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7 小刚在计算多项式 A 与多项式 $2b^2 - 3b - 5$ 的差时，因一时疏忽忘了把两个多项式分别用括号括起来，结果得到的差是 $2b^2 + 3b + 2$。
（1）求多项式 A；
（2）求出正确的计算结果；
（3）当 $b = -2$ 时，求（2）中计算结果的值。
（1）求多项式 A；
（2）求出正确的计算结果；
（3）当 $b = -2$ 时，求（2）中计算结果的值。
答案
（1）由题意,得$A-2b^2-3b-5=2b^2+3b+2$,则$A=2b^2+3b+2+2b^2+3b+5=4b^2+6b+7$
（2）正确的计算结果是$(4b^2+6b+7)-(2b^2-3b-5)=4b^2+6b+7-2b^2+3b+5=2b^2+9b+12$
（3）当$b=-2$时,原式$=2×(-2)^2+9×(-2)+12=8-18+12=2$
（2）正确的计算结果是$(4b^2+6b+7)-(2b^2-3b-5)=4b^2+6b+7-2b^2+3b+5=2b^2+9b+12$
（3）当$b=-2$时,原式$=2×(-2)^2+9×(-2)+12=8-18+12=2$
解析
【分析】
第(1)问：小刚未给多项式加括号，实际运算为$A - 2b^2 - 3b - 5 = 2b^2 + 3b + 2$，将等式左侧的项移到右侧合并同类项即可求出多项式A。
第(2)问：正确运算为A减去完整的多项式$2b^2 - 3b - 5$，列出正确算式后去括号、合并同类项即可得到结果。
第(3)问：将$b=-2$代入第(2)问的结果，按先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可。
【解析】
（1）由题意得错误运算的等式：
$A - 2b^2 - 3b - 5 = 2b^2 + 3b + 2$
移项计算A：
$A = 2b^2 + 3b + 2 + 2b^2 + 3b + 5$
合并同类项得：$A = 4b^2 + 6b + 7$
（2）正确的运算为：
$(4b^2 + 6b + 7) - (2b^2 - 3b - 5)$
去括号得：$4b^2 + 6b + 7 - 2b^2 + 3b + 5$
合并同类项得：$2b^2 + 9b + 12$
（3）当$b=-2$时，代入$2b^2 + 9b + 12$计算：
原式$=2×(-2)^2 + 9×(-2) + 12$
$=2×4 - 18 + 12$
$=8 - 18 + 12$
$=2$
【答案】
（1）$A=4b^2 + 6b + 7$；（2）$2b^2 + 9b + 12$；（3）$2$
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，去括号法则
【点评】
本题核心考查整式加减的运算逻辑，易错点为去括号时的符号变化，解题时需先根据错误运算反推原多项式，再按正确运算规则计算，代入求值时要遵循有理数运算顺序。
【难度系数】
0.8
第(1)问：小刚未给多项式加括号，实际运算为$A - 2b^2 - 3b - 5 = 2b^2 + 3b + 2$，将等式左侧的项移到右侧合并同类项即可求出多项式A。
第(2)问：正确运算为A减去完整的多项式$2b^2 - 3b - 5$，列出正确算式后去括号、合并同类项即可得到结果。
第(3)问：将$b=-2$代入第(2)问的结果，按先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算即可。
【解析】
（1）由题意得错误运算的等式：
$A - 2b^2 - 3b - 5 = 2b^2 + 3b + 2$
移项计算A：
$A = 2b^2 + 3b + 2 + 2b^2 + 3b + 5$
合并同类项得：$A = 4b^2 + 6b + 7$
（2）正确的运算为：
$(4b^2 + 6b + 7) - (2b^2 - 3b - 5)$
去括号得：$4b^2 + 6b + 7 - 2b^2 + 3b + 5$
合并同类项得：$2b^2 + 9b + 12$
（3）当$b=-2$时，代入$2b^2 + 9b + 12$计算：
原式$=2×(-2)^2 + 9×(-2) + 12$
$=2×4 - 18 + 12$
$=8 - 18 + 12$
$=2$
【答案】
（1）$A=4b^2 + 6b + 7$；（2）$2b^2 + 9b + 12$；（3）$2$
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，去括号法则
