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5. 已知∠y是∠α的补角，∠β是∠y的补角，若∠α=(2n−30)°，∠β=(60−n)°，则∠y的度数为
150°
.答案
5. $150°$
解析
【分析】
解题时首先回忆补角的相关性质：互为补角的两个角和为180°，同角的补角相等。题目中∠α和∠β都是∠y的补角，因此∠α=∠β，我们可以先根据这个等量关系列方程求出n的值，再利用补角的定义计算∠y的度数即可。
【解析】
根据补角的定义可知：
∵ ∠y是∠α的补角，
∴ ∠α + ∠y = 180°
∵ ∠β是∠y的补角，
∴ ∠β + ∠y = 180°
根据“同角的补角相等”，可得∠α = ∠β
将∠α=(2n−30)°，∠β=(60−n)°代入得：
2n - 30 = 60 - n
移项合并同类项得：3n = 90
解得：n = 30
∴ ∠α = (2×30 - 30)° = 30°
∴ ∠y = 180° - ∠α = 180° - 30° = 150°
【答案】
150°
【知识点】
补角的定义；补角的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查补角性质的应用，解题的关键是利用同角的补角相等建立等量关系求出参数n，再代入计算角度，整体解题思路清晰，注重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆补角的相关性质：互为补角的两个角和为180°，同角的补角相等。题目中∠α和∠β都是∠y的补角，因此∠α=∠β，我们可以先根据这个等量关系列方程求出n的值，再利用补角的定义计算∠y的度数即可。
【解析】
根据补角的定义可知：
∵ ∠y是∠α的补角，
∴ ∠α + ∠y = 180°
∵ ∠β是∠y的补角，
∴ ∠β + ∠y = 180°
根据“同角的补角相等”，可得∠α = ∠β
将∠α=(2n−30)°，∠β=(60−n)°代入得：
2n - 30 = 60 - n
移项合并同类项得：3n = 90
解得：n = 30
∴ ∠α = (2×30 - 30)° = 30°
∴ ∠y = 180° - ∠α = 180° - 30° = 150°
【答案】
150°
【知识点】
补角的定义；补角的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题主要考查补角性质的应用，解题的关键是利用同角的补角相等建立等量关系求出参数n，再代入计算角度，整体解题思路清晰，注重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板$30°$角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若$∠ DOC=13°30'$，则$∠ AOB$的补角是
73°30′
。答案
6. $73°30'$
解析
【分析】
首先明确三角板的固定角度：直角三角板的直角$∠ AOC=90°$，含$30°$角的三角板的$30°$角$∠ BOD=30°$，观察图形可知$∠ AOC$与$∠ BOD$的重叠部分为$∠ DOC$，因此先通过角度和差关系求出$∠ AOB$的度数，再根据补角的定义（和为$180°$的两个角互为补角）计算$∠ AOB$的补角即可，计算时注意度分是60进制。
【解析】
由三角板的角度特征可知：$∠ AOC=90°$，$∠ BOD=30°$。
根据图形的角度和差关系可得：
$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOD - ∠ DOC$
代入$∠ DOC=13°30'$，得：
$∠ AOB = 90° + 30° - 13°30' = 106°30'$
根据补角的定义，$∠ AOB$的补角为：
$180° - 106°30' = 73°30'$
【答案】
$73°30'$
【知识点】
1. 角度的和差计算
2. 补角的定义
【点评】
本题解题关键是找到两个三角板角度的重叠部分，理清角之间的和差关系，计算时需注意度分的换算进制为60进制，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
首先明确三角板的固定角度：直角三角板的直角$∠ AOC=90°$，含$30°$角的三角板的$30°$角$∠ BOD=30°$，观察图形可知$∠ AOC$与$∠ BOD$的重叠部分为$∠ DOC$，因此先通过角度和差关系求出$∠ AOB$的度数，再根据补角的定义（和为$180°$的两个角互为补角）计算$∠ AOB$的补角即可，计算时注意度分是60进制。
【解析】
由三角板的角度特征可知：$∠ AOC=90°$，$∠ BOD=30°$。
根据图形的角度和差关系可得：
