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7.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'.若旋转后点B的对应点B'恰好落在△ABC的边BC上,且AB'=CB',则∠C'的度数是(
A.18°
B.20°
C.24°
D.28°
C
).A.18°
B.20°
C.24°
D.28°
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到相等的边与对应角，再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质，用设未知数列方程的思路求解：首先由旋转得AB=AB'、∠C'=∠C；再根据AB'=CB'推出△AB'C为等腰三角形，设∠C为x，可依次推出∠CAB'=x、外角∠AB'B=2x；再由AB=AB'得∠B=∠AB'B=2x，最后根据△ABC内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
设∠C的度数为$x$，
1. 根据旋转的性质可得：$AB=AB'$，$∠ C'=∠ C=x$；
2. 已知$AB'=CB'$，由等腰三角形等边对等角得$∠ CAB'=∠ C=x$；
3. $∠ AB'B$是$△ AB'C$的外角，根据三角形外角性质得：$∠ AB'B=∠ C+∠ CAB'=x+x=2x$；
4. 由$AB=AB'$，根据等腰三角形等边对等角得$∠ B=∠ AB'B=2x$；
5. 在$△ ABC$中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ BAC=108°$，因此：
$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，即$2x+x+108°=180°$，
解得$3x=72°$，$x=24°$，因此$∠ C'=x=24°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于旋转与三角形性质结合的基础综合题，解题的核心是通过旋转的性质转化边角关系，再结合等腰三角形、三角形内角和的规律列方程求解，是几何角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的性质得到相等的边与对应角，再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质，用设未知数列方程的思路求解：首先由旋转得AB=AB'、∠C'=∠C；再根据AB'=CB'推出△AB'C为等腰三角形，设∠C为x，可依次推出∠CAB'=x、外角∠AB'B=2x；再由AB=AB'得∠B=∠AB'B=2x，最后根据△ABC内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
设∠C的度数为$x$，
1. 根据旋转的性质可得：$AB=AB'$，$∠ C'=∠ C=x$；
2. 已知$AB'=CB'$，由等腰三角形等边对等角得$∠ CAB'=∠ C=x$；
3. $∠ AB'B$是$△ AB'C$的外角，根据三角形外角性质得：$∠ AB'B=∠ C+∠ CAB'=x+x=2x$；
4. 由$AB=AB'$，根据等腰三角形等边对等角得$∠ B=∠ AB'B=2x$；
5. 在$△ ABC$中，三角形内角和为$180°$，已知$∠ BAC=108°$，因此：
$∠ B+∠ C+∠ BAC=180°$，即$2x+x+108°=180°$，
解得$3x=72°$，$x=24°$，因此$∠ C'=x=24°$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于旋转与三角形性质结合的基础综合题，解题的核心是通过旋转的性质转化边角关系，再结合等腰三角形、三角形内角和的规律列方程求解，是几何角度计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$△ ABC$中$∠ BAC=55°$,将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$α(0°＜α＜55°)$得到$△ ADE$,$DE$交$AC$于点$F$.当$α=40°$时,点$D$恰好落在$BC$上,此时$∠ AFE$的度数是(
A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
B
).A.$80°$
B.$85°$
C.$90°$
D.$95°$
答案
8.B
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到对应边、对应角的等量关系以及旋转角的度数：首先由旋转可知AB=AD，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE=55°，旋转角∠BAD=∠CAE=40°。第一步先在等腰△ABD中根据等腰三角形两底角相等的性质求出∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数，即可得到对应角∠E的度数，最后在△AEF中利用三角形内角和定理就能求出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，
∴AB=AD，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE=55°，旋转角∠BAD=∠CAE=40°。
∵AB=AD，∠BAD=40°，
∴$∠ B=∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ BAC-∠ B=180°-55°-70°=55°$，
∴$∠ E=∠ C=55°$。
在△AEF中：
