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7. 已知 A，B两地相距 480 km，小明驾车从 A 地出发，匀速驶往 B 地参加活动.
（1）设小明行驶的时间为 x h，行驶速度为 y km/h，求 y 关于 x 的函数表达式.
（2）若从 A 地到 B 地全程速度限定为不超过 120 km/h，小明 8 点出发，需当天 13 点至14 点(含 13 点和 14 点)间到达 B 地，则行驶速度的取值范围为
（3）活动结束后，小明按原路返回. 返回的速度比他出发的速度快 10 km/h，返回到 A地所需时间是他从 A 地到 B 地所需时间的$\frac{5}{6}$倍，求小明返回到 A 地所需时间.
（1）设小明行驶的时间为 x h，行驶速度为 y km/h，求 y 关于 x 的函数表达式.
（2）若从 A 地到 B 地全程速度限定为不超过 120 km/h，小明 8 点出发，需当天 13 点至14 点(含 13 点和 14 点)间到达 B 地，则行驶速度的取值范围为
80~96 km/h
.（3）活动结束后，小明按原路返回. 返回的速度比他出发的速度快 10 km/h，返回到 A地所需时间是他从 A 地到 B 地所需时间的$\frac{5}{6}$倍，求小明返回到 A 地所需时间.
答案
(1) $y=\dfrac{480}{x}$
(2) 若13点到达，则$y=\dfrac{480}{13-8}=96(\mathrm{km/h})$,若14点到达,则$y=\dfrac{480}{14-8}=80(\mathrm{km/h})$,所以$v$的范围为80~96 km/h
(3) $\dfrac{480}{t}=\dfrac{480}{1.2t}+10$,解得$t=8$.所以需要8 h
(2) 若13点到达，则$y=\dfrac{480}{13-8}=96(\mathrm{km/h})$,若14点到达,则$y=\dfrac{480}{14-8}=80(\mathrm{km/h})$,所以$v$的范围为80~96 km/h
(3) $\dfrac{480}{t}=\dfrac{480}{1.2t}+10$,解得$t=8$.所以需要8 h
解析
【分析】
（1）利用行程问题核心公式“路程=速度×时间”，已知总路程固定为480km，将公式变形即可得到y关于x的函数关系，注意实际问题中行驶时间x为正数。
（2）先确定小明的允许行驶时间范围：8点出发，13点到达用时5h，14点到达用时6h，即行驶时间在5~6h之间。结合反比例函数$y=\frac{480}{x}$的单调性（x＞0时，x越大y越小），代入时间的上下限即可得到速度范围，同时验证速度最大值是否符合限速要求。
（3）设返回所需时间为$t$ h，根据“返回时间是去时时间的$\frac{5}{6}$”得出去时时间为$\frac{6}{5}t$ h，再结合“返回速度比出发速度快10km/h”的等量关系列方程求解，最后检验解是否符合实际意义。
【解析】
（1）由路程=速度×时间得：$xy=480$，变形可得$y=\frac{480}{x}$，其中$x＞0$。
（2）小明行驶的最短时间为$13-8=5\ \mathrm{h}$，对应最大速度为$\frac{480}{5}=96\ \mathrm{km/h}$；最长行驶时间为$14-8=6\ \mathrm{h}$，对应最小速度为$\frac{480}{6}=80\ \mathrm{km/h}$。已知全程限速不超过120km/h，$96＜120$符合要求，因此行驶速度范围为$80\mathrm{km/h}≤ v≤96\mathrm{km/h}$。
（3）设小明返回到A地所需时间为$t$ h，则去时所需时间为$t÷\frac{5}{6}=\frac{6}{5}t$ h。
返回速度为$\frac{480}{t}\ \mathrm{km/h}$，出发速度为$\frac{480}{\frac{6}{5}t}=\frac{400}{t}\ \mathrm{km/h}$，根据题意列方程：
$\frac{480}{t}-\frac{400}{t}=10$
化简得$\frac{80}{t}=10$，解得$t=8$。
检验：$t=8$时分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) $y=\dfrac{480}{x}(x＞0)$
(2) $80\mathrm{km/h}≤ v≤96\mathrm{km/h}$
(3) $8\ \mathrm{h}$
【知识点】
反比例函数应用，分式方程应用，行程问题公式
【点评】
本题结合实际出行场景考查函数与方程的应用，解题核心是理清路程、速度、时间三者的数量关系，解题时需注意结合实际限制条件确定变量的取值范围，求解分式方程后要检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
（1）利用行程问题核心公式“路程=速度×时间”，已知总路程固定为480km，将公式变形即可得到y关于x的函数关系，注意实际问题中行驶时间x为正数。
