7. 如图，$∠ AOB$ 和$∠ AOD$ 分别是$∠ AOC$ 的余角和补角，且 $OC$ 是$∠ BOD$ 的平分线，求$∠ AOC$ 的度数.

7. 设$∠AOC=x°$,则$∠AOB=90°-x°,∠AOD=180°-x°,∵OC$平分$∠BOD,∴∠DOC=∠BOC,∴180-x-x=x-(90-x)$,解得$x=67.5$,即$∠AOC=67.5°$.

【分析】
解题时先明确余角、补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，和为180°则互为补角，我们可以先设∠AOC的度数为x，用含x的式子表示出∠AOB和∠AOD；再结合角平分线的性质“角平分线把一个角分成两个相等的角”，得到∠DOC=∠BOC，将这两个角也用含x的式子表示，建立等量关系列方程即可求解。
【解析】
设$∠ AOC=x°$，
$\because ∠ AOB$是$∠ AOC$的余角，$\therefore ∠ AOB=90° - x°$，
$\because ∠ AOD$是$∠ AOC$的补角，$\therefore ∠ AOD=180° - x°$，
$\because OC$是$∠ BOD$的平分线，$\therefore ∠ DOC=∠ BOC$，
其中$∠ DOC=∠ AOD-∠ AOC=(180-x)-x$，$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=x-(90-x)$，
代入等量关系得方程：$180-x-x=x-(90-x)$，
解方程：
$180-2x=2x-90$
$4x=270$
$x=67.5$
即$∠ AOC=67.5°$。
【答案】
$67.5°$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，角平分线的性质
【点评】
本题是角度计算的常见综合题型，运用设未知数列方程的方法将几何计算转化为代数问题求解，解题核心是准确梳理各角度之间的数量关系，熟练运用余角、补角、角平分线的性质找等量关系。
【难度系数】
0.7

8. 已知点$B,O,C$在同一条直线上，$∠ AOB=α(0°＜α＜60°)$。
（1）如图1，若$∠ AOD=90°,∠ COD=65°$，则$α=$；
（2）如图2，若$∠ BOD=90°,∠ BOE=50°,OA$平分$∠ DOE$，则$α=$；
（3）如图3，若$∠ AOD$与$∠ AOB$互余，$∠ BOE$也与$∠ AOB$互余，请在图3中画出符合条件的射线$OE$，并计算出$∠ DOE$的度数（用含$α$的式子表示）。

8. （1）$25°$ （2）$20°$ （3）① 当OE在OB的上方时，如所示. $∵∠AOD$与$∠AOB$互余，$∠BOE$也与$∠AOB$互余，$∴∠AOD=∠BOE=90°-α,∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=90°-(90°-α)=α$；② 当OE在OB的下方时，如所示. $∵∠AOD$与$∠AOB$互余，$∠BOE$也与$∠AOB$互余，$∴∠AOD=∠BOE=90°-α,∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°+90°-α=180°-α$. 综上所述，$∠DOE$的度数为$α$或$180°-α$.

