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8. A,B两地相距 50 km,甲、乙两人分别从 A,B 两地出发,相向而行,甲每小时比乙多行2 km,若两人同时出发,经过3 h相遇.如果设甲的速度为x km/h,那么可列怎样的方程?
答案
$3[x+(x-2)]=50$
解析
【分析】
这是一道行程类的相向相遇问题，解题思路分三步：第一步先根据甲的速度表示出乙的速度，题目明确甲每小时比乙多行2km，设甲速度为x km/h，就能直接写出乙的速度；第二步回忆相遇问题的核心等量关系：两人同时出发到相遇时，各自走的路程之和等于两地总距离，也可以用（甲速度+乙速度）×相遇时间=总路程；第三步把对应的量代入等量关系就能列出方程。
【解析】
解：设甲的速度为x km/h，
∵甲每小时比乙多行2 km，
∴乙的速度为(x-2) km/h，
已知两人相向而行，同时出发经过3h相遇，相遇时两人行驶的路程和等于A、B两地的距离50km，
甲3h行驶的路程为3x km，乙3h行驶的路程为3(x-2) km，
因此可列方程：$3x + 3(x-2) = 50$，
整理得：$3[x+(x-2)]=50$。
【答案】
$3[x+(x-2)]=50$
【知识点】
列一元一次方程，相遇行程问题
【点评】
本题是列方程解决实际问题的基础题型，核心是找准相遇问题的等量关系，正确用含未知数的式子表示未知量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的相向相遇问题，解题思路分三步：第一步先根据甲的速度表示出乙的速度，题目明确甲每小时比乙多行2km，设甲速度为x km/h，就能直接写出乙的速度；第二步回忆相遇问题的核心等量关系：两人同时出发到相遇时，各自走的路程之和等于两地总距离，也可以用（甲速度+乙速度）×相遇时间=总路程；第三步把对应的量代入等量关系就能列出方程。
【解析】
解：设甲的速度为x km/h，
∵甲每小时比乙多行2 km，
∴乙的速度为(x-2) km/h，
已知两人相向而行，同时出发经过3h相遇，相遇时两人行驶的路程和等于A、B两地的距离50km，
甲3h行驶的路程为3x km，乙3h行驶的路程为3(x-2) km，
因此可列方程：$3x + 3(x-2) = 50$，
整理得：$3[x+(x-2)]=50$。
【答案】
$3[x+(x-2)]=50$
【知识点】
列一元一次方程，相遇行程问题
【点评】
本题是列方程解决实际问题的基础题型，核心是找准相遇问题的等量关系，正确用含未知数的式子表示未知量即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
9. 阅读下列材料，解答下列问题：
关于 $ x $ 的方程：
$ x^3 + x = 1^3 + 1 $ 的解是 $ x=1 $；
$ x^3 + x = 2^3 + 2 $ 的解是 $ x=2 $；
$ x^3 + x = (-2)^3 + (-2) $ 的解是 $ x=-2 $；
……
（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于 $ x $ 的方程 $ x^3 + x = 4^3 + 4 $ 的解为
（2）比较关于 $ x $ 的方程 $ x^3 + x = a^3 + a $ 与上面各式的关系，猜想它的解是
（3）请验证第（2）问猜想的结论.
（4）利用第（2）问的结论，求解关于 $ x $ 的方程 $ (x-1)^3 + x = (a+1)^3 + a + 2 $ 的解.
关于 $ x $ 的方程：
$ x^3 + x = 1^3 + 1 $ 的解是 $ x=1 $；
$ x^3 + x = 2^3 + 2 $ 的解是 $ x=2 $；
$ x^3 + x = (-2)^3 + (-2) $ 的解是 $ x=-2 $；
……
（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于 $ x $ 的方程 $ x^3 + x = 4^3 + 4 $ 的解为
$x=4$
.（2）比较关于 $ x $ 的方程 $ x^3 + x = a^3 + a $ 与上面各式的关系，猜想它的解是
$x=a$
.（3）请验证第（2）问猜想的结论.