（2）先确定小明的允许行驶时间范围：8点出发，13点到达用时5h，14点到达用时6h，即行驶时间在5~6h之间。结合反比例函数$y=\frac{480}{x}$的单调性（x＞0时，x越大y越小），代入时间的上下限即可得到速度范围，同时验证速度最大值是否符合限速要求。
（3）设返回所需时间为$t$ h，根据“返回时间是去时时间的$\frac{5}{6}$”得出去时时间为$\frac{6}{5}t$ h，再结合“返回速度比出发速度快10km/h”的等量关系列方程求解，最后检验解是否符合实际意义。
【解析】
（1）由路程=速度×时间得：$xy=480$，变形可得$y=\frac{480}{x}$，其中$x＞0$。
（2）小明行驶的最短时间为$13-8=5\ \mathrm{h}$，对应最大速度为$\frac{480}{5}=96\ \mathrm{km/h}$；最长行驶时间为$14-8=6\ \mathrm{h}$，对应最小速度为$\frac{480}{6}=80\ \mathrm{km/h}$。已知全程限速不超过120km/h，$96＜120$符合要求，因此行驶速度范围为$80\mathrm{km/h}≤ v≤96\mathrm{km/h}$。
（3）设小明返回到A地所需时间为$t$ h，则去时所需时间为$t÷\frac{5}{6}=\frac{6}{5}t$ h。
返回速度为$\frac{480}{t}\ \mathrm{km/h}$，出发速度为$\frac{480}{\frac{6}{5}t}=\frac{400}{t}\ \mathrm{km/h}$，根据题意列方程：
$\frac{480}{t}-\frac{400}{t}=10$
化简得$\frac{80}{t}=10$，解得$t=8$。
检验：$t=8$时分母不为0，是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) $y=\dfrac{480}{x}(x＞0)$
(2) $80\mathrm{km/h}≤ v≤96\mathrm{km/h}$
(3) $8\ \mathrm{h}$
【知识点】
反比例函数应用，分式方程应用，行程问题公式
【点评】
本题结合实际出行场景考查函数与方程的应用，解题核心是理清路程、速度、时间三者的数量关系，解题时需注意结合实际限制条件确定变量的取值范围，求解分式方程后要检验解的合理性。
【难度系数】
0.7
8. 某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y天是每天完成的工程量x m/天的反比例函数，其图象经过点(24，50)。
(1) 求y与x之间的函数表达式；
(2) 已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠17 m，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
(1) 求y与x之间的函数表达式；
(2) 已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠17 m，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
答案
(1) $y=\dfrac{1\ 200}{x}(x＞0)$
(2) 当$y=15$时,$15=\dfrac{1\ 200}{x}$,$\therefore x=80$,$80÷17\approx4.7$,需要5台这样的挖掘机
(2) 当$y=15$时,$15=\dfrac{1\ 200}{x}$,$\therefore x=80$,$80÷17\approx4.7$,需要5台这样的挖掘机
解析
【分析】
对于第(1)问，已知y是x的反比例函数，首先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点(24,50)代入解析式求出k值，结合实际意义可知每天完成的工程量x为正数，即可得到函数表达式；对于第(2)问，将$y=15$代入第(1)问求出的函数表达式，计算出每天需要完成的总工程量，再除以单台挖掘机每天的工作量，注意挖掘机数量为正整数，且要保证按时完成任务，需用进一法取整。
【解析】
(1) 设y与x的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0,x＞0)$，
将点$(24,50)$代入表达式，得$50=\dfrac{k}{24}$，
解得$k=24×50=1200$，
因此y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{1200}{x}(x＞0)$。
(2) 当$y=15$时，代入$y=\dfrac{1200}{x}$得：
$15=\dfrac{1200}{x}$，解得$x=80$，即每天需要完成80m的工程量。