【点评】
本题核心考查整式加减的运算逻辑，易错点为去括号时的符号变化，解题时需先根据错误运算反推原多项式，再按正确运算规则计算，代入求值时要遵循有理数运算顺序。
【难度系数】
0.8
8 张师傅再就业，做起了小商品生意.第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，以每件b元的价格购进了30件乙种小商品$(a＞b)$；回来后，根据市场行情，他将这两种小商品以每件$\frac{a+b}{2}$元的价格全部售出，则在这次买卖中，张师傅赚了（
A.$(5a-5b)$元
B.$(10a-10b)$元
C.$(20a-5b)$元
D.$(30a-20b)$元
A
）A.$(5a-5b)$元
B.$(10a-10b)$元
C.$(20a-5b)$元
D.$(30a-20b)$元
答案
A 解析:根据题意,得$20(\frac{a+b}{2}-a)+30(\frac{a+b}{2}-b)=20×\frac{a+b}{2}-20a+30×\frac{a+b}{2}-30b=10a+10b-20a+15a+15b-30b=(5a-5b)$元,所以在这次买卖中,张师傅赚了$(5a-5b)$元.
解析
【分析】
要计算张师傅的总盈利，首先明确“总利润=甲商品总利润+乙商品总利润”，单个商品的利润=售价-进价。我们可以先分别算出甲、乙两种商品每件的利润，再乘以各自的进货数量，最后将两部分利润相加，通过整式的加减化简就能得到最终盈利。
【解析】
根据利润公式，总利润=甲商品利润+乙商品利润，列式计算：
$\begin{aligned}&20(\frac{a+b}{2}-a)+30(\frac{a+b}{2}-b)\\=&20×\frac{a+b}{2}-20a + 30×\frac{a+b}{2}-30b\\=&10(a+b)-20a +15(a+b)-30b\\=&10a+10b-20a+15a+15b-30b\\=&5a-5b\end{aligned}$
因此张师傅在这次买卖中赚了$(5a-5b)$元。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算、整式的加减运算
【点评】
本题结合实际经营场景考查整式的应用，解题的关键是找准利润相关的数量关系列出正确的式子，计算过程中要注意去括号时的符号变化，合并同类项时不要混淆同类项。
【难度系数】
0.8
要计算张师傅的总盈利，首先明确“总利润=甲商品总利润+乙商品总利润”，单个商品的利润=售价-进价。我们可以先分别算出甲、乙两种商品每件的利润，再乘以各自的进货数量，最后将两部分利润相加，通过整式的加减化简就能得到最终盈利。
【解析】
根据利润公式，总利润=甲商品利润+乙商品利润，列式计算：
$\begin{aligned}&20(\frac{a+b}{2}-a)+30(\frac{a+b}{2}-b)\\=&20×\frac{a+b}{2}-20a + 30×\frac{a+b}{2}-30b\\=&10(a+b)-20a +15(a+b)-30b\\=&10a+10b-20a+15a+15b-30b\\=&5a-5b\end{aligned}$
因此张师傅在这次买卖中赚了$(5a-5b)$元。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算、整式的加减运算
【点评】
本题结合实际经营场景考查整式的应用，解题的关键是找准利润相关的数量关系列出正确的式子，计算过程中要注意去括号时的符号变化，合并同类项时不要混淆同类项。
【难度系数】
0.8
9 A，B，C，D四个车站的位置如图所示，车站B距车站A，D的距离分别为$(a+b)\mathrm{km}$，$(5a+3b)\mathrm{km}$，车站C与车站D的距离为$(3a+2b)\mathrm{km}$。其中$a$，$b$是不为0的实数。
（1）求B，C两个车站之间的距离（用含$a$，$b$的代数式表示）；
（2）若B，D两个车站之间的距离比A，B两个车站之间的距离长8 km，求出B，C两个车站相距多少千米。
（1）求B，C两个车站之间的距离（用含$a$，$b$的代数式表示）；
（2）若B，D两个车站之间的距离比A，B两个车站之间的距离长8 km，求出B，C两个车站相距多少千米。
答案
（1）由题图,得$BC=BD-CD=(5a+3b)-(3a+2b)=5a+3b-3a-2b=(2a+b)\mathrm{km}$.答:B,C两个车站之间的距离为$(2a+b)\mathrm{km}$.
