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1. (2026·沈阳期末)对于二次函数$y=(x-1)^2 +2$的图象，下列结论不正确的是 (
A.顶点坐标为$(1,2)$
B.与$x$轴有两个交点
C.函数$y$有最小值2
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
B
)A.顶点坐标为$(1,2)$
B.与$x$轴有两个交点
C.函数$y$有最小值2
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
1. B 解析:
∵ 二次函数$y=(x-1)^2 +2$的图象,顶点坐标为(1,2),
∴ A正确;令y=0,得$(x-1)^2+2=0$,即$(x-1)^2=-2$,无实数解,
∴ 与x轴无交点,B错误;
∵ a=1＞0,图象开口向上,
∴ 函数有最小值2,C正确;对称轴为直线x=1,当x≤1时,y随x的增大而减小,
∴ D正确.故选 B.
∵ 二次函数$y=(x-1)^2 +2$的图象,顶点坐标为(1,2),
∴ A正确;令y=0,得$(x-1)^2+2=0$,即$(x-1)^2=-2$,无实数解,
∴ 与x轴无交点,B错误;
∵ a=1＞0,图象开口向上,
∴ 函数有最小值2,C正确;对称轴为直线x=1,当x≤1时,y随x的增大而减小,
∴ D正确.故选 B.
2. 如图为抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象，A,B,C为抛物线与坐标轴的交点，且$OA=OC=1$，则下列关系中正确的是（
A.$ac＜0$
B.$a-b=1$
C.$a+b=-1$
D.$b＞2a$
D
）A.$ac＜0$
B.$a-b=1$
C.$a+b=-1$
D.$b＞2a$
答案
2. D 解析:
∵ OC=1,
∴ c=1.又
∵ x=1时,y＞0,
∴ a+b+1＞0,
∴ a+b＞-1,
∴ 选项C不正确;
∵ 抛物线开口向上,
∴ a＞0.又
∵ c=1,
∴ ac=a＞0,
∴ 选项A不正确;
∵ OA=1,
∴ $x=-\frac{b}{2a}＜-1$.又
∵ a＞0,
∴ b＞2a,
∴ 选项D正确;
∵ OA=1,
∴ x=-1时,y=0,
∴ a-b+c=0.又
∵ c=1,
∴ a-b=-1,
∴ 选项B不正确.故选 D.
∵ OC=1,
∴ c=1.又
∵ x=1时,y＞0,
∴ a+b+1＞0,
∴ a+b＞-1,
∴ 选项C不正确;
∵ 抛物线开口向上,
∴ a＞0.又
∵ c=1,
∴ ac=a＞0,
∴ 选项A不正确;
∵ OA=1,
∴ $x=-\frac{b}{2a}＜-1$.又
∵ a＞0,
∴ b＞2a,
∴ 选项D正确;
∵ OA=1,
∴ x=-1时,y=0,
∴ a-b+c=0.又
∵ c=1,
∴ a-b=-1,
∴ 选项B不正确.故选 D.
3. (2025·广州中考)在平面直角坐标系中，两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2 - 2ax(a＞0)$上，则下列结论中正确的是 (
A.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＜0$时，$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜x_2＜1$时，$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＞0$时，$0＜x_2＜2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时，$y_1＜y_2$
A
)A.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＜0$时，$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜x_2＜1$时，$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＞0$时，$0＜x_2＜2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时，$y_1＜y_2$
答案
3. A 解析:
∵ $y=ax^2-2ax(a＞0)$,
∴ 抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$.易得抛物线与x轴交于点(0,0)和(2,0).把x=1代入$y=ax^2-2ax$,得y=a-2a=-a,
∴ 顶点坐标为(1,-a).
∵ 两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2-2ax(a＞0)$上,
∴ 当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＜0$时,$y_1＞0$(因x＜0时抛物线在x轴上方),故$y_2＜0$,此时$0＜x_2＜2$,故A选项的结论正确;当$x_1＜x_2＜1$时,在对称轴左侧,x越大,y越小,故$y_1＞y_2$,故B选项的结论错误;当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＞0$时,$y_2＞0$,此时$x_2$应满足$x_2＜0$或$x_2＞2$,故C选项的结论错误;当$x_1＞x_2＞1$时,在对称轴右侧,x越大,y越大,即$y_1＞y_2$,故D选项的结论错误.故选 A.
∵ $y=ax^2-2ax(a＞0)$,
∴ 抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$.易得抛物线与x轴交于点(0,0)和(2,0).把x=1代入$y=ax^2-2ax$,得y=a-2a=-a,
∴ 顶点坐标为(1,-a).
