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三、解答题(共40分)
13.(8分)如图，某圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h(cm)由大到小变化时，圆柱的体积V(cm³)随之发生变化.
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？其中自变量是什么？(4分)
(2)在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h之间的函数表达式.(4分)
13.(8分)如图，某圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h(cm)由大到小变化时，圆柱的体积V(cm³)随之发生变化.
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？其中自变量是什么？(4分)
(2)在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h之间的函数表达式.(4分)
答案
(1)解:变量:圆柱的高h,圆柱的体积V,其中自变量是圆柱的高h.
(2)体积V与高h之间的函数表达式为$V=4π h$.
(2)体积V与高h之间的函数表达式为$V=4π h$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先要明确变量和自变量的定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，其中主动变化、会引起其他量随之变化的量是自变量。本题中高h主动变化，体积V随h的变化而变化，据此即可判断变量和自变量。
(2) 解决第二问需要回忆圆柱体积的计算公式：圆柱体积=底面积×高，先根据底面半径算出底面积，再代入公式就能得到V和h的函数表达式。
【解析】
(1) 该变化过程中，圆柱的高h主动发生改变，圆柱的体积V会随着h的改变而变化，因此变量为圆柱的高h和圆柱的体积V；其中主动变化的量是圆柱的高h，即自变量为圆柱的高h。
(2) 已知圆柱底面半径$r=2\mathrm{cm}$，先计算圆柱底面积：
$S=π r^2=π×2^2=4π(\mathrm{cm}^2)$
根据圆柱体积公式$V=S· h$，将底面积代入可得体积V与高h的函数表达式：
$V=4π h$
【答案】
(1) 变量：圆柱的高h，圆柱的体积V，其中自变量是圆柱的高h。
(2) 函数表达式为$V=4π h$。
【知识点】
变量与自变量的定义，圆柱体积公式，函数关系式的建立
【点评】
本题属于基础题型，重点考查变量相关概念的辨析以及圆柱体积公式的应用，熟练掌握基础概念和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
(1) 解决第一问首先要明确变量和自变量的定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，其中主动变化、会引起其他量随之变化的量是自变量。本题中高h主动变化，体积V随h的变化而变化，据此即可判断变量和自变量。
(2) 解决第二问需要回忆圆柱体积的计算公式：圆柱体积=底面积×高，先根据底面半径算出底面积，再代入公式就能得到V和h的函数表达式。
【解析】
(1) 该变化过程中，圆柱的高h主动发生改变，圆柱的体积V会随着h的改变而变化，因此变量为圆柱的高h和圆柱的体积V；其中主动变化的量是圆柱的高h，即自变量为圆柱的高h。
(2) 已知圆柱底面半径$r=2\mathrm{cm}$，先计算圆柱底面积：
$S=π r^2=π×2^2=4π(\mathrm{cm}^2)$
根据圆柱体积公式$V=S· h$，将底面积代入可得体积V与高h的函数表达式：
$V=4π h$
【答案】
(1) 变量：圆柱的高h，圆柱的体积V，其中自变量是圆柱的高h。
(2) 函数表达式为$V=4π h$。
【知识点】
变量与自变量的定义，圆柱体积公式，函数关系式的建立
【点评】
本题属于基础题型，重点考查变量相关概念的辨析以及圆柱体积公式的应用，熟练掌握基础概念和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
14. (10分)已知函数$y=(2m-1)x+1-3m$，当$m$为何值时：
(1)该函数的图象过原点;(3分)
(2)该函数为一次函数;(3分)
(3)函数值$y$随$x$的增大而增大.(4分)
(1)该函数的图象过原点;(3分)
(2)该函数为一次函数;(3分)
(3)函数值$y$随$x$的增大而增大.(4分)
答案
(1)解:因为该函数的图象过原点,
所以 $1-3m=0$,解得 $m=\frac{1}{3}$;
(2)因为该函数为一次函数,所以
$2m-1≠0$,解得 $m≠\frac{1}{2}$;
(3)因为
函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,所以
$2m-1＞0$,解得 $m＞\frac{1}{2}$.
