4.「2026江西新余月考，★★★」二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象与x轴分别交于点$A(1,0),B(3,0)$，与y轴交于点C，点P是这个函数图象上的一个动点.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)如图1，当点P在直线BC下方时，过点P作$PM⊥BC$，垂足为M，求PM的最大值.
(3)如图2，当点P在直线BC上方时，连接PA,PB，直线l是二次函数图象的对称轴，过点P作$PN⊥$直线l，垂足为N，以点N为圆心作圆，PT与$\odot N$相切，切点为T.若以PT的长为边长的正方形的面积与$△ PAB$的面积相等，求$\odot N$的半径.

4.解析
(1)将(1,0),(3,0)代入$y=ax^2+bx+3$,
得$\begin{cases}a+b+3=0,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-4,\end{cases}$
∴这个二次函数的解析式为$y=x^2-4x+3$.
(2)如图,连接PB,PC,过点P作PD//y轴,交BC于点D,

当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
设直线BC的函数解析式为$y=kx+3(k≠0)$,将(3,0)代入,得3k+3=0,解得k=-1,
∴y=-x+3,
设点$P(n,n^2-4n+3)$,则$D(n,-n+3)$,
∴$PD=-n+3-(n^2-4n+3)=-n^2+3n$,
∴$S_{△PBC}=\frac{1}{2}PD·OB=\frac{1}{2}(-n^2+3n)×3=-\frac{3}{2}(n-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$,
∴当$n=\frac{3}{2}$时,$S_{△PBC}$取最大值,为$\frac{27}{8}$,
∵$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$,$S_{△PBC}=\frac{1}{2}BC·PM$,
∴当△PBC的面积最大时,PM取最大值,
∴$\frac{1}{2}BC·PM$的最大值$=\frac{27}{8}$,
∴PM的最大值为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$.
(3)设点$P(t,t^2-4t+3)$,
则$S_{△PAB}=\frac{1}{2}×(3-1)(t^2-4t+3)=t^2-4t+3$,
∵二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{-4}{2}=2$,
∴$PN=|t-2|$,
∴$PN^2=(t-2)^2$,
设⊙N的半径为r,
∵PT与⊙N相切,
∴∠PTN=90°,
∴$PT^2=PN^2-NT^2=(t-2)^2-r^2$,
∵以PT的长为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等,
∴$(t-2)^2-r^2=t^2-4t+3$,
∴$r^2=1$,
∵r＞0,
∴r=1,
∴⊙N的半径是1.