∵ 两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2-2ax(a＞0)$上,
∴ 当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＜0$时,$y_1＞0$(因x＜0时抛物线在x轴上方),故$y_2＜0$,此时$0＜x_2＜2$,故A选项的结论正确;当$x_1＜x_2＜1$时,在对称轴左侧,x越大,y越小,故$y_1＞y_2$,故B选项的结论错误;当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＞0$时,$y_2＞0$,此时$x_2$应满足$x_2＜0$或$x_2＞2$,故C选项的结论错误;当$x_1＞x_2＞1$时,在对称轴右侧,x越大,y越大,即$y_1＞y_2$,故D选项的结论错误.故选 A.
4. (2026·成都期中)已知$m＜n$,函数$y=(x-m)(x-n)+1$与$x$轴的交点横坐标为$a,b$,且$a＜b$,则
(
A.$b＞n＞m＞a$
B.$n＞b＞a＞m$
C.$n＞m＞b＞a$
D.$b＞a＞n＞m$
(
B
)A.$b＞n＞m＞a$
B.$n＞b＞a＞m$
C.$n＞m＞b＞a$
D.$b＞a＞n＞m$
答案
4. B 解析:二次函数$y=(x-m)(x-n)$与x轴的交点横坐标为m,n,将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数$y=(x-m)(x-n)+1$的图象,
,观察图象,可知:$n＞b＞a＞m$.5. 二次函数$y=(x-2)(x-6)$图象的对称轴为直线
x=4
答案
5. x=4 解析:
∵ $y=(x-2)(x-6)=x^2-6x-2x+12=x^2-8x+12=(x-4)^2-4$,
∴ 二次函数$y=(x-2)(x-6)$图象的对称轴为直线x=4.
∵ $y=(x-2)(x-6)=x^2-6x-2x+12=x^2-8x+12=(x-4)^2-4$,
∴ 二次函数$y=(x-2)(x-6)$图象的对称轴为直线x=4.
6. 将二次函数$y=2x^2 -8x +13$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式为
$y=2(x-2)^2+5$
.答案
6. $y=2(x-2)^2+5$ 解析:$y=2x^2-8x+13=2(x^2-4x)+13=2(x^2-4x+4-4)+13=2(x^2-4x+4)-8+13=2(x-2)^2+5$.故答案为$y=2(x-2)^2+5$.
7. 已知二次函数$y=x^2+x+1$的图象上有两点$A(x_1,2025)$和$B(x_2,2025)$，则当$x=x_1+x_2$时，二次函数的值是
1
。答案
7. 1 解析:
∵ 二次函数$y=x^2+x+1$的图象上有两点$A(x_1,2025)$和$B(x_2,2025)$,
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{1}{2}$,
∴ $x_1+x_2=-1$,
∴ 当$x=x_1+x_2$时,$y=x^2+x+1=(-1)^2-1+1=1$.
∵ 二次函数$y=x^2+x+1$的图象上有两点$A(x_1,2025)$和$B(x_2,2025)$,
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{1}{2}$,
∴ $x_1+x_2=-1$,
∴ 当$x=x_1+x_2$时,$y=x^2+x+1=(-1)^2-1+1=1$.
8. 抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-3,0)$，对称轴是直线$x=-1$，则$a+b+c=$
0
.答案
8. 0 解析:
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线x=-1,
∴ A(-3,0)对称点坐标为(1,0),
∴ 当x=1时,y=0,即a+b+c=0,故答案为0.
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线x=-1,
∴ A(-3,0)对称点坐标为(1,0),
∴ 当x=1时,y=0,即a+b+c=0,故答案为0.
9. (1)已知二次函数$y=-x^2+2x+1$，当$0≤x≤4$时，$y$的取值范围是
(2)(2026·西安期中)已知二次函数$y=(x-1)^2+2m+1$（$m$为常数），其图象上有两点$A(a-1,y_1)$，$B(a+1,y_2)$，如果$y_1＞y_2$，那么$a$的取值范围是
$-7≤y≤2$
。(2)(2026·西安期中)已知二次函数$y=(x-1)^2+2m+1$（$m$为常数），其图象上有两点$A(a-1,y_1)$，$B(a+1,y_2)$，如果$y_1＞y_2$，那么$a$的取值范围是
$a＜1$
。答案
9. (1)$-7≤y≤2$ 解析:
∵ 二次函数$y=-x^2+2x+1$图象的对称轴为直线x=1,开口向下,
∴ 当x=1时,y有最大值2.又
∵ x=0时,y=1;x=4时,y=-7,
∴ 当0≤x≤4时,y的取值范围是$-7≤y≤2$.(2)$a＜1$ 解析:
∵ 二次函数$y=(x-1)^2+2m+1$(m为常数)图象的对称轴为直线x=1,开口向上,
∴ 点$A(a-1,y_1)$,$B(a+1,y_2)$到对称轴的距离分别为$|a-1-1|$,$|a+1-1|$.