所以 $1-3m=0$,解得 $m=\frac{1}{3}$;
(2)因为该函数为一次函数,所以
$2m-1≠0$,解得 $m≠\frac{1}{2}$;
(3)因为
函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,所以
$2m-1＞0$,解得 $m＞\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题考查一次函数的基础应用，分小问梳理思路如下：
（1）函数图像过原点，说明点(0,0)在函数图像上，代入解析式可知x=0时y=0，因此常数项1-3m的值为0，解对应的一元一次方程即可得到m的取值；
（2）一次函数的定义为形如$y=kx+b$（k、b为常数，且$k≠0$）的函数，因此只需保证本题中x的系数$2m-1$不为0，列不等式求解即可；
（3）一次函数的增减性由x的系数k的符号决定：当$k＞0$时，y随x的增大而增大；当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此本题只需令$2m-1＞0$，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 因为该函数的图象过原点，将$(0,0)$代入解析式得：
$1-3m=0$，解得 $m=\frac{1}{3}$；
(2) 因为该函数为一次函数，根据一次函数定义可得：
$2m-1≠0$，解得 $m≠\frac{1}{2}$；
(3) 因为函数值$y$随$x$的增大而增大，根据一次函数增减性可得：
$2m-1＞0$，解得 $m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $m=\frac{1}{3}$；(2) $m≠\frac{1}{2}$；(3) $m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的定义；一次函数的性质；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，解题核心是熟练掌握一次函数的定义、增减性等核心性质，明确不同条件对应的系数要求即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题考查一次函数的基础应用，分小问梳理思路如下：
（1）函数图像过原点，说明点(0,0)在函数图像上，代入解析式可知x=0时y=0，因此常数项1-3m的值为0，解对应的一元一次方程即可得到m的取值；
（2）一次函数的定义为形如$y=kx+b$（k、b为常数，且$k≠0$）的函数，因此只需保证本题中x的系数$2m-1$不为0，列不等式求解即可；
（3）一次函数的增减性由x的系数k的符号决定：当$k＞0$时，y随x的增大而增大；当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此本题只需令$2m-1＞0$，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 因为该函数的图象过原点，将$(0,0)$代入解析式得：
$1-3m=0$，解得 $m=\frac{1}{3}$；
(2) 因为该函数为一次函数，根据一次函数定义可得：
$2m-1≠0$，解得 $m≠\frac{1}{2}$；
(3) 因为函数值$y$随$x$的增大而增大，根据一次函数增减性可得：
$2m-1＞0$，解得 $m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $m=\frac{1}{3}$；(2) $m≠\frac{1}{2}$；(3) $m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的定义；一次函数的性质；函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，解题核心是熟练掌握一次函数的定义、增减性等核心性质，明确不同条件对应的系数要求即可快速求解。
【难度系数】
0.85
15.(10分)某玉米种子的价格为60元/千克，如果一次性购买5千克以上的种子，超过5千克部分的种子的价格打八折.
(1)根据题意，补充下表:(2分)
(2)设购买种子的重量为x千克，付款金额为y元，求y与x之间的函数表达式；(4分)
(3)若王伯伯一次性购买该种子花了540元，求他购买种子的重量.(4分)
(1)根据题意，补充下表:(2分)
(2)设购买种子的重量为x千克，付款金额为y元，求y与x之间的函数表达式；(4分)
(3)若王伯伯一次性购买该种子花了540元，求他购买种子的重量.(4分)
答案
(1)240 348
(2)解:y与x之间的函数表达式为 $y = \begin{cases} 60x(0≤x≤5), \\ 48x+60(x＞5). \end{cases}$
(3)因为 540＞60×5,所以购买的种子超过 5千克.把 $y=540$ 代入 $y=48x+60$,得 $540=48x+60$,解得 $x=10$.答:王伯伯购买种子的重量为 10 千克.
(2)解:y与x之间的函数表达式为 $y = \begin{cases} 60x(0≤x≤5), \\ 48x+60(x＞5). \end{cases}$
(3)因为 540＞60×5,所以购买的种子超过 5千克.把 $y=540$ 代入 $y=48x+60$,得 $540=48x+60$,解得 $x=10$.答:王伯伯购买种子的重量为 10 千克.