（2）由题意,得$BD-AB=8\ \mathrm{km}$,所以$(5a+3b)-(a+b)=8$,整理,得$4a+2b=8$.所以$2a+b=4$.所以$BC=4\ \mathrm{km}$.答:B,C两个车站相距4 km.
（2）由题意,得$BD-AB=8\ \mathrm{km}$,所以$(5a+3b)-(a+b)=8$,整理,得$4a+2b=8$.所以$2a+b=4$.所以$BC=4\ \mathrm{km}$.答:B,C两个车站相距4 km.
解析
【分析】
（1）要求B、C两站的距离，观察线段图可知，B到D的距离减去C到D的距离就是B、C的距离，因此先确定BD和CD对应的代数式，再通过整式减法运算，去括号、合并同类项即可得到结果。
（2）首先根据“B、D两站距离比A、B两站距离长8km”列出等式，对等式左边的整式化简后，会发现式子刚好是（1）中BC代数式的2倍，通过变形得到2a+b的值，用整体代入思想即可直接求出BC的距离，不需要单独计算a、b的值。
【解析】
（1）根据线段的和差关系可得：
$BC=BD-CD$
将$BD=5a+3b$，$CD=3a+2b$代入得：
$\begin{aligned}BC&=(5a+3b)-(3a+2b)\\&=5a+3b-3a-2b\\&=2a+b\end{aligned}$
单位为km。
（2）由题意得$BD-AB=8$，
将$BD=5a+3b$，$AB=a+b$代入得：
$\begin{aligned}(5a+3b)-(a+b)&=8\\4a+2b&=8\end{aligned}$
等式两边同时除以2得$2a+b=4$，
结合（1）的结论$BC=2a+b$，可得$BC=4$，单位为km。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(2a+b)\mathrm{km}}$；
（2）$\boldsymbol{4\mathrm{km}}$
【知识点】
线段的和差计算、整式的加减运算、整体代入求值
【点评】
本题将线段长度计算和整式运算结合考查，解题核心是准确梳理线段之间的数量关系，第二问运用整体代入思想可简化计算，避免了单独求解a、b的繁琐，是整式应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
（1）要求B、C两站的距离，观察线段图可知，B到D的距离减去C到D的距离就是B、C的距离，因此先确定BD和CD对应的代数式，再通过整式减法运算，去括号、合并同类项即可得到结果。
（2）首先根据“B、D两站距离比A、B两站距离长8km”列出等式，对等式左边的整式化简后，会发现式子刚好是（1）中BC代数式的2倍，通过变形得到2a+b的值，用整体代入思想即可直接求出BC的距离，不需要单独计算a、b的值。
【解析】
（1）根据线段的和差关系可得：
$BC=BD-CD$
将$BD=5a+3b$，$CD=3a+2b$代入得：
$\begin{aligned}BC&=(5a+3b)-(3a+2b)\\&=5a+3b-3a-2b\\&=2a+b\end{aligned}$
单位为km。
（2）由题意得$BD-AB=8$，
将$BD=5a+3b$，$AB=a+b$代入得：
$\begin{aligned}(5a+3b)-(a+b)&=8\\4a+2b&=8\end{aligned}$
等式两边同时除以2得$2a+b=4$，
结合（1）的结论$BC=2a+b$，可得$BC=4$，单位为km。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(2a+b)\mathrm{km}}$；
（2）$\boldsymbol{4\mathrm{km}}$
【知识点】
线段的和差计算、整式的加减运算、整体代入求值
【点评】
本题将线段长度计算和整式运算结合考查，解题核心是准确梳理线段之间的数量关系，第二问运用整体代入思想可简化计算，避免了单独求解a、b的繁琐，是整式应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
10 新情境 生活实际 [2026宁波奉化期中]为了加强居民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段以达到节水的目的.该市自来水的收费标准如下表：
(1)若某户居民2月用水4立方米,则该户居民应缴水费
(2)若某户居民3月用水a立方米(其中6＜a＜10),则该户居民应缴水费多少元(用含a的整式表示并化简)?