$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOD - ∠ DOC$
代入$∠ DOC=13°30'$，得：
$∠ AOB = 90° + 30° - 13°30' = 106°30'$
根据补角的定义，$∠ AOB$的补角为：
$180° - 106°30' = 73°30'$
【答案】
$73°30'$
【知识点】
1. 角度的和差计算
2. 补角的定义
【点评】
本题解题关键是找到两个三角板角度的重叠部分，理清角之间的和差关系，计算时需注意度分的换算进制为60进制，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
7. 如图，将一副三角板的直角顶点B叠放在一起，∠EBC=150°，以B为端点作射线BF，使∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABD，则∠DBF=
15°或45°
。答案
7. $15°$或$45°$
解析
【分析】
首先利用三角板的直角特征得到∠ABC和∠EBD均为90°，结合已知∠EBC的度数，先求出∠ABD的大小；再根据射线BF的位置不确定，分BF在∠ABD内部、BF在∠ABD外部两种情况讨论，结合∠ABF和∠ABD的数量关系计算∠DBF的度数即可。
【解析】
解：由三角板的特征可知，∠ABC=∠EBD=90°。
∵ ∠EBC=150°，
∴ ∠DBC=∠EBC - ∠EBD=150°-90°=60°，
∴ ∠ABD=∠ABC - ∠DBC=90°-60°=30°。
∵ ∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∴ ∠ABF=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
分两种情况讨论：
① 当射线BF在∠ABD内部时：
∠DBF=∠ABD - ∠ABF=30°-15°=15°；
② 当射线BF在∠ABD外部（与BD位于AB两侧）时：
∠DBF=∠ABD + ∠ABF=30°+15°=45°。
综上，∠DBF的度数为15°或45°。
【答案】
$15°$或$45°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，三角板角度特征
【点评】
本题是角的运算的典型题，解题的关键是明确三角板的固定角度，同时注意射线BF的位置不唯一，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先利用三角板的直角特征得到∠ABC和∠EBD均为90°，结合已知∠EBC的度数，先求出∠ABD的大小；再根据射线BF的位置不确定，分BF在∠ABD内部、BF在∠ABD外部两种情况讨论，结合∠ABF和∠ABD的数量关系计算∠DBF的度数即可。
【解析】
解：由三角板的特征可知，∠ABC=∠EBD=90°。
∵ ∠EBC=150°，
∴ ∠DBC=∠EBC - ∠EBD=150°-90°=60°，
∴ ∠ABD=∠ABC - ∠DBC=90°-60°=30°。
∵ ∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∴ ∠ABF=$\frac{1}{2}$×30°=15°。
分两种情况讨论：
① 当射线BF在∠ABD内部时：
∠DBF=∠ABD - ∠ABF=30°-15°=15°；
② 当射线BF在∠ABD外部（与BD位于AB两侧）时：
∠DBF=∠ABD + ∠ABF=30°+15°=45°。
综上，∠DBF的度数为15°或45°。
【答案】
$15°$或$45°$
【知识点】
角的和差计算，分类讨论思想，三角板角度特征
【点评】
本题是角的运算的典型题，解题的关键是明确三角板的固定角度，同时注意射线BF的位置不唯一，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8. 如图，已知$∠ AOC=2∠ BOC$，$∠ AOC$的余角比$∠ BOC$小$30°$。
（1）求$∠ AOB$的度数；
（2）过点$O$作射线$OD$，使得$∠ AOC=4∠ AOD$，请你求出$∠ COD$的度数。
（1）求$∠ AOB$的度数；
（2）过点$O$作射线$OD$，使得$∠ AOC=4∠ AOD$，请你求出$∠ COD$的度数。
答案
8. （1）设$∠BOC=x°$,则$∠AOC=2x°$,由题意,得$90-2x=x-30$,解得$x=40$,即$∠AOB=∠BOC=40°$. （2）由(1)得$∠AOC=80°$,① 当射线OD在$∠AOC$内部时,$∠AOD=20°$,则$∠COD=∠AOC-∠AOD=60°$；② 当射线OD在$∠AOC$外部时,$∠AOD=20°$,则$∠COD=∠AOC+∠AOD=100°$. 综上所述,$∠COD$的度数为$60°$或$100°$.