解析
【分析】
(1)补充表格需先明确收费规则：购买重量≤5千克时，单价为60元/千克；购买重量＞5千克时，前5千克按原价，超出部分按八折即48元/千克收费。4千克未超过5千克，直接用重量乘原价计算费用；6千克超过5千克，分两段计算总费用即可。
(2)求y与x的函数表达式需分两种情况讨论：①当购买重量不超过5千克时，付款金额=单价×重量；②当购买重量超过5千克时，付款金额=5千克的原价费用+超出部分的打折费用，分别整理得到对应区间的函数表达式即可。
(3)先判断540元对应的购买重量区间：先计算5千克的总费用为300元，540＞300，说明重量超过5千克，代入对应区间的函数表达式，解方程即可求出购买重量。
【解析】
(1) 购买4千克种子时，重量未超过5千克，付款金额为：$4×60=240$（元）；
购买6千克种子时，重量超过5千克，付款金额为：$5×60 + (6-5)×60×0.8 = 300 + 48 = 348$（元）。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤5$时，种子按原价收费，因此$y=60x$；
② 当$x＞5$时，前5千克费用为$5×60=300$元，超出$(x-5)$千克的费用为$60×0.8×(x-5)=48(x-5)$元，因此总费用$y=300+48(x-5)=48x+60$。
综上可得y与x的函数表达式。
(3) 首先计算购买5千克种子的付款金额：$5×60=300$（元），因为$540＞300$，所以王伯伯购买的种子重量超过5千克。
将$y=540$代入$y=48x+60$，得：
$540=48x+60$
移项计算得$48x=480$，解得$x=10$。
【答案】
(1) $\boxed{240}$；$\boxed{348}$
(2) $\boldsymbol{y = \begin{cases} 60x(0≤x≤5) \\ 48x+60(x＞5) \end{cases}}$
(3) $\boxed{10}$千克
【知识点】
分段函数；一次函数实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中购物打折的常见场景，考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同重量区间对应的收费标准，注意分界点的取值范围判断，能够锻炼学生将实际问题转化为数学函数模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1)补充表格需先明确收费规则：购买重量≤5千克时，单价为60元/千克；购买重量＞5千克时，前5千克按原价，超出部分按八折即48元/千克收费。4千克未超过5千克，直接用重量乘原价计算费用；6千克超过5千克，分两段计算总费用即可。
(2)求y与x的函数表达式需分两种情况讨论：①当购买重量不超过5千克时，付款金额=单价×重量；②当购买重量超过5千克时，付款金额=5千克的原价费用+超出部分的打折费用，分别整理得到对应区间的函数表达式即可。
(3)先判断540元对应的购买重量区间：先计算5千克的总费用为300元，540＞300，说明重量超过5千克，代入对应区间的函数表达式，解方程即可求出购买重量。
【解析】
(1) 购买4千克种子时，重量未超过5千克，付款金额为：$4×60=240$（元）；
购买6千克种子时，重量超过5千克，付款金额为：$5×60 + (6-5)×60×0.8 = 300 + 48 = 348$（元）。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤5$时，种子按原价收费，因此$y=60x$；
② 当$x＞5$时，前5千克费用为$5×60=300$元，超出$(x-5)$千克的费用为$60×0.8×(x-5)=48(x-5)$元，因此总费用$y=300+48(x-5)=48x+60$。
综上可得y与x的函数表达式。
(3) 首先计算购买5千克种子的付款金额：$5×60=300$（元），因为$540＞300$，所以王伯伯购买的种子重量超过5千克。
将$y=540$代入$y=48x+60$，得：
$540=48x+60$
移项计算得$48x=480$，解得$x=10$。
【答案】
(1) $\boxed{240}$；$\boxed{348}$
(2) $\boldsymbol{y = \begin{cases} 60x(0≤x≤5) \\ 48x+60(x＞5) \end{cases}}$
(3) $\boxed{10}$千克
【知识点】
分段函数；一次函数实际应用；一元一次方程求解
【点评】
本题结合生活中购物打折的常见场景，考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同重量区间对应的收费标准，注意分界点的取值范围判断，能够锻炼学生将实际问题转化为数学函数模型的能力。
【难度系数】
0.7
16.(12分)如图,直线$l_1$的函数表达式为:$y=x-3$,与x轴交于点B,直线$l_2$经过点A(-2,0),并与直线$l_1$交于点C(-1,a).