每台挖掘机每天开挖17m，因此需要的挖掘机数量为$80÷17\approx4.7$，
由于挖掘机数量为正整数，4台无法满足每天80m的工程量要求，因此需要5台。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1200}{x}(x＞0)$
(2) 需要5台这样的挖掘机
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
3. 实际问题取整
【点评】
本题结合工程场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是先求出反比例函数解析式，再代入对应值求解，需要注意实际问题的结果要符合现实逻辑，取整时不能直接套用四舍五入规则，需结合题意选用合适的取整方法。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，已知y是x的反比例函数，首先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点(24,50)代入解析式求出k值，结合实际意义可知每天完成的工程量x为正数，即可得到函数表达式；对于第(2)问，将$y=15$代入第(1)问求出的函数表达式，计算出每天需要完成的总工程量，再除以单台挖掘机每天的工作量，注意挖掘机数量为正整数，且要保证按时完成任务，需用进一法取整。
【解析】
(1) 设y与x的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠ 0,x＞0)$，
将点$(24,50)$代入表达式，得$50=\dfrac{k}{24}$，
解得$k=24×50=1200$，
因此y与x之间的函数表达式为$y=\dfrac{1200}{x}(x＞0)$。
(2) 当$y=15$时，代入$y=\dfrac{1200}{x}$得：
$15=\dfrac{1200}{x}$，解得$x=80$，即每天需要完成80m的工程量。
每台挖掘机每天开挖17m，因此需要的挖掘机数量为$80÷17\approx4.7$，
由于挖掘机数量为正整数，4台无法满足每天80m的工程量要求，因此需要5台。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1200}{x}(x＞0)$
(2) 需要5台这样的挖掘机
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的实际应用
3. 实际问题取整
【点评】
本题结合工程场景考查反比例函数的基础应用，解题关键是先求出反比例函数解析式，再代入对应值求解，需要注意实际问题的结果要符合现实逻辑，取整时不能直接套用四舍五入规则，需结合题意选用合适的取整方法。
【难度系数】
0.8
9. “双十一”促销活动开始，甲、乙两家商场采用了不同的促销方案. 如果用优惠率 $ p=\frac{k}{m} $（其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲、乙两商场的优惠率 $ p_甲 $，$ p_乙 $ 与顾客购买总金额 m 元之间的函数关系分别如图所示，其中 $ p_乙 $ 与 m 成反比例函数关系，且总金额 m 元的取值范围满足 $ 200≤m＜400 $.
(1) $ k_乙= $
(2) 当购买总金额 m 元满足 $ 200≤m＜400 $，写出甲、乙两家商场正在采取的促销方案.
甲：
(3) 完全相同的商品在甲、乙两家商场的标价都是 m 元($ 200≤m＜400 $)，选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由.
(1) $ k_乙= $
100
，$ k_甲= $ $0.4m$
（用含 m 的代数式表示）.(2) 当购买总金额 m 元满足 $ 200≤m＜400 $，写出甲、乙两家商场正在采取的促销方案.
甲：
打6折促销
；乙：优惠100元
.(3) 完全相同的商品在甲、乙两家商场的标价都是 m 元($ 200≤m＜400 $)，选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由.
答案
(1) 由条件可得$k_乙=100$,由于$p_甲$始终为0.4,即$\dfrac{k_甲}{m}=0.4$,$\therefore k_甲=0.4m$
(2) 打6折促销,优惠100元
(3) 当$200≤ m＜400$时,甲商场需花$0.6m$元,乙商场需花$(m-100)$元,当$m-100=0.6m$时,解得$m=250$,即当$m=250$时,在两家商场购买花费一样多,再由图象易知,当$200≤ m＜250$时,乙商场更优惠;当$250＜m＜400$时,甲商场更优惠
(2) 打6折促销,优惠100元
(3) 当$200≤ m＜400$时,甲商场需花$0.6m$元,乙商场需花$(m-100)$元,当$m-100=0.6m$时,解得$m=250$,即当$m=250$时,在两家商场购买花费一样多,再由图象易知,当$200≤ m＜250$时,乙商场更优惠;当$250＜m＜400$时,甲商场更优惠