【分析】
（1）首先根据B、O、C共线得到平角∠BOC=180°，结合已知的∠AOD和∠COD的度数，用平角减去这两个角即可求出∠AOB的度数；
（2）先由∠BOD和∠BOE的度数求和得到∠DOE的度数，再根据角平分线的性质得到∠AOD的度数，最后用∠BOD减去∠AOD即可求得α的值；
（3）根据互余的定义可推出∠AOD=∠BOE=90°-α，结合射线OE的位置分两种情况讨论：①OE在OB上方；②OE在OB下方，分别结合图形关系计算∠DOE的度数即可。
【解析】
（1）
∵点B，O，C在同一条直线上，
∴∠BOC=180°，
又
∵∠AOD=90°，∠COD=65°，
∴$α=∠ AOB=180°-∠ AOD-∠ COD=180°-90°-65°=25°$；
（2）
∵∠BOD=90°，∠BOE=50°，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°+50°=140°，
∵OA平分∠DOE，
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ DOE=70°$，
∴$α=∠ AOB=∠ BOD-∠ AOD=90°-70°=20°$；
（3）
∵∠AOD与∠AOB互余，∠BOE也与∠AOB互余，
∴∠AOD+∠AOB=90°，∠BOE+∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠BOE=90°-α，且∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°，分两种情况：
① 当OE在OB的上方时，如所示，
$∠ DOE=∠ BOD-∠ BOE=90°-(90°-α)=α$；
② 当OE在OB的下方时，如所示，
$∠ DOE=∠ BOD+∠ BOE=90°+(90°-α)=180°-α$。
综上，∠DOE的度数为$α$或$180°-α$。
【答案】
（1）$25°$；（2）$20°$；（3）$∠DOE$的度数为$α$或$180°-α$，对应画图：①；②
【知识点】
余角的定义，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题考查角度的相关计算，前两问可直接结合图形和已知条件求解，第三问需要根据射线OE的位置分类讨论，避免漏解，是对分类讨论思想的基础考查。
【难度系数】
0.7

1. 若$∠α+∠β=90°,∠β+∠γ=90°$,则$∠α$与$∠γ$的关系是 （）

A.互余
B.互补
C.相等
D.$∠α=90°+∠γ$

1. C

【分析】
拿到题目先观察已知条件：两个等式均为两个角相加等于90°，说明∠α是∠β的余角，∠γ也是∠β的余角。解题时可以从两个角度思考：一是直接利用余角的性质“同角的余角相等”判断两角关系；二是通过代数变形，分别把∠α和∠γ用∠β表示，再对比两者的大小，就能得出结论。
【解析】
解：
∵ ∠α + ∠β = 90°，
∴ ∠α = 90° - ∠β，
又
∵ ∠β + ∠γ = 90°，
∴ ∠γ = 90° - ∠β，
∴ ∠α = ∠γ，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；同角的余角相等
【点评】
本题是余角相关的基础题，既可以直接用余角的性质快速得出答案，也可以通过简单的代数代换推导结论，解题核心是熟练掌握余角的基本性质。
【难度系数】
0.9

2. 已知$∠α$与$∠β$互补，下列说法正确的有（）
①若$∠α$是锐角，则$∠β$一定是钝角；②若$∠\gamma + ∠α = 180°$，则$∠β = ∠\gamma$；③若$∠1 = \frac{1}{2}∠α$，$∠2 = \frac{1}{2}∠β$，则$∠1$与$∠α$互余。

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

2. C

【分析】
首先明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补。已知∠α与∠β互补，可得∠α+∠β=180°，我们只需结合余角、补角的定义和性质，逐个验证3个说法是否成立即可：
1. 验证①：根据锐角的范围推导∠β的范围，判断其是否为钝角；
2. 验证②：利用“同角的补角相等”的性质判断；
3. 验证③：根据互余的定义（两个角的和为90°），计算∠1与∠α的和，判断是否恒等于90°。
【解析】
解：已知∠α与∠β互补，因此∠α + ∠β = 180°，逐个分析说法：
① 若∠α是锐角，则0° ＜ ∠α ＜ 90°，可得∠β = 180° - ∠α，即90° ＜ ∠β ＜ 180°，因此∠β一定是钝角，①正确；
② 若∠γ + ∠α = 180°，说明∠γ也是∠α的补角，根据“同角的补角相等”，可得∠β = ∠γ，②正确；
③ 已知∠1 = $\frac{1}{2}$∠α，因此∠1 + ∠α = $\frac{1}{2}$∠α + ∠α = $\frac{3}{2}$∠α，该结果仅当∠α=60°时等于90°，不是所有情况都满足和为90°，实际是∠1与∠2互余，因此③错误。
综上，正确的说法共2个。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义与性质，余角的定义
【点评】
本题围绕余角、补角的核心概念出题，解题时需紧扣定义和性质逐一判断，注意不要混淆互余、互补的适用条件，也不要看错题目中互余的两个角的指代对象。
【难度系数】
0.7