(1)求直线$l_2$的表达式;(6分)
(2)点P在直线$l_1$上,点Q在直线$l_2$上,$PQ// y$轴,若$PQ=AB$,求点P的坐标.(6分)
(1)求直线$l_2$的表达式;(6分)
(2)点P在直线$l_1$上,点Q在直线$l_2$上,$PQ// y$轴,若$PQ=AB$,求点P的坐标.(6分)
答案
(1)解: 把点 $C(-1, a)$ 代入
$y=x-3$,得 $a=-4$,
∴ 点 $C$ 的坐标
为 $(-1,-4)$,设直线 $l_2$ 的表达
式为 $y=kx+b$,
∵ 直线 $l_2$ 经过点
$A(-2,0), C(-1,-4), ∴$
$\begin{cases} -2k+b=0, \\ -k+b=-4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-4, \\ b=-8, \end{cases}$
∴直
线 $l_2$ 的表达式为 $y=-4x-8$.
(2)在直线 $l_1:y=x-3$ 中,令 $y=$
0,得 $x=3$,
∴ $B(3,0)$,
∴ $AB=3-$
$(-2)=5$,设 $P(b,b-3)$,由 $PQ//$
$y$ 轴,得 $Q(b,-4b-8), PQ=|b-$
$3-(-4b-8)|=|5b+5|$,
∵ $PQ=$
$AB,∴ |5b+5|=5$,解得 $b=0$ 或 $b$
$=-2,∴ P(0,-3)$ 或 $(-2,-5)$.
$y=x-3$,得 $a=-4$,
∴ 点 $C$ 的坐标
为 $(-1,-4)$,设直线 $l_2$ 的表达
式为 $y=kx+b$,
∵ 直线 $l_2$ 经过点
$A(-2,0), C(-1,-4), ∴$
$\begin{cases} -2k+b=0, \\ -k+b=-4, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-4, \\ b=-8, \end{cases}$
∴直
线 $l_2$ 的表达式为 $y=-4x-8$.
(2)在直线 $l_1:y=x-3$ 中,令 $y=$
0,得 $x=3$,
∴ $B(3,0)$,
∴ $AB=3-$
$(-2)=5$,设 $P(b,b-3)$,由 $PQ//$
$y$ 轴,得 $Q(b,-4b-8), PQ=|b-$
$3-(-4b-8)|=|5b+5|$,
∵ $PQ=$
$AB,∴ |5b+5|=5$,解得 $b=0$ 或 $b$
$=-2,∴ P(0,-3)$ 或 $(-2,-5)$.