解析
【分析】
（1）本题可通过设未知数列方程求解：先设∠BOC的度数为x°，根据∠AOC与∠BOC的倍数关系表示出∠AOC的度数，再结合“∠AOC的余角比∠BOC小30°”的条件，利用余角定义列方程，求解出x后，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC即可得到结果。
（2）先根据第一问的结论求出∠AOC的度数，再计算出∠AOD的度数，由于射线OD的位置不明确，需分两种情况讨论：①OD在∠AOC内部；②OD在∠AOC外部，分别结合角的和差关系计算∠COD的度数即可。
【解析】
（1）设$∠ BOC=x°$，则$∠ AOC=2x°$。
根据余角的定义，$∠ AOC$的余角为$(90-2x)°$，由题意得：
$90-2x=x-30$
移项得：$-2x-x=-30-90$
合并同类项得：$-3x=-120$
解得：$x=40$
因此$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=2x°-x°=x°=40°$。
（2）由（1）可得$∠ AOC=2x°=80°$，
因为$∠ AOC=4∠ AOD$，所以$∠ AOD=80°÷4=20°$，分两种情况讨论：
①当射线$OD$在$∠ AOC$内部时：
$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=80°-20°=60°$；
②当射线$OD$在$∠ AOC$外部时：
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=80°+20°=100°$。
综上，$∠ COD$的度数为$60°$或$100°$。
【答案】
（1）$\boxed{40°}$；（2）$\boxed{60°}$或$\boxed{100°}$
【知识点】
余角的定义，角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题结合方程思想和分类讨论思想考查角的相关计算，解题关键是根据角的数量关系正确列方程，同时要注意当射线位置不明确时，要考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）本题可通过设未知数列方程求解：先设∠BOC的度数为x°，根据∠AOC与∠BOC的倍数关系表示出∠AOC的度数，再结合“∠AOC的余角比∠BOC小30°”的条件，利用余角定义列方程，求解出x后，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC即可得到结果。
（2）先根据第一问的结论求出∠AOC的度数，再计算出∠AOD的度数，由于射线OD的位置不明确，需分两种情况讨论：①OD在∠AOC内部；②OD在∠AOC外部，分别结合角的和差关系计算∠COD的度数即可。
【解析】
（1）设$∠ BOC=x°$，则$∠ AOC=2x°$。
根据余角的定义，$∠ AOC$的余角为$(90-2x)°$，由题意得：
$90-2x=x-30$
移项得：$-2x-x=-30-90$
合并同类项得：$-3x=-120$
解得：$x=40$
因此$∠ AOB=∠ AOC-∠ BOC=2x°-x°=x°=40°$。
（2）由（1）可得$∠ AOC=2x°=80°$，
因为$∠ AOC=4∠ AOD$，所以$∠ AOD=80°÷4=20°$，分两种情况讨论：
①当射线$OD$在$∠ AOC$内部时：
$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=80°-20°=60°$；
②当射线$OD$在$∠ AOC$外部时：
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=80°+20°=100°$。
综上，$∠ COD$的度数为$60°$或$100°$。
【答案】
（1）$\boxed{40°}$；（2）$\boxed{60°}$或$\boxed{100°}$
【知识点】
余角的定义，角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题结合方程思想和分类讨论思想考查角的相关计算，解题关键是根据角的数量关系正确列方程，同时要注意当射线位置不明确时，要考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 已知O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠BOC=110°.
(1) 如图1,求∠AOC的度数；
(2) 如图2,过点O作射线OD,使∠COD=90°,作∠AOC的平分线OM,求∠MOD的度数；
(3) 如图3,在(2)的条件下,作射线OP,若∠BOP与∠AOM互余,请画出图形,并求∠COP的度数.
(1) 如图1,求∠AOC的度数；
(2) 如图2,过点O作射线OD,使∠COD=90°,作∠AOC的平分线OM,求∠MOD的度数；
(3) 如图3,在(2)的条件下,作射线OP,若∠BOP与∠AOM互余,请画出图形,并求∠COP的度数.