（4）利用第（2）问的结论，求解关于 $ x $ 的方程 $ (x-1)^3 + x = (a+1)^3 + a + 2 $ 的解.
答案
(1) $x=4$
(2) $x=a$
(3) 把$x=a$代入等式,左边$=a^3+a=$右边.
(4) 整理得$(x-1)^3+x-1=(a+1)^3+a+1$,所以$x-1=a+1$,解得$x=a+2$.
(2) $x=a$
(3) 把$x=a$代入等式,左边$=a^3+a=$右边.
(4) 整理得$(x-1)^3+x-1=(a+1)^3+a+1$,所以$x-1=a+1$,解得$x=a+2$.
解析
【分析】
（1）观察给出的示例方程，可发现共性规律：当方程形式为$x^3+x=n^3+n$时，解就是$x=n$，对应本题$n=4$，可直接写出解；
（2）将特例规律推广到一般情况，对比方程$x^3+x=a^3+a$和规律形式，即可猜想解；
（3）验证方程的解的标准方法是：将猜想的解代入方程左右两边，若两边计算结果相等，就说明该数是方程的解；
（4）先对给定方程做变形，把左边的$x$拆为$(x-1)+1$，右边的$a+2$拆为$(a+1)+1$，两边同时减1后即可凑出第二问的方程形式，把$x-1$、$a+1$看作整体套用规律即可求解。
【解析】
（1）根据示例的规律，方程$x^3+x=4^3+4$的解为$x=4$；
（2）类比规律，猜想方程$x^3+x=a^3+a$的解是$x=a$；
（3）验证：把$x=a$代入方程左边，得左边$=a^3+a$，和方程右边$a^3+a$完全相等，因此$x=a$是方程的解；
（4）先整理原方程：
原方程为$(x-1)^3 + x = (a+1)^3 + a + 2$，
将左边变形为$(x-1)^3 + (x-1) + 1$，右边变形为$(a+1)^3 + (a+1) + 1$，
两边同时减去1，得：$(x-1)^3 + (x-1) = (a+1)^3 + (a+1)$，
根据（2）的结论，可得$x-1 = a+1$，
解得$x = a+2$。
【答案】
(1) $x=4$
(2) $x=a$
(3) 把$x=a$代入等式，左边$=a^3+a=$右边，故$x=a$是方程的解
(4) $x=a+2$
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 规律探究归纳
3. 等式的性质
【点评】
本题是规律探究类的方程题型，需要先从特例中归纳出通用规律，再通过变形把陌生方程转化为符合规律的形式求解，侧重考查观察归纳能力和等式变形的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的示例方程，可发现共性规律：当方程形式为$x^3+x=n^3+n$时，解就是$x=n$，对应本题$n=4$，可直接写出解；
（2）将特例规律推广到一般情况，对比方程$x^3+x=a^3+a$和规律形式，即可猜想解；
（3）验证方程的解的标准方法是：将猜想的解代入方程左右两边，若两边计算结果相等，就说明该数是方程的解；
（4）先对给定方程做变形，把左边的$x$拆为$(x-1)+1$，右边的$a+2$拆为$(a+1)+1$，两边同时减1后即可凑出第二问的方程形式，把$x-1$、$a+1$看作整体套用规律即可求解。
【解析】
（1）根据示例的规律，方程$x^3+x=4^3+4$的解为$x=4$；
（2）类比规律，猜想方程$x^3+x=a^3+a$的解是$x=a$；
（3）验证：把$x=a$代入方程左边，得左边$=a^3+a$，和方程右边$a^3+a$完全相等，因此$x=a$是方程的解；
（4）先整理原方程：
原方程为$(x-1)^3 + x = (a+1)^3 + a + 2$，
将左边变形为$(x-1)^3 + (x-1) + 1$，右边变形为$(a+1)^3 + (a+1) + 1$，
两边同时减去1，得：$(x-1)^3 + (x-1) = (a+1)^3 + (a+1)$，
根据（2）的结论，可得$x-1 = a+1$，
解得$x = a+2$。
【答案】
(1) $x=4$
(2) $x=a$
(3) 把$x=a$代入等式，左边$=a^3+a=$右边，故$x=a$是方程的解
(4) $x=a+2$
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 规律探究归纳
3. 等式的性质
【点评】
本题是规律探究类的方程题型，需要先从特例中归纳出通用规律，再通过变形把陌生方程转化为符合规律的形式求解，侧重考查观察归纳能力和等式变形的应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 马和骡子并排走着，背上都背着包裹，马抱怨说自己驮得多了. 骡子回答说：“你抱怨什么呢？如果我从你背上拿一个包裹过来，我的负担就是你的两倍；如果你从我背上拿一个包裹过去，你驮的也不过和我一样.”马和骡子各驮了几个包裹（假定各包裹质量相同，只要求列出方程）？
答案
设马驮的包裹数量为$x$个,则骡子驮的包裹数量为$(x+2)$个.由题意,得$2(x-1)=x+2+1$.