解析
【分析】
1. 第(1)问：先明确优惠率公式$p=\frac{k}{m}$的变形$k=pm$。乙的优惠率$p_乙$和$m$成反比例，说明$k_乙$是定值，结合图象中$m=200$时$p_乙=0.5$即可求出$k_乙$；甲的优惠率$p_甲$恒为0.4，代入公式变形即可得到$k_甲$的表达式。
2. 第(2)问：根据优惠金额的特点判断促销方案：甲优惠率固定，说明是按比例打折；乙优惠金额固定，说明是固定金额减免。
3. 第(3)问：先分别表示出两家商场的实际付款金额，先求付款金额相等时的临界$m$值，再结合$m$的取值范围分情况比较大小，即可得出最优方案。
【解析】
(1) 由优惠率公式$p=\frac{k}{m}$可得$k=pm$。
对于乙商场，$p_乙$与$m$成反比例，故$k_乙$为定值，由图象知当$m=200$时$p_乙=0.5$，因此$k_乙=200×0.5=100$；
对于甲商场，由图象知$p_甲=0.4$恒成立，即$\frac{k_甲}{m}=0.4$，变形得$k_甲=0.4m$。
(2) 甲商场优惠率为0.4，即优惠总金额的40%，实际付款为总金额的60%，也就是打6折促销；乙商场优惠金额固定为100元，即固定优惠100元。
(3) 先计算两家商场的实际花费：
甲商场实际花费：$m-0.4m=0.6m$（元）
乙商场实际花费：$m-100$（元）
令$0.6m=m-100$，解得$m=250$，即$m=250$时两家花费相同；
当$m-100＜0.6m$时，解得$m＜250$，结合$200≤ m＜400$得$200≤ m＜250$时乙商场花费更少；
当$m-100＞0.6m$时，解得$m＞250$，结合$200≤ m＜400$得$250＜m＜400$时甲商场花费更少。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100}$；$\boldsymbol{0.4m}$
(2) 打6折促销；优惠100元
(3) 当$m=250$时，两家商场花钱一样多；当$200≤ m＜250$时，选乙商场花钱少；当$250＜m＜400$时，选甲商场花钱少。
【知识点】
反比例函数应用；一元一次不等式应用；方案决策
【点评】
本题结合生活中常见的促销场景命题，考查了函数和不等式的实际应用，需要学生准确理解新定义“优惠率”，会从图象中提取有效信息，同时要掌握分类讨论的思想分析方案选择问题。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：先明确优惠率公式$p=\frac{k}{m}$的变形$k=pm$。乙的优惠率$p_乙$和$m$成反比例，说明$k_乙$是定值，结合图象中$m=200$时$p_乙=0.5$即可求出$k_乙$；甲的优惠率$p_甲$恒为0.4，代入公式变形即可得到$k_甲$的表达式。
2. 第(2)问：根据优惠金额的特点判断促销方案：甲优惠率固定，说明是按比例打折；乙优惠金额固定，说明是固定金额减免。
3. 第(3)问：先分别表示出两家商场的实际付款金额，先求付款金额相等时的临界$m$值，再结合$m$的取值范围分情况比较大小，即可得出最优方案。
【解析】
(1) 由优惠率公式$p=\frac{k}{m}$可得$k=pm$。
对于乙商场，$p_乙$与$m$成反比例，故$k_乙$为定值，由图象知当$m=200$时$p_乙=0.5$，因此$k_乙=200×0.5=100$；
对于甲商场，由图象知$p_甲=0.4$恒成立，即$\frac{k_甲}{m}=0.4$，变形得$k_甲=0.4m$。
(2) 甲商场优惠率为0.4，即优惠总金额的40%，实际付款为总金额的60%，也就是打6折促销；乙商场优惠金额固定为100元，即固定优惠100元。
(3) 先计算两家商场的实际花费：
甲商场实际花费：$m-0.4m=0.6m$（元）
乙商场实际花费：$m-100$（元）
令$0.6m=m-100$，解得$m=250$，即$m=250$时两家花费相同；
当$m-100＜0.6m$时，解得$m＜250$，结合$200≤ m＜400$得$200≤ m＜250$时乙商场花费更少；
当$m-100＞0.6m$时，解得$m＞250$，结合$200≤ m＜400$得$250＜m＜400$时甲商场花费更少。
【答案】
(1) $\boldsymbol{100}$；$\boldsymbol{0.4m}$
(2) 打6折促销；优惠100元
(3) 当$m=250$时，两家商场花钱一样多；当$200≤ m＜250$时，选乙商场花钱少；当$250＜m＜400$时，选甲商场花钱少。
【知识点】
反比例函数应用；一元一次不等式应用；方案决策
【点评】
本题结合生活中常见的促销场景命题，考查了函数和不等式的实际应用，需要学生准确理解新定义“优惠率”，会从图象中提取有效信息，同时要掌握分类讨论的思想分析方案选择问题。
【难度系数】
0.65
