3.「★★★」如图,已知抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于点$A(2m-1,0)$和点$B(m+2,0)$,与y轴交于点C,对称轴为直线$x=-1$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P是直线AC上一动点,过点P作$PQ// y$轴,交抛物线于点Q,以点P为圆心,PQ为半径作$\odot P$,当$\odot P$与坐标轴相切时,求$\odot P$的半径.
(3)直线$y=kx+3k+4(k≠0)$与抛物线交于M,N两点,求$△ AMN$面积的最小值.

3.解析
(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于点$A(2m-1,0)$和点$B(m+2,0)$,对称轴为直线x=-1,
∴点A,B关于对称轴对称,
∴$-1-(2m-1)=m+2-(-1)$,解得m=-1,
∴A(-3,0),B(1,0).
把A,B两点坐标代入$y=x^2+bx+c$,
得$\begin{cases}9-3b+c=0,\\1+b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-3,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$.
(2)对于$y=x^2+2x-3$,令x=0,则y=-3,
∴C(0,-3),
设直线AC的解析式为$y=nx-3(n≠0)$,
把(-3,0)代入,得$-3n-3=0$,解得n=-1,
∴直线AC的解析式为$y=-x-3$,
设点$P(a,-a-3)$,则$Q(a,a^2+2a-3)$,
∴$PQ=|a^2+2a-3-(-a-3)|=|a^2+3a|$,
当⊙P与x轴相切时,$|a^2+3a|=|-a-3|$,
即$a^2+3a=-a-3$或$a^2+3a=-(-a-3)$,
解得a=-1或a=-3或a=1,
当a=-3时,点P,Q与点A重合,不合题意;
当a=-1时,$-a-3=-2$,此时⊙P的半径为2;
当a=1时,$-a-3=-4$,此时⊙P的半径为4.
当⊙P与y轴相切时,$|a^2+3a|=|a|$,
即$a^2+3a=-a$或$a^2+3a=a$,解得a=0或a=-4或a=-2,
当a=0时,点P,Q与点C重合,不合题意;
当a=-4时,⊙P的半径为4;
当a=-2时,⊙P的半径为2.
综上,⊙P的半径为2或4.
(3)
∵$y=kx+3k+4=k(x+3)+4$,
∴直线$y=kx+3k+4$恒过点G(-3,4),
如图,连接AM,AG,AN.
∵A(-3,0),
∴AG⊥x轴,且AG=4,
联立得$\begin{cases}y=kx+3k+4,\\y=x^2+2x-3,\end{cases}$整理得$x^2+(2-k)x-3k-7=0$,
∵$Δ=(2-k)^2-4×1×(-3k-7)=(k+4)^2+16＞0$,
∴$x=\frac{-(2-k)±\sqrt{(k+4)^2+16}}{2}$,
∴$|x_N-x_M|=\sqrt{(k+4)^2+16}$,
∴$S_{△AMN}=\frac{1}{2}AG·|x_N-x_M|=2|x_N-x_M|=2\sqrt{(k+4)^2+16}$,
当k=-4时,$(k+4)^2+16$取最小值,此时△AMN的面积取最小值,最小值为2×4=8.