)$ 代入 $y=ax^2$,得 $-1=a×2^2$,解得 $a=-\frac{1}{4}$,
∴ 抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{4}x^2$,
由题意知点 D 的横坐标为 6,
∴ 点 D 的纵坐标为 $-\frac{1}{4}×6^2=-9$,
∴ $D(6,-9)$,
∴ $OF=9$,
∴ $EF=OF-OE=9-1=8$(米),
∴ 最低水位 CD 与最高水位 AB 之间的距离为 8 米.
故答案为 8.
16.「2026浙江义乌期中，★★」如图，在等腰直角三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，点A，B在抛物线$y=x^2$上，点C在y轴上，A，B两点的横坐标分别为1和$b(b＞1)$，则b的值为
2
。答案
答案 2
解析 如图,过 A 作 $AD⊥y$ 轴于 D,过 B 作 $BE⊥y$ 轴于 E,
在等腰直角三角形 ABC 中,$∠ACB=90°$,则 $AC=BC$,
∵ A,B 两点的横坐标分别为 1 和 $b(b＞1)$,
∴ $AD=1$,$BE=b$,
∵ 点 A,B 在抛物线 $y=x^2$ 上,
∴ $A(1,1)$,$B(b,b^2)$,
∵ $∠ACB=90°$,
∴ $∠ACD+∠BCE=90°$,
∵ $∠ACD+∠CAD=90°$,
∴ $∠BCE=∠CAD$,
∴ $△BEC≌△CDA(AAS)$,
∴ $CE=AD=1$,$CD=BE=b$,
∴ $OE=OD+CD+CE=1+b+1=2+b$,
∴ $b^2=2+b$,整理得 $b^2-b-2=0$,解得 $b=2$ 或 $b=-1$(舍去),
∴ $b$ 的值为 2.故答案为 2.
三、解答题(共56分)
17.「2026重庆南川一中期中，★☆」(8分)已知二次函数$y=-2x^2+bx+c$的图象经过点$(1,0),(2,-7)$。
(1)求此二次函数的表达式。
(2)写出此二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
17.「2026重庆南川一中期中，★☆」(8分)已知二次函数$y=-2x^2+bx+c$的图象经过点$(1,0),(2,-7)$。
(1)求此二次函数的表达式。
(2)写出此二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
答案
(1)由条件可得 $\begin{cases}0=-2+b+c,\\-7=-2×2^2+2b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-1,\\c=3,\end{cases}$
即 $y=-2x^2-x+3$.
(2)$y=-2x^2-x+3=-2(x+\frac{1}{4})^2+\frac{25}{8}$,故二次函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{1}{4}$,顶点坐标为 $(-\frac{1}{4},\frac{25}{8})$.
即 $y=-2x^2-x+3$.
(2)$y=-2x^2-x+3=-2(x+\frac{1}{4})^2+\frac{25}{8}$,故二次函数图象的对称轴为直线 $x=-\frac{1}{4}$,顶点坐标为 $(-\frac{1}{4},\frac{25}{8})$.