(3)若某户居民4,5月共用水15立方米(5月用水量超过了4月),设4月用水x立方米,求该户居民4,5两个月共缴水费多少元(用含x的整式表示并化简).
(1)若某户居民2月用水4立方米,则该户居民应缴水费
8
元.(2)若某户居民3月用水a立方米(其中6＜a＜10),则该户居民应缴水费多少元(用含a的整式表示并化简)?
(3)若某户居民4,5月共用水15立方米(5月用水量超过了4月),设4月用水x立方米,求该户居民4,5两个月共缴水费多少元(用含x的整式表示并化简).
答案
（1）8
（2）根据题意,得$6×2+4(a-6)=(4a-12)$元,所以该户居民应缴水费$(4a-12)$元
（3）因为5月用水量超过了4月,所以4月用水量少于7.5立方米.当4月用水量少于5立方米时,5月用水量超过10立方米,则该户居民4,5两个月共缴水费$2x+8(15-x-10)+4×4+6×2=(-6x+68)$元.当4月用水量不低于5立方米,但不超过6立方米时,5月用水量不少于9立方米,但不超过10立方米,则该户居民4,5两个月共缴水费$2x+4(15-x-6)+6×2=(-2x+48)$元.当4月用水量超过6立方米,但少于7.5立方米时,5月用水量超过7.5立方米但少于9立方米,则该户居民4,5两个月共缴水费$4(x-6)+6×2+4(15-x-6)+6×2=36$(元)
（2）根据题意,得$6×2+4(a-6)=(4a-12)$元,所以该户居民应缴水费$(4a-12)$元
（3）因为5月用水量超过了4月,所以4月用水量少于7.5立方米.当4月用水量少于5立方米时,5月用水量超过10立方米,则该户居民4,5两个月共缴水费$2x+8(15-x-10)+4×4+6×2=(-6x+68)$元.当4月用水量不低于5立方米,但不超过6立方米时,5月用水量不少于9立方米,但不超过10立方米,则该户居民4,5两个月共缴水费$2x+4(15-x-6)+6×2=(-2x+48)$元.当4月用水量超过6立方米,但少于7.5立方米时,5月用水量超过7.5立方米但少于9立方米,则该户居民4,5两个月共缴水费$4(x-6)+6×2+4(15-x-6)+6×2=36$(元)
解析
【分析】
（1）首先判断2月用水量4立方米属于“不超出6立方米”的收费档位，直接用用水量乘对应单价即可得到水费。
（2）3月用水量a满足6＜a＜10，水费分两部分计算：前6立方米按2元/立方米收费，超出6立方米的部分(a-6)按4元/立方米收费，将两部分费用相加后化简即可。
（3）已知4、5月总用水量15立方米，且5月用水量超过4月，因此4月用水量x＜7.5立方米。需根据x的取值范围分三类讨论，对应5月用水量的不同收费档位：①当x＜5时，5月用水量大于10，按最高档收费，分别计算两月水费再求和；②当5≤x≤6时，5月用水量在9到10之间，按第二档收费，分别求和化简；③当6＜x＜7.5时，5月用水量在7.5到9之间，也属于第二档，分别计算两月水费相加即可。
【解析】
（1）2月用水4立方米，未超过6立方米，应缴水费为：$4×2=8$元。
（2）当$6＜a＜10$时，前6立方米的费用为$6×2=12$元，超出6立方米部分的费用为$4(a-6)$元，总水费为：
$6×2+4(a-6)=12+4a-24=(4a-12)$元。
（3）由5月用水量超过4月，可得$x＜15-x$，即$x＜7.5$，分三种情况计算：
①当$x＜5$时，$15-x＞10$：
4月水费为$2x$元，5月水费为$6×2 + 4×(10-6) +8×(15-x-10)$元，总水费为：
$2x+6×2 +4×4 +8(5-x)=2x+12+16+40-8x=(-6x+68)$元。
②当$5≤ x≤6$时，$9≤15-x≤10$：
4月水费为$2x$元，5月水费为$6×2 +4(15-x-6)$元，总水费为：