$∠ AFE=180°-∠ CAE-∠ E=180°-40°-55°=85°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题型，核心是通过旋转的性质得到边角的等量关系，再结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识计算角度，解题时注意不要混淆旋转前后的对应角即可。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的性质得到对应边、对应角的等量关系以及旋转角的度数：首先由旋转可知AB=AD，∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE=55°，旋转角∠BAD=∠CAE=40°。第一步先在等腰△ABD中根据等腰三角形两底角相等的性质求出∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数，即可得到对应角∠E的度数，最后在△AEF中利用三角形内角和定理就能求出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，
∴AB=AD，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE=55°，旋转角∠BAD=∠CAE=40°。
∵AB=AD，∠BAD=40°，
∴$∠ B=∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ C=180°-∠ BAC-∠ B=180°-55°-70°=55°$，
∴$∠ E=∠ C=55°$。
在△AEF中：
$∠ AFE=180°-∠ CAE-∠ E=180°-40°-55°=85°$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是图形旋转的基础应用题型，核心是通过旋转的性质得到边角的等量关系，再结合等腰三角形和三角形内角和的相关知识计算角度，解题时注意不要混淆旋转前后的对应角即可。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ AOB$中,$∠ AOB=90°$,$OA=OB=6$.将$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转$45°$,得到$△ A'OB'$,$A'B'$与$OB$相交于点$D$,则$BD$的长是________.
答案
9.$6-3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角大小不变。首先根据原△AOB是等腰直角三角形，得出∠B=45°，再结合旋转角为45°，可推出△ODB'是等腰直角三角形，先求出OD的长度，再用OB的长度减去OD的长度即可得到BD的长。
【解析】
解：
∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，
∴∠B=45°，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转45°得到△A'OB'，
∴∠BOB'=45°，OB'=OB=6，∠B'=∠B=45°，
在△ODB'中，∠DOB'=45°，∠B'=45°，
∴∠ODB'=180°-45°-45°=90°，且OD=DB'，即△ODB'为等腰直角三角形，
设OD=DB'=x，由勾股定理得：$OD^2+DB'^2=OB'^2$，
代入得$x^2+x^2=6^2$，即$2x^2=36$，解得$x=3\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根），
∴$OD=3\sqrt{2}$，
∴$BD=OB-OD=6-3\sqrt{2}$。
【答案】
$6-3\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的核心是利用旋转的性质找到相等的边与角，判断出特殊的等腰直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，需要注意旋转角的确定，计算时要注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角大小不变。首先根据原△AOB是等腰直角三角形，得出∠B=45°，再结合旋转角为45°，可推出△ODB'是等腰直角三角形，先求出OD的长度，再用OB的长度减去OD的长度即可得到BD的长。
【解析】
解：
∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，
∴∠B=45°，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转45°得到△A'OB'，
∴∠BOB'=45°，OB'=OB=6，∠B'=∠B=45°，
在△ODB'中，∠DOB'=45°，∠B'=45°，
∴∠ODB'=180°-45°-45°=90°，且OD=DB'，即△ODB'为等腰直角三角形，
设OD=DB'=x，由勾股定理得：$OD^2+DB'^2=OB'^2$，
代入得$x^2+x^2=6^2$，即$2x^2=36$，解得$x=3\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根），
∴$OD=3\sqrt{2}$，
∴$BD=OB-OD=6-3\sqrt{2}$。
【答案】
$6-3\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算类题型，解题的核心是利用旋转的性质找到相等的边与角，判断出特殊的等腰直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，需要注意旋转角的确定，计算时要注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.7
10.如图，点P是等腰直角三角形ABC外一点，∠ABC=90°，将BP绕点B顺时针旋转90°得到BP'，已知∠AP'B=135°，P'A=1，P'C=3，求PB的长.
答案
10.连接 PA 和 PP'.