解析
【分析】
本题是列一元一次方程的应用题，解题核心是提取题目中的等量关系。首先分析两个已知条件，第二个条件（马从骡子背上拿1个包裹后两者驮的数量相等）更简单，可先通过该条件得到骡子和马驮的包裹数的差量关系，我们先设马驮的包裹数为x，用含x的式子表示出骡子驮的包裹数；再利用第一个条件（骡子从马背上拿1个包裹后，骡子的负担是马的2倍）建立方程即可。
【解析】
1. 设未知数：设马驮的包裹数量为$x$个。
2. 推导骡子驮的包裹数：根据“如果马从骡子背上拿1个包裹过去，马驮的和骡子一样多”，可得此时马的包裹数为$x+1$，骡子的包裹数为$\mathrm{骡子原数量}-1$，二者相等，因此骡子原驮的包裹数为$x+1+1=(x+2)$个。
3. 列方程：根据“如果骡子从马背上拿1个包裹过来，骡子的负担是马的两倍”，此时马的包裹数为$x-1$，骡子的包裹数为$(x+2)+1$，二者满足2倍关系，因此列方程得$2(x-1)=x+2+1$。
【答案】
设马驮的包裹数量为$x$个,则骡子驮的包裹数量为$(x+2)$个.由题意,得$2(x-1)=x+2+1$.
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系提取、和差倍问题
【点评】
本题是典型的和差倍类方程应用题，解题关键是先通过难度较低的等量关系用含同一个未知数的式子表示两个未知量，再结合剩余等量关系列方程，侧重考查学生读题提取有效信息的能力。
【难度系数】
0.75
本题是列一元一次方程的应用题，解题核心是提取题目中的等量关系。首先分析两个已知条件，第二个条件（马从骡子背上拿1个包裹后两者驮的数量相等）更简单，可先通过该条件得到骡子和马驮的包裹数的差量关系，我们先设马驮的包裹数为x，用含x的式子表示出骡子驮的包裹数；再利用第一个条件（骡子从马背上拿1个包裹后，骡子的负担是马的2倍）建立方程即可。
【解析】
1. 设未知数：设马驮的包裹数量为$x$个。
2. 推导骡子驮的包裹数：根据“如果马从骡子背上拿1个包裹过去，马驮的和骡子一样多”，可得此时马的包裹数为$x+1$，骡子的包裹数为$\mathrm{骡子原数量}-1$，二者相等，因此骡子原驮的包裹数为$x+1+1=(x+2)$个。
3. 列方程：根据“如果骡子从马背上拿1个包裹过来，骡子的负担是马的两倍”，此时马的包裹数为$x-1$，骡子的包裹数为$(x+2)+1$，二者满足2倍关系，因此列方程得$2(x-1)=x+2+1$。
【答案】
设马驮的包裹数量为$x$个,则骡子驮的包裹数量为$(x+2)$个.由题意,得$2(x-1)=x+2+1$.
【知识点】
一元一次方程应用、等量关系提取、和差倍问题
【点评】
本题是典型的和差倍类方程应用题，解题关键是先通过难度较低的等量关系用含同一个未知数的式子表示两个未知量，再结合剩余等量关系列方程，侧重考查学生读题提取有效信息的能力。
【难度系数】
0.75