$2x+12+4(9-x)=2x+12+36-4x=(-2x+48)$元。
③当$6＜x＜7.5$时，$7.5＜15-x＜9$：
4月水费为$6×2 +4(x-6)$元，5月水费为$6×2 +4(15-x-6)$元，总水费为：
$12+4(x-6)+12+4(9-x)=12+4x-24+12+36-4x=36$元。
【答案】
（1）$\boxed{8}$
（2）该户居民应缴水费$\boxed{(4a-12)}$元
（3）当$x＜5$时，共缴水费$\boxed{(-6x+68)}$元；当$5≤ x≤6$时，共缴水费$\boxed{(-2x+48)}$元；当$6＜x＜7.5$时，共缴水费$\boxed{36}$元
【知识点】
分段计费，整式化简，分类讨论
【点评】
本题结合生活中水费收取的实际场景，考查分段计费的应用，解题时需要准确匹配不同用水量对应的收费标准，分类讨论时要明确分界点的取值范围，避免漏算或错算，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）首先判断2月用水量4立方米属于“不超出6立方米”的收费档位，直接用用水量乘对应单价即可得到水费。
（2）3月用水量a满足6＜a＜10，水费分两部分计算：前6立方米按2元/立方米收费，超出6立方米的部分(a-6)按4元/立方米收费，将两部分费用相加后化简即可。
（3）已知4、5月总用水量15立方米，且5月用水量超过4月，因此4月用水量x＜7.5立方米。需根据x的取值范围分三类讨论，对应5月用水量的不同收费档位：①当x＜5时，5月用水量大于10，按最高档收费，分别计算两月水费再求和；②当5≤x≤6时，5月用水量在9到10之间，按第二档收费，分别求和化简；③当6＜x＜7.5时，5月用水量在7.5到9之间，也属于第二档，分别计算两月水费相加即可。
【解析】
（1）2月用水4立方米，未超过6立方米，应缴水费为：$4×2=8$元。
（2）当$6＜a＜10$时，前6立方米的费用为$6×2=12$元，超出6立方米部分的费用为$4(a-6)$元，总水费为：
$6×2+4(a-6)=12+4a-24=(4a-12)$元。
（3）由5月用水量超过4月，可得$x＜15-x$，即$x＜7.5$，分三种情况计算：
①当$x＜5$时，$15-x＞10$：
4月水费为$2x$元，5月水费为$6×2 + 4×(10-6) +8×(15-x-10)$元，总水费为：
$2x+6×2 +4×4 +8(5-x)=2x+12+16+40-8x=(-6x+68)$元。
②当$5≤ x≤6$时，$9≤15-x≤10$：
4月水费为$2x$元，5月水费为$6×2 +4(15-x-6)$元，总水费为：
$2x+12+4(9-x)=2x+12+36-4x=(-2x+48)$元。
③当$6＜x＜7.5$时，$7.5＜15-x＜9$：
4月水费为$6×2 +4(x-6)$元，5月水费为$6×2 +4(15-x-6)$元，总水费为：
$12+4(x-6)+12+4(9-x)=12+4x-24+12+36-4x=36$元。
【答案】
（1）$\boxed{8}$
（2）该户居民应缴水费$\boxed{(4a-12)}$元
（3）当$x＜5$时，共缴水费$\boxed{(-6x+68)}$元；当$5≤ x≤6$时，共缴水费$\boxed{(-2x+48)}$元；当$6＜x＜7.5$时，共缴水费$\boxed{36}$元
【知识点】
分段计费，整式化简，分类讨论
【点评】
本题结合生活中水费收取的实际场景，考查分段计费的应用，解题时需要准确匹配不同用水量对应的收费标准，分类讨论时要明确分界点的取值范围，避免漏算或错算，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