由旋转得 $P'B=PB$,在$△ ABC$ 中 $AB=BC$,
$\because ∠ABC=∠PBP'=90°,∴∠CBP'=∠ABP$,
$\therefore △CBP'≌△ABP(SAS),∴PA=P'C=3.$
$\because P'B=PB,∠PBP'=90°,∴∠BP'P=45°,P'P=\sqrt{2} PB$,
$\because ∠AP'B=135°,∴∠AP'P=90°$,
在 $Rt△ AP'P$ 中 $P'P=\sqrt{PA^2-P'A^2}=2\sqrt{2}$,则 $PB=2.$
解析
【分析】
解题时首先结合已知的旋转条件和等腰直角三角形的特征思考：先利用旋转性质得到相等的边和角，结合等腰直角△ABC的边相等、夹角为90°的特点，推导角相等证明△CBP'和△ABP全等，将P'C转化为PA；再判断△PBP'是等腰直角三角形，得到底角∠BP'P=45°，结合已知∠AP'B=135°推出∠AP'P是直角，最后在Rt△AP'P中用勾股定理求出P'P的长度，即可计算得到PB的长度。
【解析】
连接PA和PP'。
由旋转的性质可得：$P'B=PB$，$∠ PBP'=90°$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=∠ PBP'=90°$，
∴$∠ ABC - ∠ ABP' = ∠ PBP' - ∠ ABP'$，即$∠ CBP'=∠ ABP$。
在$△ CBP'$和$△ ABP$中：
$\begin{cases}BC=BA \\∠ CBP'=∠ ABP \\BP'=BP\end{cases}$
∴$△ CBP'≌△ ABP(SAS)$，
∴$PA=P'C=3$。
∵$P'B=PB$，$∠ PBP'=90°$，
∴△PBP'是等腰直角三角形，
∴$∠ BP'P=45°$，$P'P=\sqrt{PB^2 + P'B^2}=\sqrt{2} PB$。
∵$∠ AP'B=135°$，
∴$∠ AP'P=∠ AP'B - ∠ BP'P=135° - 45°=90°$，即△AP'P是直角三角形。
在$Rt△ AP'P$中，由勾股定理得：
$P'P=\sqrt{PA^2 - P'A^2}=\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
又
∵$P'P=\sqrt{2} PB$，
∴$\sqrt{2} PB=2\sqrt{2}$，解得$PB=2$。
【答案】
PB的长为2
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转应用的典型题型，通过构造全等三角形将分散的已知线段集中到同一个三角形中，再结合角度推导得到直角三角形，利用勾股定理求解，解题关键是找准全等三角形的对应关系，明确旋转前后的不变量。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合已知的旋转条件和等腰直角三角形的特征思考：先利用旋转性质得到相等的边和角，结合等腰直角△ABC的边相等、夹角为90°的特点，推导角相等证明△CBP'和△ABP全等，将P'C转化为PA；再判断△PBP'是等腰直角三角形，得到底角∠BP'P=45°，结合已知∠AP'B=135°推出∠AP'P是直角，最后在Rt△AP'P中用勾股定理求出P'P的长度，即可计算得到PB的长度。
【解析】
连接PA和PP'。
由旋转的性质可得：$P'B=PB$，$∠ PBP'=90°$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ ABC=90°$，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=∠ PBP'=90°$，
∴$∠ ABC - ∠ ABP' = ∠ PBP' - ∠ ABP'$，即$∠ CBP'=∠ ABP$。
在$△ CBP'$和$△ ABP$中：
$\begin{cases}BC=BA \\∠ CBP'=∠ ABP \\BP'=BP\end{cases}$
∴$△ CBP'≌△ ABP(SAS)$，
∴$PA=P'C=3$。
∵$P'B=PB$，$∠ PBP'=90°$，
∴△PBP'是等腰直角三角形，
∴$∠ BP'P=45°$，$P'P=\sqrt{PB^2 + P'B^2}=\sqrt{2} PB$。
∵$∠ AP'B=135°$，
∴$∠ AP'P=∠ AP'B - ∠ BP'P=135° - 45°=90°$，即△AP'P是直角三角形。
在$Rt△ AP'P$中，由勾股定理得：
$P'P=\sqrt{PA^2 - P'A^2}=\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
又
∵$P'P=\sqrt{2} PB$，
∴$\sqrt{2} PB=2\sqrt{2}$，解得$PB=2$。
【答案】
PB的长为2
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转应用的典型题型，通过构造全等三角形将分散的已知线段集中到同一个三角形中，再结合角度推导得到直角三角形，利用勾股定理求解，解题关键是找准全等三角形的对应关系，明确旋转前后的不变量。
【难度系数】
0.6
11.如图,已知 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$BC=6$,$AC=12$,点 $D$ 在 $AC$ 上,且 $AD=8$.将线段 $AD$ 绕点 $A$ 旋转至 $AD'$,$F$ 为 $BD'$ 的中点.线段 $CF$ 的长的最大值是多少?