∵ $y_1＞y_2$,
∴ $|a-1-1|＞|a+1-1|$,即$|a-2|＞|a|$,解得$a＜1$.
∵ 二次函数$y=-x^2+2x+1$图象的对称轴为直线x=1,开口向下,
∴ 当x=1时,y有最大值2.又
∵ x=0时,y=1;x=4时,y=-7,
∴ 当0≤x≤4时,y的取值范围是$-7≤y≤2$.(2)$a＜1$ 解析:
∵ 二次函数$y=(x-1)^2+2m+1$(m为常数)图象的对称轴为直线x=1,开口向上,
∴ 点$A(a-1,y_1)$,$B(a+1,y_2)$到对称轴的距离分别为$|a-1-1|$,$|a+1-1|$.
∵ $y_1＞y_2$,
∴ $|a-1-1|＞|a+1-1|$,即$|a-2|＞|a|$,解得$a＜1$.
10. 如图是$y=(x+m)^2+k$的图象,其顶点B的坐标为$(2,-3)$.
(1)求出图象与y轴的交点A的坐标;
(2)当$t≤x≤t+2$时,函数的最小值为-3,求t的取值范围.
(1)求出图象与y轴的交点A的坐标;
(2)当$t≤x≤t+2$时,函数的最小值为-3,求t的取值范围.
答案
10. (1)
∵ 抛物线$y=(x+m)^2+k$的顶点坐标为(2,-3),
∴ $y=(x-2)^2-3$.当x=0时,$y=(0-2)^2-3=1$,
∴ 点A的坐标为(0,1).(2)
∵ $y=(x-2)^2-3$,
∴ 当x=2时,函数有最小值-3.
∴ 当$t≤x≤t+2$时,函数的最小值为-3,
∴ $t≤2≤t+2$,即$0≤t≤2$.
∵ 抛物线$y=(x+m)^2+k$的顶点坐标为(2,-3),
∴ $y=(x-2)^2-3$.当x=0时,$y=(0-2)^2-3=1$,
∴ 点A的坐标为(0,1).(2)
∵ $y=(x-2)^2-3$,
∴ 当x=2时,函数有最小值-3.
∴ 当$t≤x≤t+2$时,函数的最小值为-3,
∴ $t≤2≤t+2$,即$0≤t≤2$.
11.(2026·北京月考)如图在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^2+2x+c$经过点$(0,3)$,顶点为A,点P在此抛物线上,其横坐标为m,过点P作x轴的平行线交直线$x=2$于点Q,以点P为直角顶点,PQ为腰在PQ的上方作等腰直角三角形PQM.当此抛物线在$△ PQM$内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大时,m的取值范围为 
A.$m≤0$
B.$m＞2$
C.$m≤1$
D.$m≥1$
A.$m≤0$
B.$m＞2$
C.$m≤1$
D.$m≥1$
答案
11. A 解析:抛物线$y=-x^2+2x+c$经过点(0,3),
∴ c=3,
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$,对称轴为直线x=1,
∴ 顶点坐标A(1,4).
∵ 点P在此抛物线上,其横坐标为m,过点P作x轴的平行线交直线x=2于点Q,
,∴ $P(m,-m^2+2m+3)$,$Q(2,-m^2+2m+3)$,
∴ PQ=2-m.
∵ 以点P为直角顶点,PQ为腰在PQ的上方作等腰直角三角形PQM,
∴ PM = PQ = 2 - m,
∴ $y_M = 2 - m + (-m^2+2m+3) = -m^2+m+5$,则$M(m,-m^2+m+5)$,设直线MQ的函数表达式为y = kx + b ( k ≠ 0 ),
∴ $\begin{cases} mk+b=-m^2+m+5, \\ 2k+b=-m^2+2m+3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=-m^2+2m+5, \end{cases}$
∴ 直线MQ的函数表达式为$y=-x-m^2+2m+5$,当直线MQ过抛物线顶点A(1,4)时,此抛物线在△PQM内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大,如图所示,
∴ $4=-1-m^2+2m+5$,整理得,$m^2-2m=0$,解得$m_1=0,m_2=2$(舍去),
∴ 当m≤0时,抛物线在△PQM内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大.