3. 一个角的补角是它的余角的3倍,那么这个角为 （）

A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$15°$

3. B

【分析】
首先我们可以通过设未知数的方法求解：第一步，设这个角的度数为x，根据余角（两个角的和为90°，则这两个角互余）和补角（两个角的和为180°，则这两个角互补）的定义，分别用含x的式子表示出这个角的余角和补角；第二步，根据题目给出的“补角是余角的3倍”这一等量关系列出方程；第三步，解方程求出x的值，对应选项即可得到答案。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则：
它的余角为$(90 - x)°$，它的补角为$(180 - x)°$。
根据题意可列方程：
$180 - x = 3(90 - x)$
展开右边得：$180 - x = 270 - 3x$
移项得：$3x - x = 270 - 180$
合并同类项得：$2x = 90$
解得：$x = 45$
即这个角为$45°$。
【答案】
B
【知识点】
余角的概念，补角的概念，列方程解应用题
【点评】
本题是基础类题型，解题核心是熟练掌握余角和补角的数量关系，结合方程思想即可快速求解，是对余角补角定义的常规考查。
【难度系数】
0.8

4. 如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组同学经过讨论后得到以下结论：① ∠ACF与∠BCH互余；② ∠HCG＝45°；③ ∠ECF与∠GCH互补；④ ∠ACF－∠GCE＝45°。则正确的结论为（填序号）。

4. ①②④

【分析】
解题时首先梳理已知条件：C在直线AB上，故∠ACB=180°；∠DCE=90°；CF、CH、CG分别平分∠ACD、∠BCD、∠BCE。我们可以先结合角平分线的性质，将相关角用倍分关系表示，再根据余角、补角的定义，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ C在直线AB上，
∴ ∠ACD + ∠BCD = 180°
∵ CF平分∠ACD，CH平分∠BCD
∴ ∠ACF=½∠ACD，∠BCH=½∠BCD
∴ ∠ACF + ∠BCH = ½(∠ACD+∠BCD)=½×180°=90°，两角互余，故①正确。
2. 验证结论②：
∵ ∠DCE=90°，即∠BCD + ∠BCE=90°
∵ CH平分∠BCD，CG平分∠BCE
∴ ∠HCB=½∠BCD，∠BCG=½∠BCE
∴ ∠HCG=∠HCB + ∠BCG=½(∠BCD+∠BCE)=½×90°=45°，故②正确。
3. 验证结论③：
由①得∠FCH=∠FCD+∠HCD=½(∠ACD+∠BCD)=90°
∠ECF=∠FCD + ∠DCE=∠FCD +90°，又∠FCD=90°-∠HCD
∴ ∠ECF=90°-∠HCD +90°=180°-∠HCD
若∠ECF与∠HCG互补，则∠ECF+∠HCG=180°，代入得180°-∠HCD +45°=180°，即∠HCD=45°，题中无该条件，等式不恒成立，故③错误。
4. 验证结论④：
∵ ∠ACD=180°-∠BCD，∠BCD=90°-∠BCE
∴ ∠ACF=½∠ACD=½[180°-(90°-∠BCE)]=45°+½∠BCE
∵ CG平分∠BCE，
∴ ∠GCE=½∠BCE
∴ ∠ACF=45°+∠GCE，即∠ACF - ∠GCE=45°，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
角平分线的定义，余角和补角，平角的定义
【点评】
本题是角度综合判断题，解题的核心是利用角平分线的性质实现角度的等量转化，结合平角、直角的固定角度，逐一验证每个结论，需要注意结论是否在任意情况下都成立，不要误判特殊情况为普遍结论。
【难度系数】
0.7