答案
11.取 AB 的中点 M,连接 FM 和 CM.
由旋转得 $AD'=AD=8.$
$\because M$ 为 $AB$ 的中点,$F$ 为 $BD'$ 的中点,$\therefore FM=\frac{1}{2}AD'=4.$
$\because ∠ACB=90°,AC=12,BC=6,∴AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=6\sqrt{5},$
$\because M$ 为 $AB$ 的中点,$\therefore CM=3\sqrt{5}.$
当且仅当 $M,F,C$ 三点共线且 $M$ 在线段 $CF$ 上时 $CF$ 最大,
此时 $CF=CM+FM=4+3\sqrt{5}.$
解析
【分析】
要求CF的最大值，首先观察已知条件：F是BD'的中点，线段AD绕A旋转得到AD'，故AD'为定长。遇到含中点的线段最值问题，可通过构造中位线转化线段关系：首先取AB的中点M，连接FM、CM，一方面FM是△ABD'的中位线，长度为定值；另一方面在Rt△ABC中，CM是斜边中线，长度也为定值。再结合三角形三边关系，当C、M、F三点共线且M在CF之间时，CF取得最大值，等于两个定长线段的和，按此思路逐步计算即可。
【解析】
取AB的中点M，连接FM和CM，
由旋转的性质可得：$AD'=AD=8$。
∵M为AB的中点，F为$BD'$的中点，
∴FM是$△ ABD'$的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}AD'=\frac{1}{2}×8=4$。
∵$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=6$，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}$，
又
∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
根据三角形三边关系可得$CF≤ CM+FM$，当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时，等号成立，此时CF取最大值，最大值为$CM+FM=3\sqrt{5}+4$。
【答案】
线段CF的最大值为$4+3\sqrt{5}$。
【知识点】
旋转的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是线段最值类的典型题型，解题核心是通过构造辅助线，将未知动线段的最值转化为两个定线段的和求解，这种构造中位线和斜边中线的方法，在处理含中点的几何最值问题中非常常用，要熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
要求CF的最大值，首先观察已知条件：F是BD'的中点，线段AD绕A旋转得到AD'，故AD'为定长。遇到含中点的线段最值问题，可通过构造中位线转化线段关系：首先取AB的中点M，连接FM、CM，一方面FM是△ABD'的中位线，长度为定值；另一方面在Rt△ABC中，CM是斜边中线，长度也为定值。再结合三角形三边关系，当C、M、F三点共线且M在CF之间时，CF取得最大值，等于两个定长线段的和，按此思路逐步计算即可。
【解析】
取AB的中点M，连接FM和CM，
由旋转的性质可得：$AD'=AD=8$。
∵M为AB的中点，F为$BD'$的中点，
∴FM是$△ ABD'$的中位线，
∴$FM=\frac{1}{2}AD'=\frac{1}{2}×8=4$。
∵$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=6$，
∴由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}$，
又
∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴$CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
根据三角形三边关系可得$CF≤ CM+FM$，当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时，等号成立，此时CF取最大值，最大值为$CM+FM=3\sqrt{5}+4$。
【答案】
线段CF的最大值为$4+3\sqrt{5}$。
【知识点】
旋转的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是线段最值类的典型题型，解题核心是通过构造辅助线，将未知动线段的最值转化为两个定线段的和求解，这种构造中位线和斜边中线的方法，在处理含中点的几何最值问题中非常常用，要熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6