答案
9. （1）$70°$ （2）$55°$ （3）由(2)知$∠AOM=35°,∵∠BOP$与$∠AOM$互余,$∴∠BOP=90°-∠AOM=90°-35°=55°$. ① 如
所示. 当射线OP在$∠BOC$内部时,$∠COP=∠BOC-∠BOP=110°-55°=55°$；② 如
所示. 当射线OP在$∠BOC$外部时,$∠COP=∠BOC+∠BOP=110°+55°=165°$. 综上所述,$∠COP$的度数为$55°$或$165°$.解析
【分析】
(1) 已知O是直线AB上的点，因此∠AOB是180°的平角，结合已知∠BOC的度数，利用平角的和差关系即可求出∠AOC的度数。
(2) 先根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，再由∠COD=90°计算出∠AOD的度数，将∠AOM与∠AOD相加即可得到∠MOD的度数。
(3) 首先根据互余的定义（两个角的和为90°则两角互余）算出∠BOP的度数，再分两种情况讨论射线OP的位置：①OP在∠BOC内部，②OP在∠BOC外部，分别结合角的和差关系计算∠COP的度数即可。
【解析】
(1)
∵O为直线AB上一点，
∴∠AOB=180°（平角的定义）
∴∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 110° = 70°
(2)
∵OM是∠AOC的平分线，∠AOC=70°
∴∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°
∵∠COD=90°，即∠AOC + ∠AOD = 90°
∴∠AOD = 90° - ∠AOC = 90° - 70° = 20°
∴∠MOD = ∠AOM + ∠AOD = 35° + 20° = 55°
(3) 由(2)可知∠AOM=35°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP + ∠AOM = 90°
∴∠BOP = 90° - ∠AOM = 90° - 35° = 55°
分两种情况讨论：
① 当射线OP在∠BOC内部时，如图所示：
∠COP = ∠BOC - ∠BOP = 110° - 55° = 55°
② 当射线OP在∠BOC外部时，如图所示：
∠COP = ∠BOC + ∠BOP = 110° + 55° = 165°
综上所述，∠COP的度数为55°或165°。
【答案】
(1) $70°$
(2) $55°$
(3) $55°$或$165°$，对应图形分别为①、②
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，余角的定义
【点评】
本题侧重考查角度的基础运算，前两问解题思路清晰，直接利用角的基本性质即可求解；第三问需要注意射线OP的位置不唯一，要进行分类讨论，避免漏解，能够锻炼学生全面思考问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知O是直线AB上的点，因此∠AOB是180°的平角，结合已知∠BOC的度数，利用平角的和差关系即可求出∠AOC的度数。
(2) 先根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，再由∠COD=90°计算出∠AOD的度数，将∠AOM与∠AOD相加即可得到∠MOD的度数。
(3) 首先根据互余的定义（两个角的和为90°则两角互余）算出∠BOP的度数，再分两种情况讨论射线OP的位置：①OP在∠BOC内部，②OP在∠BOC外部，分别结合角的和差关系计算∠COP的度数即可。
【解析】
(1)
∵O为直线AB上一点，
∴∠AOB=180°（平角的定义）
∴∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 180° - 110° = 70°
(2)
∵OM是∠AOC的平分线，∠AOC=70°
∴∠AOM = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°
∵∠COD=90°，即∠AOC + ∠AOD = 90°
∴∠AOD = 90° - ∠AOC = 90° - 70° = 20°
∴∠MOD = ∠AOM + ∠AOD = 35° + 20° = 55°
(3) 由(2)可知∠AOM=35°，
∵∠BOP与∠AOM互余，
∴∠BOP + ∠AOM = 90°
∴∠BOP = 90° - ∠AOM = 90° - 35° = 55°
分两种情况讨论：
① 当射线OP在∠BOC内部时，如图
所示：∠COP = ∠BOC - ∠BOP = 110° - 55° = 55°
② 当射线OP在∠BOC外部时，如图
所示：∠COP = ∠BOC + ∠BOP = 110° + 55° = 165°
综上所述，∠COP的度数为55°或165°。
【答案】
(1) $70°$
(2) $55°$
(3) $55°$或$165°$，对应图形分别为①
、②【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，余角的定义
【点评】
本题侧重考查角度的基础运算，前两问解题思路清晰，直接利用角的基本性质即可求解；第三问需要注意射线OP的位置不唯一，要进行分类讨论，避免漏解，能够锻炼学生全面思考问题的能力。
【难度系数】
0.7