解析
【分析】
(1) 要求直线$l_2$的表达式，已知$l_2$过A、C两点：首先利用点C在直线$l_1$上，将C点横坐标代入$l_1$的表达式求出$a$，得到C点完整坐标；再用待定系数法设$l_2$的解析式为$y=kx+b$，代入A、C两点坐标解二元一次方程组，即可求出$k$、$b$的值，确定$l_2$的表达式。
(2) 先求AB的长度：直线$l_1$与x轴交点B的纵坐标为0，代入$l_1$表达式求出横坐标得到B点坐标，A、B都在x轴上，AB长度为两点横坐标差的绝对值；由于$PQ// y$轴，P、Q两点横坐标相同，设P的横坐标为$b$，分别用对应直线表达式写出P、Q的纵坐标，PQ长度为两点纵坐标差的绝对值，令其等于AB的长度，解绝对值方程即可得到$b$的值，进而求出P点坐标。
【解析】
(1) 求点C的坐标：
将$C(-1,a)$代入$l_1$的表达式$y=x-3$，得$a=-1-3=-4$，即$C(-1,-4)$。
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A(-2,0)$、$C(-1,-4)$代入得：
$\begin{cases} -2k + b = 0 \\ -k + b = -4 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=-4$，将$k=-4$代入$-2k+b=0$，得$b=-8$。
因此直线$l_2$的表达式为$y=-4x-8$。
(2) 求B点坐标与AB长度：
在$y=x-3$中，令$y=0$，得$0=x-3$，解得$x=3$，即$B(3,0)$。
则$AB=3-(-2)=5$。
设P点横坐标为$b$，因为P在$l_1$上，所以$P(b, b-3)$；
由$PQ// y$轴可知Q点横坐标也为$b$，Q在$l_2$上，所以$Q(b, -4b-8)$。
因此$PQ=|(b-3)-(-4b-8)|=|5b+5|$，
由$PQ=AB=5$得$|5b+5|=5$，
即$5b+5=5$或$5b+5=-5$，解得$b=0$或$b=-2$。
当$b=0$时，$b-3=-3$，即$P(0,-3)$；当$b=-2$时，$b-3=-5$，即$P(-2,-5)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-4x-8}$
(2) $\boldsymbol{(0,-3)}$或$\boldsymbol{(-2,-5)}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的线段长度计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考查一次函数的基本性质和待定系数法的应用，解题时需注意：平行于y轴的点横坐标相同，线段长度为纵坐标差的绝对值，解绝对值方程时不要漏解，熟练掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要求直线$l_2$的表达式，已知$l_2$过A、C两点：首先利用点C在直线$l_1$上，将C点横坐标代入$l_1$的表达式求出$a$，得到C点完整坐标；再用待定系数法设$l_2$的解析式为$y=kx+b$，代入A、C两点坐标解二元一次方程组，即可求出$k$、$b$的值，确定$l_2$的表达式。
(2) 先求AB的长度：直线$l_1$与x轴交点B的纵坐标为0，代入$l_1$表达式求出横坐标得到B点坐标，A、B都在x轴上，AB长度为两点横坐标差的绝对值；由于$PQ// y$轴，P、Q两点横坐标相同，设P的横坐标为$b$，分别用对应直线表达式写出P、Q的纵坐标，PQ长度为两点纵坐标差的绝对值，令其等于AB的长度，解绝对值方程即可得到$b$的值，进而求出P点坐标。
【解析】
(1) 求点C的坐标：
将$C(-1,a)$代入$l_1$的表达式$y=x-3$，得$a=-1-3=-4$，即$C(-1,-4)$。
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A(-2,0)$、$C(-1,-4)$代入得：
$\begin{cases} -2k + b = 0 \\ -k + b = -4 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=-4$，将$k=-4$代入$-2k+b=0$，得$b=-8$。
因此直线$l_2$的表达式为$y=-4x-8$。
(2) 求B点坐标与AB长度：
在$y=x-3$中，令$y=0$，得$0=x-3$，解得$x=3$，即$B(3,0)$。
则$AB=3-(-2)=5$。
设P点横坐标为$b$，因为P在$l_1$上，所以$P(b, b-3)$；
由$PQ// y$轴可知Q点横坐标也为$b$，Q在$l_2$上，所以$Q(b, -4b-8)$。
因此$PQ=|(b-3)-(-4b-8)|=|5b+5|$，
由$PQ=AB=5$得$|5b+5|=5$，
即$5b+5=5$或$5b+5=-5$，解得$b=0$或$b=-2$。
当$b=0$时，$b-3=-3$，即$P(0,-3)$；当$b=-2$时，$b-3=-5$，即$P(-2,-5)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-4x-8}$
(2) $\boldsymbol{(0,-3)}$或$\boldsymbol{(-2,-5)}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行于坐标轴的线段长度计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心考查一次函数的基本性质和待定系数法的应用，解题时需注意：平行于y轴的点横坐标相同，线段长度为纵坐标差的绝对值，解绝对值方程时不要漏解，熟练掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
